Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Économiques

الاشتقاق للأولى بكالوريا شعبة العلوم الإقتصادية و التدبير

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Dérivabilité en un point Une fonction $f$ est dérivable en un point $a$ si la limite suivante existe et est finie : $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ Le nombre $f'(a)$ est appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$ .

2. Équation de la tangente L'équation de la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

3. Formules de dérivation usuelles

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$ (constante)	$0$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$ax + b$	$a$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$

4. Opérations sur les dérivées Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables :

Somme : $(u + v)' = u' + v'$
Produit : $(u \times v)' = u'v + uv'$
Quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

5. Lien entre signe de $f'$ et variations de $f$

Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle $I$ , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f'(x) = 0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer $f'(a)$ : Utiliser la formule de la limite ou calculer $f'(x)$ puis remplacer $x$ par $a$ .
Trouver l'équation de la tangente : Identifier $a$ , calculer $f(a)$ et $f'(a)$ , puis appliquer la formule.
Étudier les variations : Calculer $f'(x)$ , étudier son signe (souvent en résolvant $f'(x)=0$ ), puis dresser le tableau de variations.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = x^2 + 3x - 5$ . Calculer $f'(x)$ et l'équation de la tangente en $a=1$ . Corrigé :

$f'(x) = (x^2)' + (3x)' - (5)' = 2x + 3$ .
$f(1) = 1^2 + 3(1) - 5 = -1$ .
$f'(1) = 2(1) + 3 = 5$ .
Équation : $y = 5(x - 1) - 1 \Rightarrow y = 5x - 5 - 1 \Rightarrow y = 5x - 6$ .

Exemple 2 : Soit $g(x) = \frac{2x}{x+1}$ . Calculer $g'(x)$ . Corrigé : On pose $u(x) = 2x \Rightarrow u'(x) = 2$ et $v(x) = x+1 \Rightarrow v'(x) = 1$ . $g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(x+1) - 2x(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$ .

Erreurs fréquentes

Erreur de signe dans le quotient : Oublier que c'est $u'v \mathbf{-} uv'$ .
Confusion entre $f(a)$ et $f'(a)$ : $f(a)$ est l'ordonnée du point, $f'(a)$ est la pente.
Oublier le carré au dénominateur : Dans la dérivée d'un quotient, le dénominateur est toujours $v^2$ .

L'essentiel du cours

1. Dérivabilité en un point Une fonction $f$ est dérivable en un point $a$ si la limite suivante existe et est finie : $$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$ Le nombre $f'(a)$ est appelé le nombre dérivé de $f$ en $a$.

2. Équation de la tangente L'équation de la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ est : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

3. Formules de dérivation usuelles

Fonction $f(x)$	Dérivée $f'(x)$
$k$ (constante)	$0$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$ax + b$	$a$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$

4. Opérations sur les dérivées Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables :

Somme : $(u + v)' = u' + v'$
Produit : $(u \times v)' = u'v + uv'$
Quotient : $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

5. Lien entre signe de $f'$ et variations de $f$

Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
Si $f'(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

Méthodes à maîtriser

Calculer $f'(a)$ : Utiliser la formule de la limite ou calculer $f'(x)$ puis remplacer $x$ par $a$.
Trouver l'équation de la tangente : Identifier $a$, calculer $f(a)$ et $f'(a)$, puis appliquer la formule.
Étudier les variations : Calculer $f'(x)$, étudier son signe (souvent en résolvant $f'(x)=0$), puis dresser le tableau de variations.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = x^2 + 3x - 5$. Calculer $f'(x)$ et l'équation de la tangente en $a=1$. Corrigé :

$f'(x) = (x^2)' + (3x)' - (5)' = 2x + 3$.
$f(1) = 1^2 + 3(1) - 5 = -1$.
$f'(1) = 2(1) + 3 = 5$.
Équation : $y = 5(x - 1) - 1 \Rightarrow y = 5x - 5 - 1 \Rightarrow y = 5x - 6$.

