Mathématiques · 2ème Année Bac — SVT

Fonctions primitives

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x \in I$ , $F'(x) = f(x)$ .

Théorème : Si $f$ admet une primitive $F$ sur $I$ , alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $x \mapsto F(x) + c$ , où $c \in \mathbb{R}$ .
Primitives usuelles :
- $k \to kx + c$
- $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ )
- $\frac{1}{x^2} \to -\frac{1}{x} + c$
- $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 2\sqrt{x} + c$
- $\sin(x) \to -\cos(x) + c$
- $\cos(x) \to \sin(x) + c$
Opérations : Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ de $g$ , alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ .

Méthodes à maîtriser

Reconnaître la forme : Identifier si la fonction ressemble à $u'u^n$ , $\frac{u'}{u^2}$ , ou $u' \cos(u)$ .
Déterminer la constante $c$ : Utiliser une condition initiale donnée (ex: $F(x_0) = y_0$ ) pour trouver la valeur unique de $c$ .
Utiliser la linéarité : Décomposer une somme de fonctions pour trouver la primitive terme à terme.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Déterminer la primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x$ sur $\mathbb{R}$ . $F(x) = 3(\frac{x^3}{3}) + 2(\frac{x^2}{2}) + c = x^3 + x^2 + c$ .
Exemple 2 : Primitive de $f(x) = \cos(2x+1)$ . On utilise la forme $u' \cos(u)$ avec $u=2x+1$ , donc $u'=2$ . $f(x) = \frac{1}{2} (2 \cos(2x+1))$ , donc $F(x) = \frac{1}{2} \sin(2x+1) + c$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $+c$ dans l'expression générale.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: primitiver $\cos(x)$ en $-\sin(x)$ au lieu de $\sin(x)$ ).
Appliquer la formule $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $n=-1$ (ce qui est impossible, car le logarithme n'est pas encore étudié à ce stade du programme).

L'essentiel du cours

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.

Théorème : Si $f$ admet une primitive $F$ sur $I$, alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $x \mapsto F(x) + c$, où $c \in \mathbb{R}$.
Primitives usuelles :
- $k \to kx + c$
- $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ ($n \in \mathbb{N}^*$)
- $\frac{1}{x^2} \to -\frac{1}{x} + c$
- $\frac{1}{\sqrt{x}} \to 2\sqrt{x} + c$
- $\sin(x) \to -\cos(x) + c$
- $\cos(x) \to \sin(x) + c$
Opérations : Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ de $g$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$.

Méthodes à maîtriser

Reconnaître la forme : Identifier si la fonction ressemble à $u'u^n$, $\frac{u'}{u^2}$, ou $u' \cos(u)$.
Déterminer la constante $c$ : Utiliser une condition initiale donnée (ex: $F(x_0) = y_0$) pour trouver la valeur unique de $c$.
Utiliser la linéarité : Décomposer une somme de fonctions pour trouver la primitive terme à terme.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Déterminer la primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x$ sur $\mathbb{R}$. $F(x) = 3(\frac{x^3}{3}) + 2(\frac{x^2}{2}) + c = x^3 + x^2 + c$.
Exemple 2 : Primitive de $f(x) = \cos(2x+1)$. On utilise la forme $u' \cos(u)$ avec $u=2x+1$, donc $u'=2$. $f(x) = \frac{1}{2} (2 \cos(2x+1))$, donc $F(x) = \frac{1}{2} \sin(2x+1) + c$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $+c$ dans l'expression générale.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: primitiver $\cos(x)$ en $-\sin(x)$ au lieu de $\sin(x)$).
Appliquer la formule $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ pour $n=-1$ (ce qui est impossible, car le logarithme n'est pas encore étudié à ce stade du programme).

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🎯 Fonctions primitives

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Quelle est la primitive de $f(x) = 4x^3$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que chaque fonction admet une primitive ?

Non, pas forcément. Pour qu'une fonction admette une primitive sur un intervalle $I$ , il est nécessaire qu'elle soit continue sur cet intervalle. Si la fonction présente une discontinuité (un saut), elle n'admet pas de primitive sur tout l'intervalle.

💡 À retenir : La continuité est la condition suffisante pour l'existence d'une primitive.

Non, pas forcément. Pour qu'une fonction admette une primitive sur un intervalle $I$, il est nécessaire qu'elle soit continue sur cet intervalle. Si la fonction présente une discontinuité (un saut), elle n'admet pas de primitive sur tout l'intervalle.

