Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Économiques

دراسة وتمثيل الدوال مادة الرياضيات أولى باك علوم الاقتصاد والتدبير

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Domaine de définition ( $D_f$ ) : C'est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.

Pour une fraction $\frac{P(x)}{Q(x)}$ , on doit avoir $Q(x) \neq 0$ .
Pour une racine carrée $\sqrt{P(x)}$ , on doit avoir $P(x) \geq 0$ .

2. Parité :

$f$ est paire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$ . (Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).
$f$ est impaire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$ . (Symétrie par rapport à l'origine $O$ ).

3. Sens de variation et Dérivée :

Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement croissante.
Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement décroissante.
Si $f'(x) = 0$ , il peut y avoir un extremum (maximum ou minimum).

4. Asymptotes :

Asymptote verticale : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ , alors la droite $x = a$ est une asymptote verticale.
Asymptote horizontale : Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ , alors la droite $y = L$ est une asymptote horizontale.

5. Équation de la tangente : La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

Méthodes à maîtriser

Étudier les variations : Calculer $f'(x) \rightarrow$ Étudier le signe de $f'(x) \rightarrow$ Dresser le tableau de variations.
Étudier les limites : Calculer les limites aux bornes de $D_f$ pour trouver les asymptotes.
Tracer la courbe : Placer les asymptotes, les points particuliers (intersections axes), les extrema, et relier le tout en suivant le tableau de variations.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $f(x) = \frac{1}{x}$ . Étudier la parité.

$D_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$ .
Pour tout $x \in D_f$ , $-x \in D_f$ .
Calculons $f(-x)$ : $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$ .
Conclusion : $f$ est impaire.

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition : Ne jamais commencer l'étude sans $D_f$ .
Confondre les asymptotes : L'asymptote verticale est $x = a$ (limite infinie), l'horizontale est $y = L$ (limite finie).
Erreur de signe : Une erreur dans le calcul de $f'(x)$ fausse tout le tableau de variations.

L'essentiel du cours

1. Domaine de définition ($D_f$) : C'est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.

Pour une fraction $\frac{P(x)}{Q(x)}$, on doit avoir $Q(x) \neq 0$.
Pour une racine carrée $\sqrt{P(x)}$, on doit avoir $P(x) \geq 0$.

2. Parité :

$f$ est paire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$. (Symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).
$f$ est impaire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = -f(x)$. (Symétrie par rapport à l'origine $O$).

3. Sens de variation et Dérivée :

Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement croissante.
Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, alors $f$ est strictement décroissante.
Si $f'(x) = 0$, il peut y avoir un extremum (maximum ou minimum).

4. Asymptotes :

Asymptote verticale : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors la droite $x = a$ est une asymptote verticale.
Asymptote horizontale : Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$, alors la droite $y = L$ est une asymptote horizontale.

5. Équation de la tangente : La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

Méthodes à maîtriser

Étudier les variations : Calculer $f'(x) \rightarrow$ Étudier le signe de $f'(x) \rightarrow$ Dresser le tableau de variations.
Étudier les limites : Calculer les limites aux bornes de $D_f$ pour trouver les asymptotes.
Tracer la courbe : Placer les asymptotes, les points particuliers (intersections axes), les extrema, et relier le tout en suivant le tableau de variations.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $f(x) = \frac{1}{x}$. Étudier la parité.

$D_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$.
Pour tout $x \in D_f$, $-x \in D_f$.
Calculons $f(-x)$ : $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$.
Conclusion : $f$ est impaire.

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition : Ne jamais commencer l'étude sans $D_f$.
Confondre les asymptotes : L'asymptote verticale est $x = a$ (limite infinie), l'horizontale est $y = L$ (limite finie).
Erreur de signe : Une erreur dans le calcul de $f'(x)$ fausse tout le tableau de variations.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 دراسة وتمثيل الدوال مادة الرياضيات أولى باك علوم الاقتصاد والتدبير

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Quel est le domaine de définition de $f(x) = \frac{1}{x^2-9}$ ?

❓ Questions fréquentes

Pourquoi étudie-t-on le signe de la dérivée ?

