Systèmes oscillants

1. On utilise les conditions initiales à $t=0$.
2. $x(0) = X_m \cos(\varphi)$ et $v(0) = \dot{x}(0) = -X_m \frac{2\pi}{T_0} \sin(\varphi)$.
3. On résout le système pour trouver $X_m$ et $\varphi$ selon les valeurs de $x(0)$ et $v(0)$ données.

💡 À retenir : Toujours vérifier la valeur de la vitesse initiale $v(0)$ (si le système est lâché sans vitesse initiale, $v(0)=0$ donc $\varphi=0$ ou $\pi$).

Non. La formule de la période propre du pendule simple est $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$. Elle dépend uniquement de la longueur du fil $l$ et de l'intensité de la pesanteur $g$.

💡 À retenir : La masse n'apparaît pas dans l'expression de $T_0$ pour un pendule simple.

1. L'oscillateur libre (non amorti) conserve son énergie mécanique et oscille indéfiniment avec la même amplitude.
2. L'oscillateur amorti subit des forces de frottement, perd de l'énergie sous forme de chaleur, et son amplitude diminue au cours du temps.

💡 À retenir : L'amortissement transforme l'énergie mécanique en énergie thermique.

1. On ajoute la force de frottement $\vec{f} = -h\vec{v}$ au bilan des forces.
2. On applique la deuxième loi de Newton : $\sum \vec{F} = m\vec{a}$.
3. On projette sur l'axe du mouvement : $-kx - h\dot{x} = m\ddot{x}$.
4. On ordonne : $m\ddot{x} + h\dot{x} + kx = 0$.

💡 À retenir : La présence du terme $h\dot{x}$ indique un régime pseudo-périodique.

Parce que l'équation différentielle $\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin\theta = 0$ n'est pas linéaire. L'approximation $\sin\theta \approx \theta$ permet d'obtenir une équation différentielle linéaire du second ordre, facile à résoudre.

💡 À retenir : Sans cette approximation, le mouvement n'est pas harmonique.

Pour un pendule élastique ou un pendule simple (petits angles), la période propre $T_0$ est indépendante de l'amplitude $X_m$. C'est l'isochronisme des petites oscillations.

💡 À retenir : $T_0$ ne dépend que des paramètres du système ($m, k$ ou $l, g$).

1. Pseudo-périodique : oscillations qui s'amortissent.
2. Apériodique : retour à l'équilibre sans oscillation.
3. Critique : retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation.

💡 À retenir : Le régime critique est le seuil entre l'oscillation et le retour direct.

L'unité est le Newton par mètre ($N/m$). Elle représente la force nécessaire pour étirer le ressort d'un mètre.

💡 À retenir : Toujours travailler en unités SI (mètres, kilogrammes, secondes).

Oui, et il oscille indéfiniment car il n'y a pas de frottements dus à l'air. L'énergie mécanique est conservée.

💡 À retenir : En l'absence de frottements, l'oscillateur est dit "non amorti".

1. On identifie $T_0$ à partir de l'équation ($\omega_0^2 = k/m$).
2. On calcule $T_0 = 2\pi/\omega_0$.
3. On utilise les conditions initiales pour placer le point de départ sur l'axe des ordonnées.

💡 À retenir : La courbe est une sinusoïde de période $T_0$.

Oui. Si on coupe un ressort de raideur $k$ et de longueur $L$ en deux, chaque moitié a une raideur $k' = 2k$. La raideur est inversement proportionnelle à la longueur.

💡 À retenir : $k \cdot L = \text{constante}$.

Le pendule simple est une masse ponctuelle au bout d'un fil. Le pendule pesant est un solide de masse $m$ et de moment d'inertie $J_\Delta$ tournant autour d'un axe.

💡 À retenir : $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{J_\Delta}{mgd}}$ où $d$ est la distance centre de gravité-axe.