Physique-Chimie · BTS & DUT (EST) — BTS

Décroissance radioactive

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La désintégration radioactive est un phénomène nucléaire aléatoire, spontané et inéluctable.

Loi de décroissance : $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$
Activité : $a(t) = \lambda \cdot N(t) = a_0 \cdot e^{-\lambda t}$ (en Becquerel, Bq).
Demi-vie ( $t_{1/2}$ ) : Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs se désintègrent. $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ .
Lois de Soddy : Conservation du nombre de masse $A$ et du numéro atomique $Z$ .

Méthodes à maîtriser

Équilibrer une équation : Vérifier $\sum A_{gauche} = \sum A_{droite}$ et $\sum Z_{gauche} = \sum Z_{droite}$ .
Déterminer $t_{1/2}$ graphiquement : Tracer l'ordonnée $N_0/2$ et lire l'abscisse correspondante.
Calculer l'âge d'un échantillon : Utiliser $t = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{N_0}{N(t)}\right)$ .

Exemples corrigés

Exemple : Soit un échantillon de $N_0$ noyaux avec $\lambda = 0,1 \, \text{an}^{-1}$ . Calculer $t_{1/2}$ : $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{0,1} \approx 6,93$ ans.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités de temps (secondes, années).
Confondre $N(t)$ (nombre de noyaux restants) et $N_{dés}$ (nombre de noyaux désintégrés : $N_{dés} = N_0 - N(t)$ ).
Utiliser la calculatrice en mode "Degré" au lieu de "Radian" pour les fonctions exponentielles (bien que non nécessaire ici, c'est une habitude à prendre).

L'essentiel du cours

La désintégration radioactive est un phénomène nucléaire aléatoire, spontané et inéluctable.

Loi de décroissance : $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$
Activité : $a(t) = \lambda \cdot N(t) = a_0 \cdot e^{-\lambda t}$ (en Becquerel, Bq).
Demi-vie ($t_{1/2}$) : Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs se désintègrent. $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$.
Lois de Soddy : Conservation du nombre de masse $A$ et du numéro atomique $Z$.

Méthodes à maîtriser

Équilibrer une équation : Vérifier $\sum A_{gauche} = \sum A_{droite}$ et $\sum Z_{gauche} = \sum Z_{droite}$.
Déterminer $t_{1/2}$ graphiquement : Tracer l'ordonnée $N_0/2$ et lire l'abscisse correspondante.
Calculer l'âge d'un échantillon : Utiliser $t = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{N_0}{N(t)}\right)$.

Exemples corrigés

Exemple : Soit un échantillon de $N_0$ noyaux avec $\lambda = 0,1 , \text{an}^{-1}$. Calculer $t_{1/2}$ : $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{0,1} \approx 6,93$ ans.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités de temps (secondes, années).
Confondre $N(t)$ (nombre de noyaux restants) et $N_{dés}$ (nombre de noyaux désintégrés : $N_{dés} = N_0 - N(t)$).
Utiliser la calculatrice en mode "Degré" au lieu de "Radian" pour les fonctions exponentielles (bien que non nécessaire ici, c'est une habitude à prendre).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Décroissance radioactive

1/4

La loi de décroissance radioactive s'écrit :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre N(t) et a(t) ?

$N(t)$ est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant $t$ .
$a(t)$ est l'activité, c'est-à-dire le nombre de désintégrations par seconde.
La relation est $a(t) = \lambda \cdot N(t)$ .

💡 À retenir : L'activité est proportionnelle au nombre de noyaux.

$N(t)$ est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant $t$.
$a(t)$ est l'activité, c'est-à-dire le nombre de désintégrations par seconde.
La relation est $a(t) = \lambda \cdot N(t)$.

💡 À retenir : L'activité est proportionnelle au nombre de noyaux.

Kifach n7seb t{1/2} ila 3tani lman7na dyal N(t) ?

Chouf lqima dyal $N_0$ f lman7na (f lwaqt $t=0$ ).
Qssm $N_0$ 3la 2 bach t7ssal 3la $N_0/2$ .
Chouf f lman7na chno howa lwaqt li kaywafq $N_0/2$ .

💡 À retenir : L'abscisse correspondant à $N_0/2$ est exactement $t_{1/2}$ .

Chouf lqima dyal $N_0$ f lman7na (f lwaqt $t=0$).
Qssm $N_0$ 3la 2 bach t7ssal 3la $N_0/2$.
Chouf f lman7na chno howa lwaqt li kaywafq $N_0/2$.

💡 À retenir : L'abscisse correspondant à $N_0/2$ est exactement $t_{1/2}$.

Est-ce que la constante radioactive lambda dépend de la température ?

Non. La désintégration radioactive est un phénomène nucléaire qui ne dépend pas des conditions extérieures (température, pression, état chimique).

