Mathématiques · 2ème Année Bac — SVT

Fonctions logarithmiques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la fonction définie sur $]0, +\infty[$ qui est la primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ s'annulant en $1$ .

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ ; $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ ; $\ln(a^r) = r\ln(a)$ ( $r \in \mathbb{Q}$ ).
Limites usuelles : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ . $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ ( $n>0$ ) ; $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ ( $n>0$ ). $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$ .
Dérivée : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ pour $u(x) > 0$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer un ensemble de définition : Résoudre l'inéquation $u(x) > 0$ si on a $\ln(u(x))$ .
Résoudre des équations/inéquations : Utiliser $\ln(a) = \ln(b) \iff a = b$ (avec $a,b > 0$ ).
Étude de fonction : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Calcul de limites : Utiliser les croissances comparées pour lever les indéterminations.

Exemples corrigés

Équation : Résoudre $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$ . Domaine : $x>0$ et $x>1 \implies D = ]1, +\infty[$ . $\ln(x(x-1)) = \ln(2) \implies x^2 - x - 2 = 0$ . Solutions : $x=2$ ou $x=-1$ . Seul $2 \in D$ . Donc $S=\{2\}$ .
Dérivée : $f(x) = \ln(x^2+1)$ . $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de déterminer le domaine de définition avant de résoudre une équation.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a)+\ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier que $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ , ce qui est crucial si $x$ peut être négatif.

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction définie sur $]0, +\infty[$ qui est la primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ s'annulant en $1$.

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ : $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ ; $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ ; $\ln(a^r) = r\ln(a)$ ($r \in \mathbb{Q}$).
Limites usuelles : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$. $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ ($n>0$) ; $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ ($n>0$). $\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1$.
Dérivée : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ pour $u(x) > 0$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer un ensemble de définition : Résoudre l'inéquation $u(x) > 0$ si on a $\ln(u(x))$.
Résoudre des équations/inéquations : Utiliser $\ln(a) = \ln(b) \iff a = b$ (avec $a,b > 0$).
Étude de fonction : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Calcul de limites : Utiliser les croissances comparées pour lever les indéterminations.

Exemples corrigés

Équation : Résoudre $\ln(x) + \ln(x-1) = \ln(2)$. Domaine : $x>0$ et $x>1 \implies D = ]1, +\infty[$. $\ln(x(x-1)) = \ln(2) \implies x^2 - x - 2 = 0$. Solutions : $x=2$ ou $x=-1$. Seul $2 \in D$. Donc $S={2}$.
Dérivée : $f(x) = \ln(x^2+1)$. $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de déterminer le domaine de définition avant de résoudre une équation.
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a)+\ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier que $\ln(x^2) = 2\ln|x|$, ce qui est crucial si $x$ peut être négatif.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Fonctions logarithmiques

1/4

Quel est l'ensemble de définition de $f(x) = \ln(3-x)$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que ln(x^2) est toujours égal à 2ln(x) ?

Non, ce n'est vrai que si $x > 0$ .

La fonction $\ln(x^2)$ est définie pour tout $x \neq 0$ car $x^2 > 0$ .
Si $x < 0$ , alors $\ln(x^2) = 2\ln|x| = 2\ln(-x)$ .
Si tu écris $2\ln(x)$ pour $x < 0$ , tu obtiens une valeur non définie.

💡 À retenir : $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ .

Non, ce n'est vrai que si $x > 0$.

La fonction $\ln(x^2)$ est définie pour tout $x \neq 0$ car $x^2 > 0$.
Si $x < 0$, alors $\ln(x^2) = 2\ln|x| = 2\ln(-x)$.
Si tu écris $2\ln(x)$ pour $x < 0$, tu obtiens une valeur non définie.

💡 À retenir : $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.

Kifach n7seb domaine de définition dyal ln(x^2 - 3x + 2) ?

Pour calculer le domaine de définition d'une fonction avec $\ln$ , il faut que l'intérieur soit strictement positif :

Tu dois résoudre l'inéquation $x^2 - 3x + 2 > 0$ .
Cherche les racines du trinôme : $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 1$ . Les racines sont $x_1 = 1$ et $x_2 = 2$ .
Le signe est positif à l'extérieur des racines.
Donc $D = ]-\infty, 1[ \cup ]2, +\infty[$ .

💡 À retenir : L'argument du $\ln$ doit toujours être strictement positif.

Pour calculer le domaine de définition d'une fonction avec $\ln$, il faut que l'intérieur soit strictement positif :

Tu dois résoudre l'inéquation $x^2 - 3x + 2 > 0$.
Cherche les racines du trinôme : $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 1$. Les racines sont $x_1 = 1$ et $x_2 = 2$.
Le signe est positif à l'extérieur des racines.
Donc $D = ]-\infty, 1[ \cup ]2, +\infty[$.

