Physique-Chimie · BTS & DUT (EST) — BTS

Dipôle RL

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La bobine : Dipôle caractérisé par son inductance $L$ (en H) et sa résistance interne $r$ (en $\Omega$ ).
Loi d'Ohm : La tension aux bornes d'une bobine est $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$ .
Équation différentielle : Pour un circuit RL série (générateur $E$ , résistance $R$ , bobine $L, r$ ) : $L \frac{di}{dt} + (R+r)i = E$ .
Solution : $i(t) = \frac{E}{R+r} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$ avec $\tau = \frac{L}{R+r}$ .
Énergie magnétique : $E_m = \frac{1}{2} L i^2$ .

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions ( $u_L + u_R = E$ ).
Déterminer $\tau$ graphiquement : Utiliser la tangente à l'origine ou la valeur $0,63 \cdot I_{max}$ .
Calculer $L$ ou $r$ : Utiliser le régime permanent ( $I_{max} = \frac{E}{R+r}$ ) et la constante de temps $\tau$ .

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $L=0,5$ H et $R+r=100$ $\Omega$ , alors $\tau = 0,5/100 = 5$ ms.
Régime permanent : Si $E=6$ V et $R+r=20$ $\Omega$ , alors $I_{max} = 6/20 = 0,3$ A.

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans les calculs.
Confondre $u_L = L \frac{di}{dt}$ (bobine idéale) et $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$ (bobine réelle).
Se tromper dans l'unité de $\tau$ (souvent en ms, convertir en s pour les calculs).

L'essentiel du cours

La bobine : Dipôle caractérisé par son inductance $L$ (en H) et sa résistance interne $r$ (en $\Omega$).
Loi d'Ohm : La tension aux bornes d'une bobine est $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$.
Équation différentielle : Pour un circuit RL série (générateur $E$, résistance $R$, bobine $L, r$) : $L \frac{di}{dt} + (R+r)i = E$.
Solution : $i(t) = \frac{E}{R+r} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$ avec $\tau = \frac{L}{R+r}$.
Énergie magnétique : $E_m = \frac{1}{2} L i^2$.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions ($u_L + u_R = E$).
Déterminer $\tau$ graphiquement : Utiliser la tangente à l'origine ou la valeur $0,63 \cdot I_{max}$.
Calculer $L$ ou $r$ : Utiliser le régime permanent ($I_{max} = \frac{E}{R+r}$) et la constante de temps $\tau$.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $L=0,5$ H et $R+r=100$ $\Omega$, alors $\tau = 0,5/100 = 5$ ms.
Régime permanent : Si $E=6$ V et $R+r=20$ $\Omega$, alors $I_{max} = 6/20 = 0,3$ A.

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans les calculs.
Confondre $u_L = L \frac{di}{dt}$ (bobine idéale) et $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$ (bobine réelle).
Se tromper dans l'unité de $\tau$ (souvent en ms, convertir en s pour les calculs).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dipôle RL

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L'unité de la constante de temps $\tau$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb r (résistance interne) dial bobine?

Khsek tkhdem f régime permanent (fin $di/dt = 0$ ).
3ndna l'loi d'Ohm $U_L = r \cdot I_{max}$ .
Donc $r = U_L / I_{max}$ .

💡 À retenir : F régime permanent, la bobine katwli bhal chi résistor 3adi 9imto $r$ .

Khsek tkhdem f régime permanent (fin $di/dt = 0$).
3ndna l'loi d'Ohm $U_L = r \cdot I_{max}$.
Donc $r = U_L / I_{max}$.

💡 À retenir : F régime permanent, la bobine katwli bhal chi résistor 3adi 9imto $r$.

Chno hiya l'fayda dial tau f l'circuit RL?

$\tau$ kat3tina l'fكرة 3la chhal dial l'wa9t khass l'tayar bach ywsal l'qimto l'qouswa.
Plus $\tau$ kbira, plus l'établissement dial tayar kayt3trol.

💡 À retenir : L'établissement dial tayar kayt3tabr "sali" (régime permanent) f l'wa9t $t \approx 5\tau$ .

$\tau$ kat3tina l'fكرة 3la chhal dial l'wa9t khass l'tayar bach ywsal l'qimto l'qouswa.
Plus $\tau$ kbira, plus l'établissement dial tayar kayt3trol.