💡 À retenir : $\lambda$ est une caractéristique propre à chaque noyau radioactif.

Non. La désintégration radioactive est un phénomène nucléaire qui ne dépend pas des conditions extérieures (température, pression, état chimique).

💡 À retenir : $\lambda$ est une caractéristique propre à chaque noyau radioactif.

Chno hiya l3alaqa bin N(t) w N0 ?

La loi de décroissance radioactive est $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$ .

💡 À retenir : C'est une fonction exponentielle décroissante.

La loi de décroissance radioactive est $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$.

💡 À retenir : C'est une fonction exponentielle décroissante.

Kifach n3ref wach l'emission hiya alpha aw beta^- ?

$\alpha$ : émission d'un noyau d'hélium $^4_2\text{He}$ .
$\beta^-$ : émission d'un électron $^0_{-1}e$ .

💡 À retenir : Regarde la différence de $A$ et $Z$ entre le père et le fils.

$\alpha$ : émission d'un noyau d'hélium $^4_2\text{He}$.
$\beta^-$ : émission d'un électron $^0_{-1}e$.

💡 À retenir : Regarde la différence de $A$ et $Z$ entre le père et le fils.

Pourquoi on utilise le carbone 14 pour la datation ?

Parce que sa demi-vie est adaptée à l'échelle de temps des restes archéologiques (environ 5730 ans).

💡 À retenir : Le choix de l'isotope dépend de l'âge estimé de l'échantillon.

Est-ce que l'activité a(t) peut devenir nulle ?

Théoriquement non, car la fonction exponentielle ne s'annule qu'à l'infini. Pratiquement, elle devient négligeable après plusieurs demi-vies.

💡 À retenir : $a(t) \to 0$ quand $t \to \infty$ .

Théoriquement non, car la fonction exponentielle ne s'annule qu'à l'infini. Pratiquement, elle devient négligeable après plusieurs demi-vies.

💡 À retenir : $a(t) \to 0$ quand $t \to \infty$.

Wach l'unite dyal lambda hiya s^{-1} dima ?

Oui, dans le système international, $\lambda$ est en $s^{-1}$ car $\lambda \cdot t$ doit être sans unité. Mais on peut utiliser $an^{-1}$ ou $jour^{-1}$ .

💡 À retenir : L'unité de $\lambda$ est toujours l'inverse de l'unité de temps.

Oui, dans le système international, $\lambda$ est en $s^{-1}$ car $\lambda \cdot t$ doit être sans unité. Mais on peut utiliser $an^{-1}$ ou $jour^{-1}$.

💡 À retenir : L'unité de $\lambda$ est toujours l'inverse de l'unité de temps.

Comment calculer le nombre de noyaux désintégrés ?

Nombre initial : $N_0$ .
Nombre restant : $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$ .
Nombre désintégré : $N_{dés} = N_0 - N(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ .

💡 À retenir : $N_{dés} + N_{restant} = N_0$ .

Nombre initial : $N_0$.
Nombre restant : $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$.
Nombre désintégré : $N_{dés} = N_0 - N(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$.

💡 À retenir : $N_{dés} + N_{restant} = N_0$.

Est-ce que la masse de l'échantillon diminue ?

Oui, car les noyaux radioactifs se transforment en d'autres noyaux (souvent de masse différente).

💡 À retenir : La conservation de la masse totale est respectée, mais la masse de l'isotope radioactif diminue.

Pourquoi dit-on que la radioactivité est aléatoire ?

Parce qu'on ne peut pas prédire l'instant précis où un noyau donné va se désintégrer.

💡 À retenir : On ne peut travailler que sur des grands nombres de noyaux (statistiques).

Comment calculer lambda si on a t{1/2} ?

Utilise la formule $\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$ .

💡 À retenir : $\ln(2) \approx 0,693$ .

Utilise la formule $\lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}}$.

💡 À retenir : $\ln(2) \approx 0,693$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un échantillon de Cobalt 60 ( $^{60}_{27}\text{Co}$ ) a une activité initiale $a_0 = 10^9$ Bq. Sa demi-vie est $t_{1/2} = 5,27$ ans.

Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $an^{-1}$ .
Calculer l'activité à $t = 10,54$ ans.
Déterminer le temps nécessaire pour que l'activité soit le quart de $a_0$ .

Exercice 1

Un échantillon de Cobalt 60 ($^{60}{27}\text{Co}$) a une activité initiale $a_0 = 10^9$ Bq. Sa demi-vie est $t{1/2} = 5,27$ ans.

Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $an^{-1}$.
Calculer l'activité à $t = 10,54$ ans.
Déterminer le temps nécessaire pour que l'activité soit le quart de $a_0$.

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