Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ :
Produit vectoriel : Le produit vectoriel de $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$ est le vecteur $\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ de coordonnées :
$\vec{w} = \begin{pmatrix} yz' - zy' \ zx' - xz' \ xy' - yx' \end{pmatrix}$.
Il est orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Sa norme est $|\vec{u} \wedge \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin(\theta)$.
Équation cartésienne d'un plan : Tout plan $(P)$ a une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ avec $\vec{n}(a, b, c)$ un vecteur normal au plan.
Représentation paramétrique d'une droite : Une droite $(D)$ passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ est l'ensemble des points $M(x, y, z)$ tels que :
$\begin{cases} x = x_0 + at \ y = y_0 + bt \ z = z_0 + ct \end{cases} (t \in \mathbb{R})$.
Vérifier l'alignement/coplanarité : Utiliser le produit vectoriel pour montrer que trois points ne sont pas alignés (vecteurs non colinéaires).
Déterminer l'équation d'un plan : Choisir un point $A$ et deux vecteurs directeurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Le vecteur normal est $\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v}$.
Intersection droite-plan : Remplacer les coordonnées paramétriques de la droite dans l'équation du plan pour trouver $t$.
Le produit vectoriel $\vec{i} \wedge \vec{j}$ est égal à :
❓ Questions fréquentes
Comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires dans l'espace ?
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$, ou plus simplement si leur produit vectoriel est le vecteur nul : $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$.
💡 À retenir : Le produit vectoriel est l'outil le plus rapide pour tester la colinéarité.
Kifach n7seb l'equation dial plan ila 3touni ghir 3 dyal les points ?
Tu calcules deux vecteurs directeurs, par exemple $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
Tu calcules leur produit vectoriel $\vec{n} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}$ pour obtenir le vecteur normal.
Tu écris l'équation sous la forme $ax + by + cz + d = 0$ et tu remplaces $x, y, z$ par les coordonnées de $A$ pour trouver $d$.
💡 À retenir : Le vecteur normal est toujours orthogonal aux vecteurs du plan.
Est-ce que le produit scalaire est toujours au programme ?
Oui, absolument. Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ est fondamental pour démontrer l'orthogonalité de deux droites ou d'une droite et d'un plan.
Chno hiya l'utilité dial le produit vectoriel f l'examen ?
Il sert principalement à :
Trouver un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs.
Calculer l'aire d'un triangle $ABC$ avec la formule $\frac{1}{2} |\vec{AB} \wedge \vec{AC}|$.
Vérifier si trois points sont alignés (si $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = \vec{0}$).
💡 À retenir : Le produit vectoriel génère un vecteur perpendiculaire au plan formé par les deux autres.
Si j'ai une droite et un plan, comment savoir s'ils sont parallèles ?
Soit $\vec{u}$ le vecteur directeur de la droite et $\vec{n}$ le vecteur normal du plan. La droite est parallèle au plan si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$.
💡 À retenir : Si le vecteur directeur est orthogonal à la normale, la droite est "couchée" parallèlement au plan.
Kifach n3ref wach une droite est incluse f un plan ?
Vérifie d'abord si la droite est parallèle au plan ($\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$).
Prends un point $A$ appartenant à la droite et vérifie s'il appartient au plan en remplaçant ses coordonnées dans l'équation du plan.
💡 À retenir : Parallélisme + un point commun = inclusion.
La formule de la distance point-plan, elle est toujours vraie ?
Oui, elle est toujours vraie dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Assure-toi bien que le dénominateur est la norme du vecteur normal $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
💡 À retenir : Ne jamais oublier la valeur absolue au numérateur.
Est-ce qu'on peut avoir une équation de plan sans le terme d ?
Oui, si $d=0$, cela signifie que le plan passe par l'origine du repère $O(0, 0, 0)$.
💡 À retenir : $ax + by + cz = 0$ est l'équation d'un plan passant par l'origine.
Comment calculer le volume d'un tétraèdre ?
Le volume $V$ du tétraèdre $ABCD$ est donné par $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \wedge \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|$.
💡 À retenir : C'est le produit mixte des trois vecteurs.
Est-ce que le produit vectoriel est associatif ?
Non, le produit vectoriel n'est pas associatif : $\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w}) \neq (\vec{u} \wedge \vec{v}) \wedge \vec{w}$.
💡 À retenir : Il faut toujours respecter les parenthèses.
Wach l'ordre dyal les points f vec{AB} wedge vec{AC} kayhem ?
Oui, si tu changes l'ordre, tu obtiens le vecteur opposé : $\vec{AC} \wedge \vec{AB} = -(\vec{AB} \wedge \vec{AC})$. Cela ne change pas l'équation du plan finale, mais c'est une erreur de signe en cours de calcul.
💡 À retenir : Sois rigoureux dans l'ordre des calculs.
Comment prouver que deux plans sont perpendiculaires ?
Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ sont orthogonaux, c'est-à-dire $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.
💡 À retenir : L'angle entre les plans est l'angle entre leurs normales.
Soit la droite $(D)$ de représentation paramétrique : $\begin{cases} x = 1+t \ y = 2-t \ z = 3t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$.
Soit le plan $(P) : x + y + z - 1 = 0$.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection $I$ de $(D)$ et $(P)$.
