Mathématiques · Médecine, pharmacie & dentaire — 1ère année Pharmacie

Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Continuité en un point : $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ .
Continuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .
Opérations : La somme, le produit et le quotient (si dénominateur non nul) de fonctions continues sont continus.
TVI : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$ .
Théorème de la bijection : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ , alors elle réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de limites : Utiliser les formes indéterminées ( $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty-\infty, 0 \times \infty$ ) en factorisant ou en utilisant le taux d'accroissement.
Étude de continuité : Vérifier les limites à gauche et à droite en un point de raccordement.
Recherche de solutions : Utiliser le TVI pour montrer qu'une équation $f(x)=0$ admet au moins une solution.

Exemples corrigés

Continuité : Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1)=2$ . $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2 = f(1)$ , donc $f$ est continue en 1.
TVI : $f(x)=x^3+x-1$ . $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ . Comme $f$ est continue et $f(0) \times f(1) < 0$ , il existe $\alpha \in ]0, 1[$ tel que $f(\alpha)=0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $x_0$ et la valeur $f(x_0)$ .
Ne pas préciser que la fonction est strictement monotone avant d'affirmer l'existence d'une bijection.

L'essentiel du cours

Continuité en un point : $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Continuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$.
Opérations : La somme, le produit et le quotient (si dénominateur non nul) de fonctions continues sont continus.
TVI : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.
Théorème de la bijection : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors elle réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de limites : Utiliser les formes indéterminées ($\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty-\infty, 0 \times \infty$) en factorisant ou en utilisant le taux d'accroissement.
Étude de continuité : Vérifier les limites à gauche et à droite en un point de raccordement.
Recherche de solutions : Utiliser le TVI pour montrer qu'une équation $f(x)=0$ admet au moins une solution.

Exemples corrigés

Continuité : Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1)=2$. $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2 = f(1)$, donc $f$ est continue en 1.
TVI : $f(x)=x^3+x-1$. $f(0)=-1$ et $f(1)=1$. Comme $f$ est continue et $f(0) \times f(1) < 0$, il existe $\alpha \in ]0, 1[$ tel que $f(\alpha)=0$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre la limite en $x_0$ et la valeur $f(x_0)$.
Ne pas préciser que la fonction est strictement monotone avant d'affirmer l'existence d'une bijection.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites et continuité

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La fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ est continue sur :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un prolongement par continuité ?

C'est définir une nouvelle fonction $g$ qui est égale à $f$ partout sauf au point $x_0$ où $f$ n'est pas définie, en posant $g(x_0) = \lim_{x \to x_0} f(x)$ .

💡 À retenir : On "bouche le trou" de la fonction.

C'est définir une nouvelle fonction $g$ qui est égale à $f$ partout sauf au point $x_0$ où $f$ n'est pas définie, en posant $g(x_0) = \lim_{x \to x_0} f(x)$.

💡 À retenir : On "bouche le trou" de la fonction.

Kifach n3ref wach fonction continue f point x0 ?

Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $x_0$ .
Vérifier si cette limite est égale à l'image $f(x_0)$ .
Si les deux sont égaux, alors $f$ est continue.

💡 À retenir : La continuité signifie qu'on peut tracer la courbe sans lever le stylo.

Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $x_0$.
Vérifier si cette limite est égale à l'image $f(x_0)$.
Si les deux sont égaux, alors $f$ est continue.

💡 À retenir : La continuité signifie qu'on peut tracer la courbe sans lever le stylo.

Chno hiya l'far9 bin continuité f point o continuité 3la majal ?

La continuité en un point concerne un seul endroit précis ( $x_0$ ).
La continuité sur un intervalle signifie que la fonction est continue en chaque point de cet intervalle.

💡 À retenir : Une fonction peut être continue sur un intervalle sans être définie partout.

La continuité en un point concerne un seul endroit précis ($x_0$).
La continuité sur un intervalle signifie que la fonction est continue en chaque point de cet intervalle.

💡 À retenir : Une fonction peut être continue sur un intervalle sans être définie partout.

Kifach n7seb l'limite fach katkon 3ndi 0/0 ?

Il faut lever l'indétermination.
Si c'est un polynôme, factorise par $(x-x_0)$ .
Si c'est une racine, multiplie par la quantité conjuguée.

💡 À retenir : La factorisation est ton arme principale pour les formes indéterminées.

Il faut lever l'indétermination.
Si c'est un polynôme, factorise par $(x-x_0)$.
Si c'est une racine, multiplie par la quantité conjuguée.

💡 À retenir : La factorisation est ton arme principale pour les formes indéterminées.

