Mathématiques · 2ème Année Bac — SVT

Équations différentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pour la filière SVT, le programme se limite aux équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants de la forme : $(E) : y' = ay + b$ où $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$ .

Solution générale : Les solutions de $(E)$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $y(x) = c \cdot e^{ax} - \frac{b}{a}$ où $c$ est une constante réelle.
Cas particulier : Si $b=0$ , l'équation est $y' = ay$ , les solutions sont $y(x) = c \cdot e^{ax}$ .
Condition initiale : Pour une condition donnée $y(x_0) = y_0$ , il existe une unique solution.

Méthodes à maîtriser

Identification : Reconnaître les valeurs de $a$ et $b$ dans l'équation donnée.
Application directe : Remplacer $a$ et $b$ dans la formule générale.
Détermination de la constante : Utiliser la condition initiale $y(x_0) = y_0$ pour trouver la valeur de $c$ en résolvant une équation du premier degré.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $y' = 3y + 6$ . Ici $a=3$ et $b=6$ . La solution générale est $y(x) = c \cdot e^{3x} - \frac{6}{3} = c \cdot e^{3x} - 2$ .

Exemple 2 : Résoudre $y' = -2y + 4$ avec $y(0) = 5$ . La solution générale est $y(x) = c \cdot e^{-2x} - \frac{4}{-2} = c \cdot e^{-2x} + 2$ . On utilise $y(0) = 5 \implies c \cdot e^0 + 2 = 5 \implies c + 2 = 5 \implies c = 3$ . La solution particulière est $y(x) = 3e^{-2x} + 2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe de $b/a$ dans la formule.
Confondre $a$ et $b$ dans l'équation $y' = ay + b$ .
Se tromper dans le calcul de la constante $c$ lors de l'utilisation de la condition initiale.
Penser que $y(x) = c \cdot e^{ax} + b$ au lieu de $-b/a$ .

L'essentiel du cours

Pour la filière SVT, le programme se limite aux équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants de la forme : $$(E) : y' = ay + b$$ où $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$.

Solution générale : Les solutions de $(E)$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $$y(x) = c \cdot e^{ax} - \frac{b}{a}$$ où $c$ est une constante réelle.
Cas particulier : Si $b=0$, l'équation est $y' = ay$, les solutions sont $y(x) = c \cdot e^{ax}$.
Condition initiale : Pour une condition donnée $y(x_0) = y_0$, il existe une unique solution.

Méthodes à maîtriser

Identification : Reconnaître les valeurs de $a$ et $b$ dans l'équation donnée.
Application directe : Remplacer $a$ et $b$ dans la formule générale.
Détermination de la constante : Utiliser la condition initiale $y(x_0) = y_0$ pour trouver la valeur de $c$ en résolvant une équation du premier degré.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $y' = 3y + 6$. Ici $a=3$ et $b=6$. La solution générale est $y(x) = c \cdot e^{3x} - \frac{6}{3} = c \cdot e^{3x} - 2$.

Exemple 2 : Résoudre $y' = -2y + 4$ avec $y(0) = 5$. La solution générale est $y(x) = c \cdot e^{-2x} - \frac{4}{-2} = c \cdot e^{-2x} + 2$. On utilise $y(0) = 5 \implies c \cdot e^0 + 2 = 5 \implies c + 2 = 5 \implies c = 3$. La solution particulière est $y(x) = 3e^{-2x} + 2$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe de $b/a$ dans la formule.
Confondre $a$ et $b$ dans l'équation $y' = ay + b$.
Se tromper dans le calcul de la constante $c$ lors de l'utilisation de la condition initiale.
Penser que $y(x) = c \cdot e^{ax} + b$ au lieu de $-b/a$.

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🎯 Équations différentielles

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La solution générale de $y' = 5y$ est :

❓ Questions fréquentes

1. Est-ce qu'on peut avoir des équations avec y'' en SVT ?

Non, pour la filière SVT, le programme se limite strictement aux équations différentielles du premier ordre ( $y'$ ). Les équations du second ordre ( $y''$ ) ne sont pas au programme de votre filière.

💡 À retenir : Concentrez-vous uniquement sur la forme $y' = ay + b$ .

Non, pour la filière SVT, le programme se limite strictement aux équations différentielles du premier ordre ($y'$). Les équations du second ordre ($y''$) ne sont pas au programme de votre filière.

💡 À retenir : Concentrez-vous uniquement sur la forme $y' = ay + b$.

2. Kifach n3ref chkoun houwa a o chkoun houwa b f l'équation ?

C'est simple : $a$ est toujours le nombre qui est multiplié par $y$ , et $b$ est le nombre tout seul.

Si tu as $y' = 5y - 3$ , alors $a=5$ et $b=-3$ .
Si tu as $y' = -y + 2$ , alors $a=-1$ et $b=2$ .

💡 À retenir : $a$ est le coefficient de $y$ , $b$ est le terme constant.

C'est simple : $a$ est toujours le nombre qui est multiplié par $y$, et $b$ est le nombre tout seul.