Exemple 2 : Soit $g(x) = \frac{2x}{x+1}$. Calculer $g'(x)$. Corrigé : On pose $u(x) = 2x \Rightarrow u'(x) = 2$ et $v(x) = x+1 \Rightarrow v'(x) = 1$. $g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(x+1) - 2x(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

Erreurs fréquentes

Erreur de signe dans le quotient : Oublier que c'est $u'v \mathbf{-} uv'$.
Confusion entre $f(a)$ et $f'(a)$ : $f(a)$ est l'ordonnée du point, $f'(a)$ est la pente.
Oublier le carré au dénominateur : Dans la dérivée d'un quotient, le dénominateur est toujours $v^2$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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Quelle est la dérivée de $f(x) = x^5$ ?

Quelle est la dérivée de $f(x) = x^5$?

❓ Questions fréquentes

Si f'(a) = 0, que peut-on dire de la tangente ?

La tangente est horizontale. Son équation est $y = f(a)$ .

💡 À retenir : $f'(a)=0 \Rightarrow$ Tangente horizontale.

La tangente est horizontale. Son équation est $y = f(a)$.

💡 À retenir : $f'(a)=0 \Rightarrow$ Tangente horizontale.

Quelle est la dérivée de frac{1}{x} ?

La formule est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ .

💡 À retenir : N'oubliez pas le signe moins.

La formule est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

💡 À retenir : N'oubliez pas le signe moins.

Comment trouver le signe de f'(x) = 2x - 4 ?

Résoudre $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ .
Si $x > 2$ , $f'(x) > 0$ .
Si $x < 2$ , $f'(x) < 0$ .

💡 À retenir : On utilise un tableau de signes.

Résoudre $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$.
Si $x > 2$, $f'(x) > 0$.
Si $x < 2$, $f'(x) < 0$.

💡 À retenir : On utilise un tableau de signes.

La dérivabilité implique-t-elle la continuité ?

Oui, si une fonction est dérivable en $a$ , alors elle est obligatoirement continue en $a$ . (Mais l'inverse n'est pas toujours vrai).

💡 À retenir : Dérivable $\Rightarrow$ Continue.

Oui, si une fonction est dérivable en $a$, alors elle est obligatoirement continue en $a$. (Mais l'inverse n'est pas toujours vrai).

💡 À retenir : Dérivable $\Rightarrow$ Continue.

Quelle est la dérivée de f(x) = (3x+1)^2 ?

On utilise $(u^2)' = 2u'u$ : $u = 3x+1 \Rightarrow u' = 3$ . $f'(x) = 2(3)(3x+1) = 6(3x+1) = 18x + 6$ .

💡 À retenir : Appliquez la règle de la chaîne pour les puissances.

On utilise $(u^2)' = 2u'u$ : $u = 3x+1 \Rightarrow u' = 3$. $f'(x) = 2(3)(3x+1) = 6(3x+1) = 18x + 6$.

💡 À retenir : Appliquez la règle de la chaîne pour les puissances.

Quelle est la dérivée de f(x) = frac{x+1}{x-1} ?

$u=x+1, u'=1$ et $v=x-1, v'=1$ . $f'(x) = \frac{1(x-1) - (x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$ .

💡 À retenir : Le dénominateur est toujours $(v)^2$ .

$u=x+1, u'=1$ et $v=x-1, v'=1$. $f'(x) = \frac{1(x-1) - (x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1-x-1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}$.

💡 À retenir : Le dénominateur est toujours $(v)^2$.

Chno hiya l-farq bin f(a) w f'(a)?

$f(a)$ hiya l-valeur dyal l'fonction f dik l-point (l'ordonnée).
$f'(a)$ hiya l-valeur dyal l'dérivée (l'pente dyal l-tangente).

💡 À retenir : $f(a)$ kat-3tina l-point, $f'(a)$ kat-3tina l-milit (la pente).

$f(a)$ hiya l-valeur dyal l'fonction f dik l-point (l'ordonnée).
$f'(a)$ hiya l-valeur dyal l'dérivée (l'pente dyal l-tangente).

💡 À retenir : $f(a)$ kat-3tina l-point, $f'(a)$ kat-3tina l-milit (la pente).

Kifach n3ref wach l'fonction tazyidya awla tanaqosiya?