💡 À retenir : L'argument du $\ln$ doit toujours être strictement positif.

Est-ce que ln(1) = 0 et ln(e) = 1 sont toujours vrais ?

Oui, ce sont des valeurs fondamentales de la fonction logarithme népérien.

$\ln(1) = 0$ car c'est la définition de la primitive qui s'annule en 1.
$\ln(e) = 1$ car $e$ est le nombre dont le logarithme vaut 1 (base du logarithme népérien). Ces valeurs servent de points de passage pour tracer la courbe.

💡 À retenir : $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$ sont tes points de repère.

Oui, ce sont des valeurs fondamentales de la fonction logarithme népérien.

$\ln(1) = 0$ car c'est la définition de la primitive qui s'annule en 1.
$\ln(e) = 1$ car $e$ est le nombre dont le logarithme vaut 1 (base du logarithme népérien). Ces valeurs servent de points de passage pour tracer la courbe.

💡 À retenir : $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$ sont tes points de repère.

Kifach n7seb lim{x to +infty} ln(x) - x ?

C'est une forme indéterminée du type $+\infty - \infty$ .

Factorise par le terme dominant, ici $x$ : $f(x) = x(\frac{\ln(x)}{x} - 1)$ .
On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ (croissance comparée).
Donc la parenthèse tend vers $(0 - 1) = -1$ .
Le résultat est $+\infty \times (-1) = -\infty$ .

💡 À retenir : En cas de FI, factorise par le terme qui "l'emporte" sur l'autre.

C'est une forme indéterminée du type $+\infty - \infty$.

Factorise par le terme dominant, ici $x$ : $f(x) = x(\frac{\ln(x)}{x} - 1)$.
On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ (croissance comparée).
Donc la parenthèse tend vers $(0 - 1) = -1$.
Le résultat est $+\infty \times (-1) = -\infty$.

💡 À retenir : En cas de FI, factorise par le terme qui "l'emporte" sur l'autre.

Est-ce que (ln(x))^2 est la même chose que ln(x^2) ?

Absolument pas !

$(\ln(x))^2$ signifie $\ln(x) \times \ln(x)$ .
$\ln(x^2)$ signifie $\ln(x \times x)$ , ce qui est égal à $2\ln(x)$ pour $x>0$ . Exemple : si $x=e$ , $(\ln(e))^2 = 1^2 = 1$ , alors que $\ln(e^2) = 2\ln(e) = 2$ .

💡 À retenir : La puissance sur le $\ln$ ne se déplace pas comme celle sur l'argument.

Absolument pas !

$(\ln(x))^2$ signifie $\ln(x) \times \ln(x)$.
$\ln(x^2)$ signifie $\ln(x \times x)$, ce qui est égal à $2\ln(x)$ pour $x>0$. Exemple : si $x=e$, $(\ln(e))^2 = 1^2 = 1$, alors que $\ln(e^2) = 2\ln(e) = 2$.

💡 À retenir : La puissance sur le $\ln$ ne se déplace pas comme celle sur l'argument.

Chno hiya l'asymptote dyal ln(x) f 0^+ ?

On calcule la limite : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$ .
Comme la limite est infinie en un point fini ( $0$ ), la droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe.

💡 À retenir : $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty \implies x=a$ est asymptote verticale.

On calcule la limite : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$.
Comme la limite est infinie en un point fini ($0$), la droite d'équation $x = 0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe.

💡 À retenir : $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty \implies x=a$ est asymptote verticale.

Comment dériver ln(3x+5) ?

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .

Ici, $u(x) = 3x+5$ .
La dérivée $u'(x) = 3$ .
Donc $(\ln(3x+5))' = \frac{3}{3x+5}$ .

💡 À retenir : Identifie bien $u(x)$ et sa dérivée $u'(x)$ avant d'appliquer la formule.

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.

Ici, $u(x) = 3x+5$.
La dérivée $u'(x) = 3$.
Donc $(\ln(3x+5))' = \frac{3}{3x+5}$.

💡 À retenir : Identifie bien $u(x)$ et sa dérivée $u'(x)$ avant d'appliquer la formule.

Est-ce que la fonction ln est toujours croissante ?

Oui, sur tout son ensemble de définition $]0, +\infty[$ .

La dérivée de $\ln(x)$ est $f'(x) = \frac{1}{x}$ .
Pour tout $x > 0$ , $\frac{1}{x} > 0$ .
Une fonction dont la dérivée est strictement positive est strictement croissante.

💡 À retenir : La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ .

Oui, sur tout son ensemble de définition $]0, +\infty[$.

La dérivée de $\ln(x)$ est $f'(x) = \frac{1}{x}$.
Pour tout $x > 0$, $\frac{1}{x} > 0$.
Une fonction dont la dérivée est strictement positive est strictement croissante.