Parce que le signe de $f'(x)$ nous donne directement le sens de variation de $f(x)$ (si elle monte ou si elle descend).

💡 À retenir : Signe de $f' \rightarrow$ Sens de $f$ .

Parce que le signe de $f'(x)$ nous donne directement le sens de variation de $f(x)$ (si elle monte ou si elle descend).

💡 À retenir : Signe de $f' \rightarrow$ Sens de $f$.

Peut-on avoir deux asymptotes horizontales différentes ?

Oui, une fonction peut avoir une limite différente en $+\infty$ et en $-\infty$ . Par exemple, $f(x) = \frac{e^x}{e^x+1}$ (mais l'exponentielle est hors programme ici, prenons une fonction rationnelle complexe ou une fonction avec racine).

💡 À retenir : Vérifie toujours les deux côtés ( $\pm\infty$ ).

Oui, une fonction peut avoir une limite différente en $+\infty$ et en $-\infty$. Par exemple, $f(x) = \frac{e^x}{e^x+1}$ (mais l'exponentielle est hors programme ici, prenons une fonction rationnelle complexe ou une fonction avec racine).

💡 À retenir : Vérifie toujours les deux côtés ($\pm\infty$).

Quelle est la différence entre une asymptote verticale et horizontale ?

Verticale : La courbe s'approche d'une ligne verticale $x=a$ quand $y$ devient infini.
Horizontale : La courbe s'approche d'une ligne horizontale $y=L$ quand $x$ devient infini.

💡 À retenir : Verticale $\rightarrow$ limite infinie ; Horizontale $\rightarrow$ limite finie.

Verticale : La courbe s'approche d'une ligne verticale $x=a$ quand $y$ devient infini.
Horizontale : La courbe s'approche d'une ligne horizontale $y=L$ quand $x$ devient infini.

💡 À retenir : Verticale $\rightarrow$ limite infinie ; Horizontale $\rightarrow$ limite finie.

Comment trouver l'équation de la tangente en un point a ?

Calcule la valeur de la fonction au point $a$ : $f(a)$ .
Calcule la dérivée $f'(x)$ et remplace $x$ par $a$ pour avoir le coefficient directeur $f'(a)$ .
Applique la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

💡 À retenir : La pente de la tangente est la valeur de la dérivée.

Calcule la valeur de la fonction au point $a$ : $f(a)$.
Calcule la dérivée $f'(x)$ et remplace $x$ par $a$ pour avoir le coefficient directeur $f'(a)$.
Applique la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

💡 À retenir : La pente de la tangente est la valeur de la dérivée.

Chno hiya l'asymptote f l'infini?

On parle d'asymptote horizontale. Si quand $x$ devient très grand ( $+\infty$ ) ou très petit ( $-\infty$ ), la valeur de $f(x)$ se stabilise vers un nombre $L$ , alors la droite $y=L$ est l'asymptote.

💡 À retenir : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L \implies y = L$ .

On parle d'asymptote horizontale. Si quand $x$ devient très grand ($+\infty$) ou très petit ($-\infty$), la valeur de $f(x)$ se stabilise vers un nombre $L$, alors la droite $y=L$ est l'asymptote.

💡 À retenir : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L \implies y = L$.

Est-ce que f'(x) = 0 signifie toujours un maximum ou un minimum ?

Pas forcément. Cela signifie que la tangente est horizontale. Cela peut être :

Un maximum local.
Un minimum local.
Un point d'inflexion (la fonction continue de monter ou descendre).

💡 À retenir : Il faut étudier le changement de signe de $f'(x)$ autour de ce point.

Pas forcément. Cela signifie que la tangente est horizontale. Cela peut être :

Un maximum local.
Un minimum local.
Un point d'inflexion (la fonction continue de monter ou descendre).

💡 À retenir : Il faut étudier le changement de signe de $f'(x)$ autour de ce point.

Wach darouri nrasm l'asymptotes f l'examen ?

Oui, c'est indispensable. Les asymptotes servent de "guides" pour tracer la courbe $C_f$ . Sans elles, ton dessin sera faux.

💡 À retenir : Trace toujours les asymptotes en pointillés d'abord.