💡 À retenir : La continuité est la condition suffisante pour l'existence d'une primitive.

Kifach n7seb la primitive dial f(x) = (2x+1)^3 ?

Pour ce genre de fonction, on utilise la forme $u'u^n$ avec $u(x) = 2x+1$ .

On remarque que $u'(x) = 2$ .
On écrit $f(x) = \frac{1}{2} \times 2(2x+1)^3$ .
La primitive est donc $F(x) = \frac{1}{2} \times \frac{(2x+1)^4}{4} + c = \frac{(2x+1)^4}{8} + c$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier si la dérivée de la parenthèse est présente (ou peut être ajoutée par une constante).

Pour ce genre de fonction, on utilise la forme $u'u^n$ avec $u(x) = 2x+1$.

On remarque que $u'(x) = 2$.
On écrit $f(x) = \frac{1}{2} \times 2(2x+1)^3$.
La primitive est donc $F(x) = \frac{1}{2} \times \frac{(2x+1)^4}{4} + c = \frac{(2x+1)^4}{8} + c$.

💡 À retenir : Toujours vérifier si la dérivée de la parenthèse est présente (ou peut être ajoutée par une constante).

Est-ce que je peux choisir n'importe quelle valeur pour c ?

Si l'énoncé ne donne aucune condition supplémentaire, $c$ est un nombre réel quelconque. On écrit alors $F(x) + c$ avec $c \in \mathbb{R}$ . Par contre, si on te donne une condition comme $F(1) = 5$ , tu dois remplacer $x$ par 1, égaler le résultat à 5, et résoudre l'équation pour trouver la valeur précise de $c$ .

💡 À retenir : La constante $c$ n'est fixée que si une condition initiale est imposée.

Si l'énoncé ne donne aucune condition supplémentaire, $c$ est un nombre réel quelconque. On écrit alors $F(x) + c$ avec $c \in \mathbb{R}$. Par contre, si on te donne une condition comme $F(1) = 5$, tu dois remplacer $x$ par 1, égaler le résultat à 5, et résoudre l'équation pour trouver la valeur précise de $c$.

💡 À retenir : La constante $c$ n'est fixée que si une condition initiale est imposée.

Chno hiya l'relation bin dérivée et primitive ?

C'est une relation inverse. Si tu dérives une fonction $F$ , tu obtiens $f$ . Si tu cherches la primitive de $f$ , tu reviens à $F$ . C'est comme le calcul et son opération inverse.

💡 À retenir : $F'(x) = f(x)$ est la définition fondamentale.

C'est une relation inverse. Si tu dérives une fonction $F$, tu obtiens $f$. Si tu cherches la primitive de $f$, tu reviens à $F$. C'est comme le calcul et son opération inverse.

💡 À retenir : $F'(x) = f(x)$ est la définition fondamentale.

Comment primitiver une fonction sous forme de fraction ?

Il faut vérifier si la fraction ressemble à une forme connue :

Si c'est $\frac{u'}{u^2}$ , la primitive est $-\frac{1}{u} + c$ .
Si c'est $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$ , la primitive est $\sqrt{u} + c$ .
Si la forme ne correspond pas, il faut transformer l'expression (factorisation, division euclidienne si possible).

💡 À retenir : Identifie toujours $u(x)$ au dénominateur pour voir si son dérivé est au numérateur.

Il faut vérifier si la fraction ressemble à une forme connue :

Si c'est $\frac{u'}{u^2}$, la primitive est $-\frac{1}{u} + c$.
Si c'est $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$, la primitive est $\sqrt{u} + c$.
Si la forme ne correspond pas, il faut transformer l'expression (factorisation, division euclidienne si possible).

💡 À retenir : Identifie toujours $u(x)$ au dénominateur pour voir si son dérivé est au numérateur.

Kifach n3ref wach l'primitive li l9it s7i7a ?

C'est très simple : il suffit de dériver ton résultat $F(x)$ . Si tu retrouves la fonction de départ $f(x)$ , alors ton calcul est correct. N'oublie pas que la dérivée de la constante $c$ est toujours 0.

💡 À retenir : La vérification par dérivation est le meilleur moyen d'éviter les erreurs.

