Mathématiques · Médecine, pharmacie & dentaire — 1ère année Pharmacie

Probabilités et dénombrement

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Cardinal : Soit $E$ un ensemble fini, $Card(E)$ est le nombre d'éléments de $E$ .
Principe multiplicatif : Si une opération se fait en $k$ étapes, le nombre total est $n_1 \times n_2 \times ... \times n_k$ .
Arrangements : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordre compte, sans répétition).
Combinaisons : $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (ordre ne compte pas, sans répétition).
Probabilité : $P(A) = \frac{Card(A)}{Card(\Omega)}$ .
Propriétés : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ ; $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier le tirage : Successif avec remise ( $n^k$ ), successif sans remise ( $A_n^k$ ), simultané ( $C_n^k$ ).
Utiliser l'événement contraire : Dès que la question contient "au moins un".
Dénombrement : Toujours vérifier si l'ordre est important ou non.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 3 boules parmi 10 simultanément. $Card(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
Exemple 2 : Probabilité d'avoir au moins une boule blanche (sur 3 tirées) : $1 - P(\text{aucune blanche})$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ : Rappelez-vous que $C$ est pour "Choix" (l'ordre n'importe pas).
Oublier que $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ seulement si $A \cap B = \emptyset$ .
Ne pas diviser par le cardinal de l'univers.

L'essentiel du cours

Cardinal : Soit $E$ un ensemble fini, $Card(E)$ est le nombre d'éléments de $E$.
Principe multiplicatif : Si une opération se fait en $k$ étapes, le nombre total est $n_1 \times n_2 \times ... \times n_k$.
Arrangements : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordre compte, sans répétition).
Combinaisons : $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (ordre ne compte pas, sans répétition).
Probabilité : $P(A) = \frac{Card(A)}{Card(\Omega)}$.
Propriétés : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ ; $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Méthodes à maîtriser

Identifier le tirage : Successif avec remise ($n^k$), successif sans remise ($A_n^k$), simultané ($C_n^k$).
Utiliser l'événement contraire : Dès que la question contient "au moins un".
Dénombrement : Toujours vérifier si l'ordre est important ou non.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 3 boules parmi 10 simultanément. $Card(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Exemple 2 : Probabilité d'avoir au moins une boule blanche (sur 3 tirées) : $1 - P(\text{aucune blanche})$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ : Rappelez-vous que $C$ est pour "Choix" (l'ordre n'importe pas).
Oublier que $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ seulement si $A \cap B = \emptyset$.
Ne pas diviser par le cardinal de l'univers.

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🎯 Probabilités et dénombrement

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Dans un tirage simultané de 3 boules parmi 10, le nombre de cas possibles est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'ordre compte toujours dans les tirages simultanés ?

Non, dans un tirage simultané, l'ordre n'a aucune importance. On considère que les objets sont pris en même temps, donc on utilise toujours les combinaisons ( $C_n^k$ ).

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Non, dans un tirage simultané, l'ordre n'a aucune importance. On considère que les objets sont pris en même temps, donc on utilise toujours les combinaisons ($C_n^k$).

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Kifach n3ref wach nst3ml An^k wla Cn^k f l'examen ?

Si l'ordre des éléments tirés est important (ex: podium, numéro de téléphone), utilise $A_n^k$ .
Si l'ordre n'a pas d'importance (ex: main de cartes, groupe d'élèves), utilise $C_n^k$ .

💡 À retenir : Ordre = Arrangement ; Groupe = Combinaison.

Si l'ordre des éléments tirés est important (ex: podium, numéro de téléphone), utilise $A_n^k$.
Si l'ordre n'a pas d'importance (ex: main de cartes, groupe d'élèves), utilise $C_n^k$.

💡 À retenir : Ordre = Arrangement ; Groupe = Combinaison.

Est-ce que la somme des probabilités peut dépasser 1 ?

Non, la probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, c'est qu'il y a une erreur dans ton calcul de cardinal.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Non, la probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, c'est qu'il y a une erreur dans ton calcul de cardinal.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$.