Khassek t-calculer l'dérivée $f'(x)$ hiya l-oula.
Dir l'étude dyal l'ichara (le signe) dyal $f'(x)$ .
Ila kant $f'(x) > 0$ , l'fonction tazyidya (croissante).
Ila kant $f'(x) < 0$ , l'fonction tanaqosiya (décroissante).

💡 À retenir : Signe dyal $f'$ $\rightarrow$ Variations dyal $f$ .

Khassek t-calculer l'dérivée $f'(x)$ hiya l-oula.
Dir l'étude dyal l'ichara (le signe) dyal $f'(x)$.
Ila kant $f'(x) > 0$, l'fonction tazyidya (croissante).
Ila kant $f'(x) < 0$, l'fonction tanaqosiya (décroissante).

💡 À retenir : Signe dyal $f'$ $\rightarrow$ Variations dyal $f$.

Chno ndir ila lqit l'limite dyal frac{f(x)-f(a)}{x-a} hiya infty?

Ila lqiti l'limite hiya $\infty$ (machi raqm), hadchi kay-3ni belli l'fonction machi dérivable f dik l-point $a$ .

💡 À retenir : Bach t-koun dérivable, darori l-limite t-koun raqm (finie).

Ila lqiti l'limite hiya $\infty$ (machi raqm), hadchi kay-3ni belli l'fonction machi dérivable f dik l-point $a$.

💡 À retenir : Bach t-koun dérivable, darori l-limite t-koun raqm (finie).

Quelle est la dérivée de f(x) = 5?

La dérivée d'une constante est toujours nulle. $f'(x) = 0$ .

💡 À retenir : Ay raqm bo7do (bla $x$ ) l'dérivée dyalo hiya $0$ .

La dérivée d'une constante est toujours nulle. $f'(x) = 0$.

💡 À retenir : Ay raqm bo7do (bla $x$) l'dérivée dyalo hiya $0$.

Comment calculer la dérivée de u(x) times v(x) ?

On utilise la formule du produit : $(u \times v)' = u'v + uv'$

💡 À retenir : Ne pas confondre avec la dérivée de la somme.

On utilise la formule du produit : $$ (u \times v)' = u'v + uv' $$

💡 À retenir : Ne pas confondre avec la dérivée de la somme.

Quelle est la dérivée de x^3?

On applique la règle $x^n \rightarrow nx^{n-1}$ : $f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$ .

💡 À retenir : On descend l'exposant et on diminue l'exposant de 1.

On applique la règle $x^n \rightarrow nx^{n-1}$ : $f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^{3-1} = 3x^2$.

💡 À retenir : On descend l'exposant et on diminue l'exposant de 1.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau facile) : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$ .

Calculer la dérivée $f'(x)$ .
Calculer le nombre dérivé $f'(2)$ .
Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x=2$ .

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau facile) : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 5x + 1$.

Calculer la dérivée $f'(x)$.
Calculer le nombre dérivé $f'(2)$.
Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x=2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau moyen) : Soit la fonction $g$ définie sur $I = ]1, +\infty[$ par $g(x) = \frac{3x - 2}{x - 1}$ .

Montrer que $g$ est dérivable sur $I$ .
Calculer $g'(x)$ et simplifier le résultat.
Étudier le signe de $g'(x)$ sur $I$ .
Dresser le tableau de variations de $g$ sur $I$ .

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau moyen) : Soit la fonction $g$ définie sur $I = ]1, +\infty[$ par $g(x) = \frac{3x - 2}{x - 1}$.

Montrer que $g$ est dérivable sur $I$.
Calculer $g'(x)$ et simplifier le résultat.
Étudier le signe de $g'(x)$ sur $I$.
Dresser le tableau de variations de $g$ sur $I$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau difficile) : Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ par $h(x) = x + \frac{4}{x}$ .

Calculer $h'(x)$ .
Résoudre l'équation $h'(x) = 0$ .
Étudier le signe de $h'(x)$ et en déduire les variations de $h$ .
Déterminer les coordonnées des points où la courbe admet un extremum.

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau difficile) : Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R} \setminus {0}$ par $h(x) = x + \frac{4}{x}$.

Calculer $h'(x)$.
Résoudre l'équation $h'(x) = 0$.
Étudier le signe de $h'(x)$ et en déduire les variations de $h$.
Déterminer les coordonnées des points où la courbe admet un extremum.

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