💡 À retenir : L'établissement dial tayar kayt3tabr "sali" (régime permanent) f l'wa9t $t \approx 5\tau$.

Wach l'énergie magnétique katmchi f'l'hawa?

La, l'énergie li mkhbaya f l'bobine katb9a mkhbaya 3la chkl champ magnétique.
Ila 9ta3na tayar, l'énergie katmchi f'chkl chaleur (effet Joule) ila kan l'circuit fih résistance.

💡 À retenir : L'énergie magnétique $E_m = 1/2 L i^2$ kat3tamd 3la l'carré dial chidat tayar.

La, l'énergie li mkhbaya f l'bobine katb9a mkhbaya 3la chkl champ magnétique.
Ila 9ta3na tayar, l'énergie katmchi f'chkl chaleur (effet Joule) ila kan l'circuit fih résistance.

💡 À retenir : L'énergie magnétique $E_m = 1/2 L i^2$ kat3tamd 3la l'carré dial chidat tayar.

Pourquoi la tension aux bornes de la bobine est-elle nulle en régime permanent ?

En régime permanent, $i = I_{max} = \text{constante}$ .
Donc $\frac{di}{dt} = 0$ .
Comme $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$ , alors $u_L = r \cdot I_{max}$ .

💡 À retenir : La tension n'est nulle que si la bobine est idéale ( $r=0$ ).

En régime permanent, $i = I_{max} = \text{constante}$.
Donc $\frac{di}{dt} = 0$.
Comme $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$, alors $u_L = r \cdot I_{max}$.

💡 À retenir : La tension n'est nulle que si la bobine est idéale ($r=0$).

Comment déterminer graphiquement la constante de temps tau ?

Tracer la tangente à la courbe $i(t)$ à l'origine ( $t=0$ ).
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale ( $I_{max}$ ) donne l'abscisse $\tau$ .

💡 À retenir : $\tau$ est le temps nécessaire pour atteindre $63\%$ de $I_{max}$ .

Tracer la tangente à la courbe $i(t)$ à l'origine ($t=0$).
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale ($I_{max}$) donne l'abscisse $\tau$.

💡 À retenir : $\tau$ est le temps nécessaire pour atteindre $63%$ de $I_{max}$.

Quelle est l'influence de l'inductance L sur le courant ?

$L$ s'oppose aux variations du courant.
Plus $L$ est grande, plus la pente $\frac{di}{dt}$ est faible.
Le courant met plus de temps à s'établir.

💡 À retenir : L'inductance est l'inertie électrique du circuit.

$L$ s'oppose aux variations du courant.
Plus $L$ est grande, plus la pente $\frac{di}{dt}$ est faible.
Le courant met plus de temps à s'établir.

💡 À retenir : L'inductance est l'inertie électrique du circuit.

Est-ce que l'énergie magnétique peut être négative ?

Non, l'expression est $E_m = \frac{1}{2} L i^2$ .
$L > 0$ et $i^2 \geq 0$ .
L'énergie est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : L'énergie est une grandeur physique positive.

Non, l'expression est $E_m = \frac{1}{2} L i^2$.
$L > 0$ et $i^2 \geq 0$.
L'énergie est toujours positive ou nulle.

💡 À retenir : L'énergie est une grandeur physique positive.

Comment varie uL au moment de la fermeture de l'interrupteur ?

À $t=0$ , $i=0$ .
La tension $u_L$ est maximale et égale à $E$ .
Elle décroît ensuite vers $r \cdot I_{max}$ .

💡 À retenir : La bobine s'oppose brutalement à l'établissement du courant.

À $t=0$, $i=0$.
La tension $u_L$ est maximale et égale à $E$.
Elle décroît ensuite vers $r \cdot I_{max}$.

💡 À retenir : La bobine s'oppose brutalement à l'établissement du courant.

Est-ce que la résistance R du circuit influence l'énergie maximale ?

Oui, car $I_{max} = \frac{E}{R+r}$ .
$E_{m,max} = \frac{1}{2} L I_{max}^2 = \frac{1}{2} L (\frac{E}{R+r})^2$ .
Si $R$ augmente, $I_{max}$ diminue, donc $E_{m,max}$ diminue.

💡 À retenir : La résistance totale dissipe l'énergie par effet Joule.