C'est très simple : il suffit de dériver ton résultat $F(x)$. Si tu retrouves la fonction de départ $f(x)$, alors ton calcul est correct. N'oublie pas que la dérivée de la constante $c$ est toujours 0.

💡 À retenir : La vérification par dérivation est le meilleur moyen d'éviter les erreurs.

Est-ce que la primitive d'un produit est le produit des primitives ?

Non, absolument pas ! C'est une erreur très grave. La primitive d'un produit $f \times g$ n'est pas égale à $F \times G$ . Il faut toujours essayer de transformer l'expression pour obtenir une somme ou une forme connue comme $u'u^n$ .

💡 À retenir : Il n'existe pas de formule simple pour la primitive d'un produit.

Non, absolument pas ! C'est une erreur très grave. La primitive d'un produit $f \times g$ n'est pas égale à $F \times G$. Il faut toujours essayer de transformer l'expression pour obtenir une somme ou une forme connue comme $u'u^n$.

💡 À retenir : Il n'existe pas de formule simple pour la primitive d'un produit.

Si j'ai f(x) = sin(x) + cos(x), comment je fais ?

Tu utilises la linéarité : la primitive d'une somme est la somme des primitives.

Primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$ .
Primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$ .
Donc $F(x) = -\cos(x) + \sin(x) + c$ .

💡 À retenir : Primitiver chaque terme séparément.

Tu utilises la linéarité : la primitive d'une somme est la somme des primitives.

Primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$.
Primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$.
Donc $F(x) = -\cos(x) + \sin(x) + c$.

💡 À retenir : Primitiver chaque terme séparément.

Est-ce que la primitive est unique ?

Non, une fonction admet une infinité de primitives qui diffèrent entre elles par une constante $c$ . Cependant, si on impose une condition initiale (ex: $F(x_0)=y_0$ ), alors la primitive devient unique.

💡 À retenir : Une fonction a une famille de primitives, mais une seule si une condition est fixée.

Non, une fonction admet une infinité de primitives qui diffèrent entre elles par une constante $c$. Cependant, si on impose une condition initiale (ex: $F(x_0)=y_0$), alors la primitive devient unique.

💡 À retenir : Une fonction a une famille de primitives, mais une seule si une condition est fixée.

Pourquoi on ne peut pas utiliser la formule x^n pour n=-1 ?

Parce que la formule $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ donnerait une division par zéro si $n+1=0$ (donc $n=-1$ ). Le cas $n=-1$ correspond à la fonction $\frac{1}{x}$ , dont la primitive est le logarithme népérien, qui n'est pas encore au programme à ce stade.

💡 À retenir : La formule de puissance ne s'applique que pour $n \neq -1$ .

Parce que la formule $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ donnerait une division par zéro si $n+1=0$ (donc $n=-1$). Le cas $n=-1$ correspond à la fonction $\frac{1}{x}$, dont la primitive est le logarithme népérien, qui n'est pas encore au programme à ce stade.

💡 À retenir : La formule de puissance ne s'applique que pour $n \neq -1$.

Est-ce que je dois préciser l'intervalle I ?

Oui, c'est très important. Une primitive est toujours définie sur un intervalle où la fonction est continue. Si tu ne précises pas l'intervalle, ton résultat est incomplet.

💡 À retenir : Toujours mentionner l'intervalle de validité.

Est-ce que les primitives des fonctions trigonométriques changent avec le signe ?

Oui, il faut être très vigilant :

Primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$ .
Primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$ . C'est l'inverse de la dérivation.

💡 À retenir : Utilise le cercle trigonométrique pour ne pas te tromper de signe.

Oui, il faut être très vigilant :

Primitive de $\cos(x)$ est $\sin(x)$.
Primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$. C'est l'inverse de la dérivation.

💡 À retenir : Utilise le cercle trigonométrique pour ne pas te tromper de signe.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f(x) = 6x^2 + 4x - 3$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1) = 2$ .

Exercice 1

Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f(x) = 6x^2 + 4x - 3$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1) = 2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Déterminer la primitive de $f(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 2

Déterminer la primitive de $f(x) = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ sur $\mathbb{R}$.

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Exercice 3

Déterminer la primitive de $f(x) = \sin(x)\cos^2(x)$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 3

Déterminer la primitive de $f(x) = \sin(x)\cos^2(x)$ sur $\mathbb{R}$.

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