📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Le dénombrement consiste à compter le nombre d'éléments dans un ensemble ou le nombre de réalisations possibles d'une expérience.
1. Le principe multiplicatif : Si une opération peut se faire de $n$ façons et une deuxième opération de $p$ façons, alors les deux opérations successives peuvent se faire de $n \times p$ façons.
2. La factorielle : Pour tout entier naturel $n > 0$, on note $n!$ le produit des entiers de $1$ à $n$ : $$n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$$ Par convention, $0! = 1$.
3. Les Arrangements (avec ordre, sans répétition) : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ (avec $p \le n$) est noté $A_n^p$ : $$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$$
4. Les Combinaisons (sans ordre, sans répétition) : Le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ (avec $p \le n$) est noté $C_n^p$ ou $\binom{n}{p}$ : $$C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$$
5. Les Permutations (cas particulier de l'arrangement où $p=n$) : Le nombre de permutations de $n$ éléments est : $$P_n = n!$$
Méthodes à maîtriser
Pour résoudre un problème de dénombrement, il faut toujours poser deux questions :
- L'ordre est-il important ?
- Si OUI $\rightarrow$ Arrangement ($A_n^p$).
- Si NON $\rightarrow$ Combinaison ($C_n^p$).
- Y a-t-il répétition ? (Dans le programme de 1ère Bac SE, on se concentre principalement sur le cas "sans répétition").
Schéma de décision :
- Choisir $p$ parmi $n$ avec ordre $\implies A_n^p$
- Choisir $p$ parmi $n$ sans ordre $\implies C_n^p$
- Ranger $n$ objets $\implies n!$
Exemples corrigés
Exemple 1 : Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec les lettres ${A, B, C, D, E}$ sans répétition ? Solution :
- On choisit 3 lettres parmi 5.
- L'ordre des lettres compte (un mot est une suite ordonnée).
- Pas de répétition. C'est un arrangement : $A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.
Exemple 2 : Un club de 10 personnes veut former un bureau composé d'un président et d'un secrétaire. Combien de bureaux possibles ? Solution :
- On choisit 2 personnes parmi 10.
- L'ordre compte (être président est différent d'être secrétaire).
- Pas de répétition (une personne ne peut pas occuper les deux postes). C'est un arrangement : $A_{10}^2 = \frac{10!}{(10-2)!} = 10 \times 9 = 90$.
Exemple 3 : Combien de sous-ensembles de 3 élèves peut-on former dans une classe de 20 ? Solution :
- On choisit 3 élèves parmi 20.
- L'ordre ne compte pas (un groupe est un groupe).
- Pas de répétition. C'est une combinaison : $C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 20 \times 19 \times 3 = 1140$.
Erreurs fréquentes
- Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : L'erreur classique est d'utiliser la combinaison quand l'ordre est important (ex: codes, podiums, fonctions).
- Inverser $n$ et $p$ : Rappelez-vous que $n$ est le total et $p$ est le nombre d'éléments choisis ($n \ge p$).
- Oublier de diviser par $p!$ dans les combinaisons : La combinaison est toujours plus petite que l'arrangement car on "élimine" les doublons créés par l'ordre.