Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Économiques

الحساب على المصفوفات

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Définition et Dimension Une matrice $A$ de dimension $n \times p$ est un tableau de nombres organisé en $n$ lignes et $p$ colonnes. Exemple : $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ est une matrice de dimension $2 \times 2$ .

2. Opérations de base

Addition : On additionne les éléments qui ont la même position. Les matrices doivent avoir la même dimension.
Multiplication par un scalaire ( $\lambda$ ) : On multiplie chaque élément de la matrice par $\lambda$ .
Produit de deux matrices : Soit $A(n \times p)$ et $B(p \times q)$ . Le produit $C = A \times B$ existe si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$ . La dimension de $C$ sera $n \times q$ . Règle : L'élément $c_{ij}$ est la somme des produits de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ .

3. Matrice Identité et Inverse

Matrice Identité ( $I_n$ ) : Matrice carrée avec des $1$ sur la diagonale principale et des $0$ ailleurs. $A \times I = I \times A = A$ .
Déterminant (pour une $2 \times 2$ ) : Si $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , alors $\det(A) = ad - bc$ .
Matrice Inverse ( $A^{-1}$ ) : Une matrice $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$ . Pour $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , on a $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer un produit $A \times B$ : Utiliser la méthode "ligne par colonne".
Vérifier l'inversibilité : Calculer d'abord le déterminant. Si $\det(A) = 0$ , on s'arrête, elle n'est pas inversible.
Résoudre un système $AX = B$ : Si $A$ est inversible, alors $X = A^{-1} \times B$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Produit de matrices Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$ . Calculer $A \times B$ . Corrigé : $A \times B = \begin{pmatrix} (1 \times 5) + (2 \times 6) \\ (3 \times 5) + (4 \times 6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + 12 \\ 15 + 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$ .

Exemple 2 : Calcul de l'inverse Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ . Calculer $A^{-1}$ . Corrigé :

$\det(A) = (2 \times 3) - (1 \times 5) = 6 - 5 = 1$ .
Comme $\det(A) \neq 0$ , $A$ est inversible.
$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre l'ordre du produit : $A \times B$ n'est généralement pas égal à $B \times A$ .
Erreur de dimension : Vouloir multiplier deux matrices qui n'ont pas le bon nombre de colonnes/lignes compatibles.
Oublier le déterminant : Essayer de calculer l'inverse d'une matrice dont le déterminant est nul.
Erreur de signe : Dans la formule de l'inverse $2 \times 2$ , oublier de changer les signes de $b$ et $c$ .

L'essentiel du cours

1. Définition et Dimension Une matrice $A$ de dimension $n \times p$ est un tableau de nombres organisé en $n$ lignes et $p$ colonnes. Exemple : $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ est une matrice de dimension $2 \times 2$.

2. Opérations de base

Addition : On additionne les éléments qui ont la même position. Les matrices doivent avoir la même dimension.
Multiplication par un scalaire ($\lambda$) : On multiplie chaque élément de la matrice par $\lambda$.
Produit de deux matrices : Soit $A(n \times p)$ et $B(p \times q)$. Le produit $C = A \times B$ existe si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$. La dimension de $C$ sera $n \times q$. Règle : L'élément $c_{ij}$ est la somme des produits de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$.

3. Matrice Identité et Inverse

Matrice Identité ($I_n$) : Matrice carrée avec des $1$ sur la diagonale principale et des $0$ ailleurs. $A \times I = I \times A = A$.
Déterminant (pour une $2 \times 2$) : Si $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$, alors $\det(A) = ad - bc$.
Matrice Inverse ($A^{-1}$) : Une matrice $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$. Pour $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$, on a $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}$.

Méthodes à maîtriser

Calculer un produit $A \times B$ : Utiliser la méthode "ligne par colonne".
Vérifier l'inversibilité : Calculer d'abord le déterminant. Si $\det(A) = 0$, on s'arrête, elle n'est pas inversible.
Résoudre un système $AX = B$ : Si $A$ est inversible, alors $X = A^{-1} \times B$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Produit de matrices Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 5 \ 6 \end{pmatrix}$. Calculer $A \times B$. Corrigé : $A \times B = \begin{pmatrix} (1 \times 5) + (2 \times 6) \ (3 \times 5) + (4 \times 6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + 12 \ 15 + 24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \ 39 \end{pmatrix}$.