Le TVI est-il valable si la fonction n'est pas continue ?

Non, le TVI exige impérativement que la fonction soit continue sur l'intervalle $[a, b]$ . Si elle présente une discontinuité (un saut), le théorème ne s'applique pas.

💡 À retenir : Continuité = condition sine qua non pour le TVI.

Non, le TVI exige impérativement que la fonction soit continue sur l'intervalle $[a, b]$. Si elle présente une discontinuité (un saut), le théorème ne s'applique pas.

💡 À retenir : Continuité = condition sine qua non pour le TVI.

Comment montrer qu'une équation f(x)=k a une solution unique ?

Montrer que $f$ est continue.
Montrer que $f$ est strictement monotone (croissante ou décroissante).
Vérifier que $k$ appartient à l'intervalle image $f(I)$ .

💡 À retenir : Stricte monotonie + Continuité = Bijection (solution unique).

Montrer que $f$ est continue.
Montrer que $f$ est strictement monotone (croissante ou décroissante).
Vérifier que $k$ appartient à l'intervalle image $f(I)$.

💡 À retenir : Stricte monotonie + Continuité = Bijection (solution unique).

Peut-on utiliser le TVI pour trouver la valeur exacte de la solution ?

Le TVI prouve seulement l'existence de la solution. Pour trouver la valeur exacte, il faut souvent utiliser des méthodes numériques ou des calculs algébriques si l'équation est simple.

💡 À retenir : Le TVI est un outil d'existence, pas de calcul précis.

Est-ce que la somme de deux fonctions discontinues est toujours discontinue ?

Non, pas forcément. Par exemple, si $f$ est discontinue en $x_0$ et $g = -f$ , alors $f+g = 0$ qui est continue.

💡 À retenir : Il faut toujours étudier la somme au cas par cas.

Non, pas forcément. Par exemple, si $f$ est discontinue en $x_0$ et $g = -f$, alors $f+g = 0$ qui est continue.

💡 À retenir : Il faut toujours étudier la somme au cas par cas.

Chno hiya l'relation bin l'bijection o l'fonction réciproque ?

Si $f$ est une bijection de $I$ vers $J$ , alors il existe une fonction réciproque $f^{-1}$ de $J$ vers $I$ telle que $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$ .

💡 À retenir : La réciproque "annule" l'action de la fonction.

Si $f$ est une bijection de $I$ vers $J$, alors il existe une fonction réciproque $f^{-1}$ de $J$ vers $I$ telle que $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$.

💡 À retenir : La réciproque "annule" l'action de la fonction.

Comment justifier la continuité d'une fonction composée ?

Si $g$ est continue en $x_0$ et $f$ est continue en $g(x_0)$ , alors $f \circ g$ est continue en $x_0$ .

💡 À retenir : La composition préserve la continuité.

Si $g$ est continue en $x_0$ et $f$ est continue en $g(x_0)$, alors $f \circ g$ est continue en $x_0$.

💡 À retenir : La composition préserve la continuité.

Pourquoi la fonction partie entière n'est-elle pas continue ?

Parce qu'elle présente des "sauts" à chaque valeur entière. La limite à gauche est différente de la limite à droite.

💡 À retenir : Les fonctions en escalier sont discontinues aux points de saut.

Est-ce que toute fonction continue sur [a, b] est bornée ?

Oui, c'est le théorème des bornes atteintes : une fonction continue sur un segment $[a, b]$ est bornée et atteint ses bornes.

💡 À retenir : Sur un intervalle fermé, une fonction continue a forcément un maximum et un minimum.

Oui, c'est le théorème des bornes atteintes : une fonction continue sur un segment $[a, b]$ est bornée et atteint ses bornes.

💡 À retenir : Sur un intervalle fermé, une fonction continue a forcément un maximum et un minimum.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^3 + x - 1$ .

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0, 1[$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^3 + x - 1$.

Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0, 1[$.

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Exercice 2

Soit $g(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ pour $x \neq 2$ .

Peut-on prolonger $g$ par continuité en $x_0 = 2$ ?
Si oui, donner la fonction prolongée $h$ .

Exercice 2

Soit $g(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ pour $x \neq 2$.

Peut-on prolonger $g$ par continuité en $x_0 = 2$ ?
Si oui, donner la fonction prolongée $h$.

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Exercice 3

Étudier la continuité de $f$ en $x_0=0$ avec : $f(x) = x \sin(1/x)$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$ .

Exercice 3

Étudier la continuité de $f$ en $x_0=0$ avec : $f(x) = x \sin(1/x)$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$.

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