Oui, c'est indispensable. Les asymptotes servent de "guides" pour tracer la courbe $C_f$. Sans elles, ton dessin sera faux.

💡 À retenir : Trace toujours les asymptotes en pointillés d'abord.

Comment trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses ?

Pose l'équation $f(x) = 0$ .
Résous l'équation pour trouver les valeurs de $x$ .
Les points sont de la forme $(x, 0)$ .

💡 À retenir : On cherche quand la courbe "touche" la ligne horizontale du milieu.

Pose l'équation $f(x) = 0$.
Résous l'équation pour trouver les valeurs de $x$.
Les points sont de la forme $(x, 0)$.

💡 À retenir : On cherche quand la courbe "touche" la ligne horizontale du milieu.

Comment trouver les points d'intersection avec l'axe des ordonnées ?

Calcule simplement la valeur de la fonction pour $x = 0$ .
Le point est $(0, f(0))$ .

💡 À retenir : On remplace juste $x$ par 0.

Calcule simplement la valeur de la fonction pour $x = 0$.
Le point est $(0, f(0))$.

💡 À retenir : On remplace juste $x$ par 0.

Comment trouver le domaine de définition d'une fonction rationnelle ?

Identifier le dénominateur.
Résoudre l'équation $\text{dénominateur} = 0$ .
Le domaine est $\mathbb{R}$ privé des solutions trouvées.

💡 À retenir : Le dénominateur ne doit jamais être nul.

Identifier le dénominateur.
Résoudre l'équation $\text{dénominateur} = 0$.
Le domaine est $\mathbb{R}$ privé des solutions trouvées.

💡 À retenir : Le dénominateur ne doit jamais être nul.

Kifach n3ref wach l'fonction paire wala impaire?

Vérifie d'abord si $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (ex: $]-5, 5[$ est ok, $]0, 5[$ ne l'est pas).
Calcule $f(-x)$ .
Si $f(-x) = f(x)$ , elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$ , elle est impaire.

💡 À retenir : Une fonction ne peut pas être les deux à la fois.

Vérifie d'abord si $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (ex: $]-5, 5[$ est ok, $]0, 5[$ ne l'est pas).
Calcule $f(-x)$.
Si $f(-x) = f(x)$, elle est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire.

💡 À retenir : Une fonction ne peut pas être les deux à la fois.

Kifach n3ref l'extremum dial l'fonction ?

Trouve les valeurs de $x$ où $f'(x) = 0$ .
Regarde si $f'(x)$ change de signe (de $+$ à $-$ pour un max, de $-$ à $+$ pour un min).
Calcule l'image $f(x)$ pour obtenir la valeur de l'extremum.

💡 À retenir : L'extremum est la valeur de $y$ .

Trouve les valeurs de $x$ où $f'(x) = 0$.
Regarde si $f'(x)$ change de signe (de $+$ à $-$ pour un max, de $-$ à $+$ pour un min).
Calcule l'image $f(x)$ pour obtenir la valeur de l'extremum.

💡 À retenir : L'extremum est la valeur de $y$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Calculer la dérivée $f'(x)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer les coordonnées du minimum de $f$ .

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Calculer la dérivée $f'(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
Déterminer les coordonnées du minimum de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ .

Déterminer $D_g$ .
Calculer les limites aux bornes de $D_g$ et en déduire les asymptotes.
Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variations.

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$.

Déterminer $D_g$.
Calculer les limites aux bornes de $D_g$ et en déduire les asymptotes.
Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variations.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National) : Soit $h(x) = x + \frac{4}{x}$ .

Déterminer $D_h$ .
Étudier la parité de $h$ .
Calculer les limites aux bornes de $D_h$ et les asymptotes.
Calculer $h'(x)$ , étudier son signe et dresser le tableau de variations.
Déterminer les extrema de $h$ .

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National) : Soit $h(x) = x + \frac{4}{x}$.

Déterminer $D_h$.
Étudier la parité de $h$.
Calculer les limites aux bornes de $D_h$ et les asymptotes.
Calculer $h'(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations.
Déterminer les extrema de $h$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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