Oui, car $I_{max} = \frac{E}{R+r}$.
$E_{m,max} = \frac{1}{2} L I_{max}^2 = \frac{1}{2} L (\frac{E}{R+r})^2$.
Si $R$ augmente, $I_{max}$ diminue, donc $E_{m,max}$ diminue.

💡 À retenir : La résistance totale dissipe l'énergie par effet Joule.

Quelle est l'unité de l'inductance L ?

L'unité est le Henry (H).
On peut la déduire de $u_L = L \frac{di}{dt} \Rightarrow L = \frac{u_L}{di/dt}$ .
$1 \text{ H} = 1 \text{ V} \cdot \text{s} \cdot \text{A}^{-1}$ .

💡 À retenir : Le Henry est l'unité du système international.

L'unité est le Henry (H).
On peut la déduire de $u_L = L \frac{di}{dt} \Rightarrow L = \frac{u_L}{di/dt}$.
$1 \text{ H} = 1 \text{ V} \cdot \text{s} \cdot \text{A}^{-1}$.

💡 À retenir : Le Henry est l'unité du système international.

Pourquoi dit-on que la bobine est un dipôle inductif ?

Parce qu'elle possède une inductance $L$ .
Elle crée un phénomène d'auto-induction qui retarde l'établissement du courant.

💡 À retenir : L'inductance est la capacité de la bobine à stocker de l'énergie magnétique.

Parce qu'elle possède une inductance $L$.
Elle crée un phénomène d'auto-induction qui retarde l'établissement du courant.

💡 À retenir : L'inductance est la capacité de la bobine à stocker de l'énergie magnétique.

Peut-on mesurer L avec un ohmmètre ?

Non, l'ohmmètre mesure la résistance $r$ .
Pour mesurer $L$ , il faut étudier la réponse temporelle du circuit ou utiliser un pont d'impédance.

💡 À retenir : L'ohmmètre ne mesure que les grandeurs résistives.

Non, l'ohmmètre mesure la résistance $r$.
Pour mesurer $L$, il faut étudier la réponse temporelle du circuit ou utiliser un pont d'impédance.

💡 À retenir : L'ohmmètre ne mesure que les grandeurs résistives.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un circuit comporte en série : un générateur de tension $E=6$ V, un conducteur ohmique de résistance $R=50$ $\Omega$ , une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r=10$ $\Omega$ . À $t=0$ , on ferme l'interrupteur.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $i(t)$ .
Déterminer l'expression de $I_{max}$ en régime permanent.
Sachant que $\tau = 10$ ms, calculer $L$ .

Exercice 1

Un circuit comporte en série : un générateur de tension $E=6$ V, un conducteur ohmique de résistance $R=50$ $\Omega$, une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r=10$ $\Omega$. À $t=0$, on ferme l'interrupteur.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $i(t)$.
Déterminer l'expression de $I_{max}$ en régime permanent.
Sachant que $\tau = 10$ ms, calculer $L$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On utilise un oscilloscope pour visualiser $u_R(t)$ . On observe une courbe qui croît de 0 à 5 V.

Exprimer $i(t)$ en fonction de $u_R(t)$ et $R$ .
Si $R=100$ $\Omega$ , quelle est la valeur de $I_{max}$ ?
Si la tangente à l'origine coupe l'asymptote à $t=2$ ms, quelle est la valeur de $\tau$ ?

Exercice 2

On utilise un oscilloscope pour visualiser $u_R(t)$. On observe une courbe qui croît de 0 à 5 V.

Exprimer $i(t)$ en fonction de $u_R(t)$ et $R$.
Si $R=100$ $\Omega$, quelle est la valeur de $I_{max}$ ?
Si la tangente à l'origine coupe l'asymptote à $t=2$ ms, quelle est la valeur de $\tau$ ?

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Exercice 3

Une bobine ( $L, r$ ) est traversée par un courant $i(t) = I_0(1 - e^{-t/\tau})$ .

Montrer que $u_L(t) = E \cdot e^{-t/\tau}$ (en supposant $r$ négligeable).
Calculer l'énergie magnétique stockée à $t=\tau$ .

Exercice 3

Une bobine ($L, r$) est traversée par un courant $i(t) = I_0(1 - e^{-t/\tau})$.

Montrer que $u_L(t) = E \cdot e^{-t/\tau}$ (en supposant $r$ négligeable).
Calculer l'énergie magnétique stockée à $t=\tau$.

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