Mathématiques · 2ème Année Bac — SVT

Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Continuité en un point : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
Continuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .
Opérations : La somme, le produit et le quotient (si le dénominateur est non nul) de fonctions continues sont continus.
TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$ .
Cas particulier : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ , alors $c$ est unique.

Méthodes à maîtriser

Calcul de limites : Utiliser la factorisation pour les formes indéterminées $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ .
Étude de continuité : Calculer $\lim_{x \to a^+} f(x)$ , $\lim_{x \to a^-} f(x)$ et $f(a)$ . Si les trois sont égaux, $f$ est continue en $a$ .
Résolution de $f(x)=0$ : Vérifier que $f$ est continue et strictement monotone, puis utiliser le TVI.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Étudier la continuité de $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ en $x_0=1$ . $f(x) = x+1$ pour $x \neq 1$ . $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ . Comme $f(1)$ n'est pas définie, on prolonge par continuité en posant $f(1)=2$ .
Exemple 2 : Montrer que $x^3+x-1=0$ admet une solution dans $[0, 1]$ . $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ . $f$ est continue (polynôme). $0 \in [-1, 1]$ , donc il existe $c \in [0, 1]$ tel que $f(c)=0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $a$ et la valeur $f(a)$ .
Ne pas préciser le signe de la fonction dans le TVI pour prouver l'existence d'une solution.

L'essentiel du cours

Continuité en un point : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Continuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$.
Opérations : La somme, le produit et le quotient (si le dénominateur est non nul) de fonctions continues sont continus.
TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$.
Cas particulier : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$, alors $c$ est unique.

Méthodes à maîtriser

Calcul de limites : Utiliser la factorisation pour les formes indéterminées $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$.
Étude de continuité : Calculer $\lim_{x \to a^+} f(x)$, $\lim_{x \to a^-} f(x)$ et $f(a)$. Si les trois sont égaux, $f$ est continue en $a$.
Résolution de $f(x)=0$ : Vérifier que $f$ est continue et strictement monotone, puis utiliser le TVI.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Étudier la continuité de $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ en $x_0=1$. $f(x) = x+1$ pour $x \neq 1$. $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$. Comme $f(1)$ n'est pas définie, on prolonge par continuité en posant $f(1)=2$.
Exemple 2 : Montrer que $x^3+x-1=0$ admet une solution dans $[0, 1]$. $f(0)=-1$ et $f(1)=1$. $f$ est continue (polynôme). $0 \in [-1, 1]$, donc il existe $c \in [0, 1]$ tel que $f(c)=0$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $a$ et la valeur $f(a)$.
Ne pas préciser le signe de la fonction dans le TVI pour prouver l'existence d'une solution.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites et continuité

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La limite de $\frac{\sin(x)}{x}$ quand $x$ tend vers 0 est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb la limite f-noqta ila kan 3ndi 0/0 ?

Il faut factoriser le numérateur et le dénominateur par $(x-a)$ .
Simplifier par $(x-a)$ .
Remplacer $x$ par $a$ dans l'expression simplifiée.

💡 À retenir : La factorisation est la clé pour lever l'indétermination dans les fonctions rationnelles.

Il faut factoriser le numérateur et le dénominateur par $(x-a)$.
Simplifier par $(x-a)$.
Remplacer $x$ par $a$ dans l'expression simplifiée.

💡 À retenir : La factorisation est la clé pour lever l'indétermination dans les fonctions rationnelles.

Chno hiya l-far9 bin l-ittissal f-noqta w l-ittissal 3la l-intervalle ?

L'ittissal f-noqta $a$ kanchofo wach $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
L'ittissal 3la l-intervalle kanchofo wach l-fonction mttssla f-koul noqta men had l-intervalle.

💡 À retenir : La continuité sur un intervalle est une propriété globale, tandis qu'en un point, c'est une propriété locale.

L'ittissal f-noqta $a$ kanchofo wach $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
L'ittissal 3la l-intervalle kanchofo wach l-fonction mttssla f-koul noqta men had l-intervalle.

💡 À retenir : La continuité sur un intervalle est une propriété globale, tandis qu'en un point, c'est une propriété locale.

Wach ila kanet l-fonction mttssla, wach darouri tkoun rratba (monotone) ?

Non, une fonction peut être continue sans être monotone (ex: $f(x) = x^2$ sur $[-1, 1]$ ).