Exemple 2 : Calcul de l'inverse Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 5 & 3 \end{pmatrix}$. Calculer $A^{-1}$. Corrigé :

$\det(A) = (2 \times 3) - (1 \times 5) = 6 - 5 = 1$.
Comme $\det(A) \neq 0$, $A$ est inversible.
$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -1 \ -5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \ -5 & 2 \end{pmatrix}$.

Erreurs fréquentes

Confondre l'ordre du produit : $A \times B$ n'est généralement pas égal à $B \times A$.
Erreur de dimension : Vouloir multiplier deux matrices qui n'ont pas le bon nombre de colonnes/lignes compatibles.
Oublier le déterminant : Essayer de calculer l'inverse d'une matrice dont le déterminant est nul.
Erreur de signe : Dans la formule de l'inverse $2 \times 2$, oublier de changer les signes de $b$ et $c$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 الحساب على المصفوفات

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Si $A$ est de dimension $2 \times 3$ et $B$ de dimension $3 \times 4$ , quelle est la dimension de $AB$ ?

Si $A$ est de dimension $2 \times 3$ et $B$ de dimension $3 \times 4$, quelle est la dimension de $AB$ ?

❓ Questions fréquentes

Si A est une matrice 3 times 3, quelle est la dimension de A^2 ?

$A^2 = A \times A$ . Comme $A$ est $(3 \times 3)$ , le produit est possible et la dimension reste $(3 \times 3)$ .

💡 À retenir : Le carré d'une matrice carrée est une matrice de même dimension.

$A^2 = A \times A$. Comme $A$ est $(3 \times 3)$, le produit est possible et la dimension reste $(3 \times 3)$.

💡 À retenir : Le carré d'une matrice carrée est une matrice de même dimension.

Peut-on multiplier une matrice (2 times 3) par une matrice (2 times 3) ?

Non. Pour multiplier $A(n \times p)$ par $B(r \times c)$ , il faut que $p = r$ . Ici $3 \neq 2$ , donc le produit est impossible.

💡 À retenir : Colonnes de $A$ = Lignes de $B$ .

Non. Pour multiplier $A(n \times p)$ par $B(r \times c)$, il faut que $p = r$. Ici $3 \neq 2$, donc le produit est impossible.

💡 À retenir : Colonnes de $A$ = Lignes de $B$.

Que se passe-t-il si on multiplie une matrice par sa matrice inverse ?

Le résultat est toujours la matrice identité $I$ de même dimension. $A \times A^{-1} = I$ .

💡 À retenir : $A \times A^{-1} = I$ .

Le résultat est toujours la matrice identité $I$ de même dimension. $A \times A^{-1} = I$.

💡 À retenir : $A \times A^{-1} = I$.

Quelle est la dimension de la matrice résultant du produit d'une matrice (3 times 2) par une matrice (2 times 5) ?

La dimension sera $(3 \times 5)$ .

On vérifie la compatibilité : le nombre de colonnes de la première (2) est égal au nombre de lignes de la deuxième (2).
La matrice résultante prend le nombre de lignes de la première et le nombre de colonnes de la deuxième.

💡 À retenir : $(n \times p) \times (p \times q) \to (n \times q)$ .

La dimension sera $(3 \times 5)$.

On vérifie la compatibilité : le nombre de colonnes de la première (2) est égal au nombre de lignes de la deuxième (2).
La matrice résultante prend le nombre de lignes de la première et le nombre de colonnes de la deuxième.

💡 À retenir : $(n \times p) \times (p \times q) \to (n \times q)$.

Est-ce que l'addition de deux matrices est toujours possible ?

Non, l'addition n'est possible que si les deux matrices ont exactement la même dimension (même nombre de lignes et même nombre de colonnes).

💡 À retenir : Même dimension = Addition possible.

Kifach n7seb l'déterminant dyal matrix 2 times 2 ?

Pour une matrice $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ :

Multiplie les éléments de la diagonale principale : $a \times d$ .
Multiplie les éléments de l'autre diagonale : $b \times c$ .
Soustrais les deux résultats : $\det(A) = ad - bc$ .

💡 À retenir : $\det(A) = ad - bc$ .

Pour une matrice $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$ :

Multiplie les éléments de la diagonale principale : $a \times d$.
Multiplie les éléments de l'autre diagonale : $b \times c$.
Soustrais les deux résultats : $\det(A) = ad - bc$.

💡 À retenir : $\det(A) = ad - bc$.

Si det(A) = 0, est-ce que la matrice est inversible ?