Chno hiya l'far9 bin tirage avec remise et sans remise ?

Avec remise : Chaque tirage est indépendant, le nombre total de possibilités est $n^k$ .
Sans remise : Le nombre d'objets diminue à chaque tirage, on utilise $A_n^k$ ou $C_n^k$ .

💡 À retenir : Avec remise = puissance ; Sans remise = factorielle.

Avec remise : Chaque tirage est indépendant, le nombre total de possibilités est $n^k$.
Sans remise : Le nombre d'objets diminue à chaque tirage, on utilise $A_n^k$ ou $C_n^k$.

💡 À retenir : Avec remise = puissance ; Sans remise = factorielle.

Comment calculer la probabilité d'un événement contraire ?

Identifie l'événement $A$ .
Détermine l'événement contraire $\bar{A}$ (ce qui se passe si $A$ ne se réalise pas).
Calcule $P(\bar{A})$ .
Utilise la formule $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ .

💡 À retenir : Utile pour les questions avec "au moins un".

Identifie l'événement $A$.
Détermine l'événement contraire $\bar{A}$ (ce qui se passe si $A$ ne se réalise pas).
Calcule $P(\bar{A})$.
Utilise la formule $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

💡 À retenir : Utile pour les questions avec "au moins un".

Wach l'ihtimal dyal l'hadath l'mostahil dima 0 ?

Oui, l'événement impossible (celui qui ne peut jamais se produire) a toujours une probabilité de 0.

💡 À retenir : $P(\emptyset) = 0$ .

Oui, l'événement impossible (celui qui ne peut jamais se produire) a toujours une probabilité de 0.

💡 À retenir : $P(\emptyset) = 0$.

Peut-on utiliser les arrangements pour des tirages simultanés ?

Non, c'est une erreur grave. Les arrangements introduisent un ordre artificiel qui fausse le résultat. Pour le simultané, reste strictement sur les combinaisons.

💡 À retenir : Simultané = $C_n^k$ uniquement.

Non, c'est une erreur grave. Les arrangements introduisent un ordre artificiel qui fausse le résultat. Pour le simultané, reste strictement sur les combinaisons.

💡 À retenir : Simultané = $C_n^k$ uniquement.

Est-ce que Cn^k = Cn^{n-k} ?

Oui, c'est une propriété fondamentale appelée la symétrie des combinaisons. Choisir $k$ éléments à garder revient à choisir $n-k$ éléments à laisser.

💡 À retenir : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .

Oui, c'est une propriété fondamentale appelée la symétrie des combinaisons. Choisir $k$ éléments à garder revient à choisir $n-k$ éléments à laisser.

💡 À retenir : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.

Comment savoir si deux événements sont indépendants ?

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

💡 À retenir : Vérifier la multiplication des probabilités.

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

💡 À retenir : Vérifier la multiplication des probabilités.

Est-ce que le nombre de cas possibles change si on tire les boules une par une sans remise ?

Oui, le cardinal de l'univers $\Omega$ est calculé par $A_n^k$ car l'ordre de sortie des boules est pris en compte.

💡 À retenir : Successif sans remise = $A_n^k$ .

Oui, le cardinal de l'univers $\Omega$ est calculé par $A_n^k$ car l'ordre de sortie des boules est pris en compte.

💡 À retenir : Successif sans remise = $A_n^k$.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour n! ?

Oui, mais tu dois savoir écrire la formule $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$ sur ta copie avant de donner le résultat final.

💡 À retenir : Justifie toujours tes calculs.

Oui, mais tu dois savoir écrire la formule $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$ sur ta copie avant de donner le résultat final.

💡 À retenir : Justifie toujours tes calculs.

Est-ce que le programme inclut les probabilités conditionnelles ? (à vérifier par le professeur)

Oui, les probabilités conditionnelles $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ font partie du programme de terminale et sont essentielles pour les exercices de type examen.

💡 À retenir : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .

Oui, les probabilités conditionnelles $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ font partie du programme de terminale et sont essentielles pour les exercices de type examen.