💡 À retenir : La continuité n'implique pas la monotonie.

Non, une fonction peut être continue sans être monotone (ex: $f(x) = x^2$ sur $[-1, 1]$).

💡 À retenir : La continuité n'implique pas la monotonie.

Kifach nbiyen bli f(x)=k 3ndha 7al wa7id ?

Vérifier que $f$ est continue sur l'intervalle donné.
Vérifier que $f$ est strictement monotone (croissante ou décroissante).
Vérifier que $k$ appartient à l'image de l'intervalle par $f$ .

💡 À retenir : Continuité + Monotonie stricte = Solution unique (bijection).

Vérifier que $f$ est continue sur l'intervalle donné.
Vérifier que $f$ est strictement monotone (croissante ou décroissante).
Vérifier que $k$ appartient à l'image de l'intervalle par $f$.

💡 À retenir : Continuité + Monotonie stricte = Solution unique (bijection).

Est-ce que la somme de deux fonctions non continues peut être continue ?

Oui, par exemple $f(x) = 1$ si $x \ge 0$ et $-1$ si $x < 0$ , et $g(x) = -1$ si $x \ge 0$ et $1$ si $x < 0$ . $f+g = 0$ (fonction constante, donc continue).

💡 À retenir : La somme de deux fonctions discontinues peut être continue.

Oui, par exemple $f(x) = 1$ si $x \ge 0$ et $-1$ si $x < 0$, et $g(x) = -1$ si $x \ge 0$ et $1$ si $x < 0$. $f+g = 0$ (fonction constante, donc continue).

💡 À retenir : La somme de deux fonctions discontinues peut être continue.

Comment calculer l'image d'un intervalle [a, b] par une fonction continue ?

Si $f$ est croissante, $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$ .
Si $f$ est décroissante, $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$ .

💡 À retenir : La monotonie détermine l'ordre des bornes de l'image.

Si $f$ est croissante, $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$.
Si $f$ est décroissante, $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$.

💡 À retenir : La monotonie détermine l'ordre des bornes de l'image.

Est-ce que lim{x to +infty} sin(x) existe ?

Non, car la fonction sinus oscille indéfiniment entre -1 et 1 sans se stabiliser.

💡 À retenir : Une limite n'existe que si elle est finie ou infinie (pas d'oscillation).

Chno l-fayda men l-prolongement par continuité ?

Ça permet de définir une fonction en un point où elle n'était pas définie au départ, tout en gardant la continuité.

💡 À retenir : On "comble le trou" de la courbe.

Si lim{x to a} f(x) = +infty, est-ce que f est continue en a ?

Non, car $f(a)$ doit être un nombre réel fini pour que la fonction soit continue.

💡 À retenir : La limite doit être égale à la valeur de la fonction.

Non, car $f(a)$ doit être un nombre réel fini pour que la fonction soit continue.

💡 À retenir : La limite doit être égale à la valeur de la fonction.

Peut-on utiliser le TVI si la fonction n'est pas continue ?

Non, le TVI exige impérativement la continuité sur l'intervalle fermé $[a, b]$ .

💡 À retenir : Sans continuité, le théorème ne s'applique pas.

Non, le TVI exige impérativement la continuité sur l'intervalle fermé $[a, b]$.

💡 À retenir : Sans continuité, le théorème ne s'applique pas.

Comment lever l'indétermination infty - infty ?

Factoriser par le terme de plus haut degré.
Ou utiliser la quantité conjuguée si la fonction contient des racines carrées.

💡 À retenir : La technique dépend de la nature de la fonction.

Est-ce qu'une fonction continue sur ]a, b[ est forcément continue sur [a, b] ?

Non, il faut aussi vérifier la continuité aux bornes $a$ et $b$ (limites à droite et à gauche).

💡 À retenir : La continuité sur un intervalle fermé inclut les bornes.

Non, il faut aussi vérifier la continuité aux bornes $a$ et $b$ (limites à droite et à gauche).

💡 À retenir : La continuité sur un intervalle fermé inclut les bornes.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = \sqrt{x^2+1} - x$ . Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = \sqrt{x^2+1} - x$. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ pour $x \neq 2$ et $f(2) = 4$ .

Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 2$ .
Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 2

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ pour $x \neq 2$ et $f(2) = 4$.

Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 2$.
Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ .

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0, 1[$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$.

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0, 1[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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