Si tu as $y' = 5y - 3$, alors $a=5$ et $b=-3$.
Si tu as $y' = -y + 2$, alors $a=-1$ et $b=2$.

💡 À retenir : $a$ est le coefficient de $y$, $b$ est le terme constant.

3. Est-ce que la solution est toujours une fonction exponentielle ?

Oui, la solution générale contient toujours un terme en $e^{ax}$ . C'est la nature même des solutions de ce type d'équation différentielle.

💡 À retenir : La présence de $e^{ax}$ est systématique.

Oui, la solution générale contient toujours un terme en $e^{ax}$. C'est la nature même des solutions de ce type d'équation différentielle.

💡 À retenir : La présence de $e^{ax}$ est systématique.

4. Wach darouri n7et c f la solution générale ?

Oui, absolument. $c$ représente l'ensemble des solutions possibles. Sans $c$ , tu ne donnes qu'une seule solution particulière, alors qu'il y en a une infinité.

💡 À retenir : $c$ est la constante réelle qui caractérise la famille des solutions.

Oui, absolument. $c$ représente l'ensemble des solutions possibles. Sans $c$, tu ne donnes qu'une seule solution particulière, alors qu'il y en a une infinité.

💡 À retenir : $c$ est la constante réelle qui caractérise la famille des solutions.

5. Comment on trouve la valeur de c si on a une condition initiale ?

Tu écris la forme générale $y(x) = c \cdot e^{ax} - \frac{b}{a}$ .
Tu remplaces $x$ par la valeur donnée (ex: 0) et $y(x)$ par la valeur donnée (ex: 5).
Tu résous l'équation obtenue pour isoler $c$ .

💡 À retenir : La condition initiale sert uniquement à fixer la valeur de $c$ .

Tu écris la forme générale $y(x) = c \cdot e^{ax} - \frac{b}{a}$.
Tu remplaces $x$ par la valeur donnée (ex: 0) et $y(x)$ par la valeur donnée (ex: 5).
Tu résous l'équation obtenue pour isoler $c$.

💡 À retenir : La condition initiale sert uniquement à fixer la valeur de $c$.

6. Kifach n3ref ila jawabi s7i7 wla la ?

Tu peux vérifier ton résultat en dérivant ta fonction $y(x)$ trouvée. Si tu remplaces $y'(x)$ et $y(x)$ dans l'équation de départ et que tu obtiens une égalité vraie, alors ton calcul est juste.

💡 À retenir : La dérivation est le meilleur moyen de vérifier sa solution.

7. Si b=0, est-ce que la formule change ?

La formule reste la même, mais elle se simplifie. Si $b=0$ , alors $-b/a = 0$ , donc il ne reste que $y(x) = c \cdot e^{ax}$ .

💡 À retenir : $y' = ay$ a pour solution $y = c \cdot e^{ax}$ .

La formule reste la même, mais elle se simplifie. Si $b=0$, alors $-b/a = 0$, donc il ne reste que $y(x) = c \cdot e^{ax}$.

💡 À retenir : $y' = ay$ a pour solution $y = c \cdot e^{ax}$.

8. Est-ce que a peut être égal à 0 ?

Dans le programme, on considère $a \in \mathbb{R}^*$ . Si $a=0$ , l'équation devient $y' = b$ , ce qui est une simple primitive. Ce cas est très rare dans ce chapitre.

💡 À retenir : $a$ est généralement non nul dans les exercices types.

Dans le programme, on considère $a \in \mathbb{R}^*$. Si $a=0$, l'équation devient $y' = b$, ce qui est une simple primitive. Ce cas est très rare dans ce chapitre.

💡 À retenir : $a$ est généralement non nul dans les exercices types.

9. Wach momkin nkhrej c bla ma n7seb y(x) ?

Non, tu dois d'abord écrire la solution générale avec $c$ , puis utiliser la condition initiale pour trouver sa valeur. C'est une étape obligatoire.

💡 À retenir : La condition initiale est la clé pour déterminer $c$ .

Non, tu dois d'abord écrire la solution générale avec $c$, puis utiliser la condition initiale pour trouver sa valeur. C'est une étape obligatoire.

💡 À retenir : La condition initiale est la clé pour déterminer $c$.

10. Est-ce que la constante c peut être égale à 0 ?

Oui, si la condition initiale l'impose. Dans ce cas, la solution est une fonction constante.

💡 À retenir : $c$ est un réel quelconque, il peut être nul.

Oui, si la condition initiale l'impose. Dans ce cas, la solution est une fonction constante.

💡 À retenir : $c$ est un réel quelconque, il peut être nul.

11. Est-ce que le signe de a change quelque chose ?

Oui, le signe de $a$ influence le comportement de la fonction (croissance ou décroissance de l'exponentielle), mais la méthode de résolution reste identique.

💡 À retenir : Applique la formule sans te soucier du signe de $a$ , le calcul le gérera.

Oui, le signe de $a$ influence le comportement de la fonction (croissance ou décroissance de l'exponentielle), mais la méthode de résolution reste identique.