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k) :
Produit vectoriel : Le produit vectoriel de u(x,y,z) et v(x′,y′,z′) est le vecteur w=u∧v de coordonnées :
w=yz′−zy′zx′−xz′xy′−yx′.
Il est orthogonal à u et v. Sa norme est ∥u∧v∥=∥u∥∥v∥sin(θ).
Équation cartésienne d'un plan : Tout plan (P) a une équation de la forme ax+by+cz+d=0 avec n(a,b,c) un vecteur normal au plan.
Représentation paramétrique d'une droite : Une droite (D) passant par A(x0,y0,z0) et de vecteur directeur u(a,b,c) est l'ensemble des points M(x,y,z) tels que :
⎩⎨⎧x=x0+aty=y0+btz=z0+ct(t∈R).
Vérifier l'alignement/coplanarité : Utiliser le produit vectoriel pour montrer que trois points ne sont pas alignés (vecteurs non colinéaires).
Déterminer l'équation d'un plan : Choisir un point A et deux vecteurs directeurs non colinéaires u et v. Le vecteur normal est n=u∧v.
Intersection droite-plan : Remplacer les coordonnées paramétriques de la droite dans l'équation du plan pour trouver t.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Soient A(1,0,1), B(0,1,1) et C(1,1,0).
AB(−1,1,0) et AC(0,1,−1).
n=AB∧AC=111−1i−−100−1j+−1011k=−1i−1j−1k.
Équation : −1(x−1)−1(y−0)−1(z−1)=0⟺−x−y−z+2=0.
Erreurs fréquentes
Oublier que le produit vectoriel n'est pas commutatif : u∧v=−(v∧u).
Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.
Oublier la valeur absolue dans la formule de la distance point-plan.
Le produit vectoriel i∧j est égal à :
0
k
−k
j
Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que u=kv, ou plus simplement si leur produit vectoriel est le vecteur nul : u∧v=0.
💡 À retenir : Le produit vectoriel est l'outil le plus rapide pour tester la colinéarité.
Tu calcules deux vecteurs directeurs, par exemple AB et AC.
Tu calcules leur produit vectoriel n=AB∧AC pour obtenir le vecteur normal.
Tu écris l'équation sous la forme ax+by+cz+d=0 et tu remplaces x,y,z par les coordonnées de A pour trouver d.
💡 À retenir : Le vecteur normal est toujours orthogonal aux vecteurs du plan.
Oui, absolument. Le produit scalaire u⋅v=xx′+yy′+zz′ est fondamental pour démontrer l'orthogonalité de deux droites ou d'une droite et d'un plan.
💡 À retenir : u⊥v⟺u⋅v=0.
Il sert principalement à :
Trouver un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs.
Calculer l'aire d'un triangle ABC avec la formule 21∥AB∧AC∥.
Vérifier si trois points sont alignés (si AB∧AC=0).
💡 À retenir : Le produit vectoriel génère un vecteur perpendiculaire au plan formé par les deux autres.
Soit u le vecteur directeur de la droite et n le vecteur normal du plan. La droite est parallèle au plan si et seulement si u⋅n=0.
💡 À retenir : Si le vecteur directeur est orthogonal à la normale, la droite est "couchée" parallèlement au plan.
Vérifie d'abord si la droite est parallèle au plan (u⋅n=0).
Prends un point A appartenant à la droite et vérifie s'il appartient au plan en remplaçant ses coordonnées dans l'équation du plan.
💡 À retenir : Parallélisme + un point commun = inclusion.
Oui, elle est toujours vraie dans un repère orthonormé (O,i,j,k). Assure-toi bien que le dénominateur est la norme du vecteur normal a2+b2+c2.
💡 À retenir : Ne jamais oublier la valeur absolue au numérateur.
Oui, si d=0, cela signifie que le plan passe par l'origine du repère O(0,0,0).
💡 À retenir : ax+by+cz=0 est l'équation d'un plan passant par l'origine.
Le volume V du tétraèdre ABCD est donné par V=61∣(AB∧AC)⋅AD∣.
💡 À retenir : C'est le produit mixte des trois vecteurs.
Non, le produit vectoriel n'est pas associatif : u∧(v∧w)=(u∧v)∧w.
💡 À retenir : Il faut toujours respecter les parenthèses.
Oui, si tu changes l'ordre, tu obtiens le vecteur opposé : AC∧AB=−(AB∧AC). Cela ne change pas l'équation du plan finale, mais c'est une erreur de signe en cours de calcul.
💡 À retenir : Sois rigoureux dans l'ordre des calculs.
Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux n1 et n2 sont orthogonaux, c'est-à-dire n1⋅n2=0.
💡 À retenir : L'angle entre les plans est l'angle entre leurs normales.
Exercice 1
Soient A(1,1,0), B(0,1,1) et C(1,0,1).
Déterminer les coordonnées du vecteur AB∧AC.
En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
Exercice 2
Soit la droite (D) de représentation paramétrique : ⎩⎨⎧x=1+ty=2−tz=3t(t∈R).
Soit le plan (P):x+y+z−1=0.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection I de (D) et (P).
Exercice 3
Soit le plan (P):x−2y+2z−5=0 et le point A(1,2,3).
Calculer la distance d(A,(P)).