💡 À retenir : La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

Kifach n7seb lim{x to 0^+} x ln(x) ?

C'est une limite usuelle de croissances comparées.

Tu as une forme indéterminée $0 \times (-\infty)$ .
Le cours stipule que $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$ .
Ici $n=1$ , donc la limite est $0$ .

💡 À retenir : Le logarithme est "plus faible" que n'importe quelle puissance de $x$ au voisinage de $0$ .

C'est une limite usuelle de croissances comparées.

Tu as une forme indéterminée $0 \times (-\infty)$.
Le cours stipule que $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$.
Ici $n=1$, donc la limite est $0$.

💡 À retenir : Le logarithme est "plus faible" que n'importe quelle puissance de $x$ au voisinage de $0$.

Est-ce que je peux utiliser ln(a) + ln(b) = ln(a+b) ?

Non, c'est une erreur très grave. La formule correcte est $\ln(a) + \ln(b) = \ln(a \times b)$ .

Si tu fais $\ln(2) + \ln(3)$ , cela donne $\ln(6)$ , pas $\ln(5)$ .
Vérifie avec la calculatrice : $\ln(2) \approx 0,69$ et $\ln(3) \approx 1,09$ . Leur somme vaut $1,78$ .
$\ln(6) \approx 1,79$ (arrondi), alors que $\ln(5) \approx 1,60$ .

💡 À retenir : La somme des logs est le log du produit.

Non, c'est une erreur très grave. La formule correcte est $\ln(a) + \ln(b) = \ln(a \times b)$.

Si tu fais $\ln(2) + \ln(3)$, cela donne $\ln(6)$, pas $\ln(5)$.
Vérifie avec la calculatrice : $\ln(2) \approx 0,69$ et $\ln(3) \approx 1,09$. Leur somme vaut $1,78$.
$\ln(6) \approx 1,79$ (arrondi), alors que $\ln(5) \approx 1,60$.

💡 À retenir : La somme des logs est le log du produit.

Comment étudier le signe de f(x) = ln(x) - 1 ?

Résous l'équation $\ln(x) - 1 = 0 \implies \ln(x) = 1 \implies x = e$ .
Comme la fonction $\ln$ est croissante, $\ln(x) > 1$ pour $x > e$ et $\ln(x) < 1$ pour $x < e$ .
Donc $f(x) > 0$ sur $]e, +\infty[$ et $f(x) < 0$ sur $]0, e[$ .

💡 À retenir : Utilise la croissance de $\ln$ pour comparer les valeurs.

Résous l'équation $\ln(x) - 1 = 0 \implies \ln(x) = 1 \implies x = e$.
Comme la fonction $\ln$ est croissante, $\ln(x) > 1$ pour $x > e$ et $\ln(x) < 1$ pour $x < e$.
Donc $f(x) > 0$ sur $]e, +\infty[$ et $f(x) < 0$ sur $]0, e[$.

💡 À retenir : Utilise la croissance de $\ln$ pour comparer les valeurs.

Est-ce que ln(x^3) est égal à 3ln(x) ?

Oui, pour tout $x > 0$ .

La propriété $\ln(a^r) = r\ln(a)$ est valable pour tout $a > 0$ et $r \in \mathbb{Q}$ .
Ici $a=x$ et $r=3$ .
Attention : si $x$ peut être négatif, il faut écrire $\ln(x^3) = 3\ln(x)$ seulement si $x>0$ . Si $x<0$ , $x^3$ est négatif et $\ln(x^3)$ n'existe pas.

💡 À retenir : Vérifie toujours le domaine de définition avant d'appliquer la règle des puissances.

Oui, pour tout $x > 0$.

La propriété $\ln(a^r) = r\ln(a)$ est valable pour tout $a > 0$ et $r \in \mathbb{Q}$.
Ici $a=x$ et $r=3$.
Attention : si $x$ peut être négatif, il faut écrire $\ln(x^3) = 3\ln(x)$ seulement si $x>0$. Si $x<0$, $x^3$ est négatif et $\ln(x^3)$ n'existe pas.

💡 À retenir : Vérifie toujours le domaine de définition avant d'appliquer la règle des puissances.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $\ln(x+1) + \ln(x+2) = \ln(2)$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $\ln(x+1) + \ln(x+2) = \ln(2)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x) + 1}{x^2}$ .

Exercice 2

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x) + 1}{x^2}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - \ln(x)$ . Étudier les variations de $f$ .

Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = x - \ln(x)$. Étudier les variations de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Limites et continuité Dérivation et étude des fonctions Suites numériques Fonctions primitives Nombres complexes (Partie 1)Fonctions exponentielles Nombres complexes (Partie 2)Calcul intégral Équations différentielles Géométrie dans l'espace Calcul de probabilités