Non. Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est différent de zéro ( $\det(A) \neq 0$ ). Si le déterminant est nul, la matrice est dite "singulière".

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff$ Inversible.

Non. Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est différent de zéro ($\det(A) \neq 0$). Si le déterminant est nul, la matrice est dite "singulière".

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff$ Inversible.

Chno l'farq bin l'jam3 w l'darb dyal les matrices ?

L'jam3 (Addition) : On additionne les éléments position par position ( $a_{ij} + b_{ij}$ ).
L'darb (Multiplication) : C'est plus complexe, on fait le produit scalaire des lignes de la première par les colonnes de la deuxième.

💡 À retenir : L'addition est simple (positionnelle), le produit est une combinaison de lignes et colonnes.

L'jam3 (Addition) : On additionne les éléments position par position ($a_{ij} + b_{ij}$).
L'darb (Multiplication) : C'est plus complexe, on fait le produit scalaire des lignes de la première par les colonnes de la deuxième.

💡 À retenir : L'addition est simple (positionnelle), le produit est une combinaison de lignes et colonnes.

Wach l'darb dyal les matrices commutative ?

Non, en général $A \times B \neq B \times A$ . L'ordre des facteurs est très important dans le calcul matriciel.

💡 À retenir : L'ordre compte ! $AB \neq BA$ .

Non, en général $A \times B \neq B \times A$. L'ordre des facteurs est très important dans le calcul matriciel.

💡 À retenir : L'ordre compte ! $AB \neq BA$.

Comment calculer 2A si A = begin{pmatrix} 1 & -3 4 & 0 end{pmatrix} ?

On multiplie chaque élément de $A$ par 2 : $2A = \begin{pmatrix} 2 \times 1 & 2 \times (-3) \\ 2 \times 4 & 2 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ 8 & 0 \end{pmatrix}$ .

💡 À retenir : Le scalaire se distribue sur tous les éléments.

On multiplie chaque élément de $A$ par 2 : $2A = \begin{pmatrix} 2 \times 1 & 2 \times (-3) \ 2 \times 4 & 2 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -6 \ 8 & 0 \end{pmatrix}$.

💡 À retenir : Le scalaire se distribue sur tous les éléments.

Quelle est la propriété de la matrice identité I ?

La matrice identité agit comme le chiffre "1" pour les matrices. Pour toute matrice carrée $A$ de même taille : $A \times I = A$ et $I \times A = A$ .

💡 À retenir : $A \times I = A$ .

La matrice identité agit comme le chiffre "1" pour les matrices. Pour toute matrice carrée $A$ de même taille : $A \times I = A$ et $I \times A = A$.

💡 À retenir : $A \times I = A$.

Comment résoudre AX = B si A est inversible ?

On multiplie les deux côtés par $A^{-1}$ à gauche : $A^{-1} \times (AX) = A^{-1} \times B$ .
Comme $A^{-1} \times A = I$ , on obtient $I \times X = A^{-1} \times B$ .
Donc $X = A^{-1} \times B$ .

💡 À retenir : $X = A^{-1}B$ .

On multiplie les deux côtés par $A^{-1}$ à gauche : $A^{-1} \times (AX) = A^{-1} \times B$.
Comme $A^{-1} \times A = I$, on obtient $I \times X = A^{-1} \times B$.
Donc $X = A^{-1} \times B$.

💡 À retenir : $X = A^{-1}B$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient les matrices suivantes : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ .

Calculer $C = A + B$ .
Calculer $D = A \times B$ .
Calculer $2A - B$ .

Exercice 1

Soient les matrices suivantes : $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \ 2 & 4 \end{pmatrix}$.

Calculer $C = A + B$.
Calculer $D = A \times B$.
Calculer $2A - B$.

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Exercice 2

Soit la matrice $M = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ .

Calculer le déterminant de $M$ .
Déterminer si $M$ est inversible.
Calculer $M^{-1}$ .

Exercice 2

Soit la matrice $M = \begin{pmatrix} 4 & 2 \ 3 & 2 \end{pmatrix}$.

Calculer le déterminant de $M$.
Déterminer si $M$ est inversible.
Calculer $M^{-1}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Résoudre le système suivant à l'aide des matrices : $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 1x + 2y = 5 \end{cases}$

Exercice 3

Résoudre le système suivant à l'aide des matrices : $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \ 1x + 2y = 5 \end{cases}$

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