Mathématiques · Médecine, pharmacie & dentaire — 1ère année Pharmacie

Rappels sur les fonctions numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Ensemble de définition $D_f$ : L'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)$ existe.
Parité : $f$ est paire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$ (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées). $f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ (symétrie par rapport à l'origine).
Monotonie : Soit $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ le taux de variation. Si $T > 0$ , $f$ est croissante. Si $T < 0$ , $f$ est décroissante.
Composée : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Chercher les contraintes (dénominateur $\neq 0$ , racine $\geq 0$ ).
Étudier la parité : Toujours vérifier d'abord si $D_f$ est symétrique par rapport à 0.
Étudier la monotonie : Utiliser le taux de variation $T$ pour les fonctions simples.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ . $D_f = \mathbb{R}$ . $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2+1} = f(x)$ , donc $f$ est paire.
Exemple 2 : Soit $f(x) = 2x+3$ . $T = \frac{(2x_1+3)-(2x_2+3)}{x_1-x_2} = \frac{2(x_1-x_2)}{x_1-x_2} = 2$ . Comme $2 > 0$ , $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la symétrie de $D_f$ avant de conclure sur la parité.
Confondre l'image d'un intervalle avec l'ensemble de définition.
Faire une erreur de signe lors du calcul du taux de variation $T$ .

L'essentiel du cours

Ensemble de définition $D_f$ : L'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)$ existe.
Parité : $f$ est paire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$ (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées). $f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ (symétrie par rapport à l'origine).
Monotonie : Soit $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ le taux de variation. Si $T > 0$, $f$ est croissante. Si $T < 0$, $f$ est décroissante.
Composée : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Chercher les contraintes (dénominateur $\neq 0$, racine $\geq 0$).
Étudier la parité : Toujours vérifier d'abord si $D_f$ est symétrique par rapport à 0.
Étudier la monotonie : Utiliser le taux de variation $T$ pour les fonctions simples.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$. $D_f = \mathbb{R}$. $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2+1} = f(x)$, donc $f$ est paire.
Exemple 2 : Soit $f(x) = 2x+3$. $T = \frac{(2x_1+3)-(2x_2+3)}{x_1-x_2} = \frac{2(x_1-x_2)}{x_1-x_2} = 2$. Comme $2 > 0$, $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la symétrie de $D_f$ avant de conclure sur la parité.
Confondre l'image d'un intervalle avec l'ensemble de définition.
Faire une erreur de signe lors du calcul du taux de variation $T$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Rappels sur les fonctions numériques

1/4

L'ensemble de définition de $f(x) = \frac{1}{x-3}$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une fonction paire et une fonction impaire ?

Une fonction est paire si sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe vertical).
Une fonction est impaire si sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

💡 À retenir : Pour vérifier, calcule toujours $f(-x)$ et compare-le à $f(x)$ ou $-f(x)$ .

Une fonction est paire si sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe vertical).
Une fonction est impaire si sa courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère.

💡 À retenir : Pour vérifier, calcule toujours $f(-x)$ et compare-le à $f(x)$ ou $-f(x)$.

Kifach n7seb l'ensemble de définition dyal fonction fiha l'kssr?

Chouf l'maqam (dénominateur).
7el l'mo3adala li kat3ti l'maqam = 0.
$D_f$ hiya $\mathbb{R}$ naqss hadouk l'7ouloul li lqiti.

💡 À retenir : L'maqam khasso ykoun dima mkhaleuf 0.

Chouf l'maqam (dénominateur).
7el l'mo3adala li kat3ti l'maqam = 0.
$D_f$ hiya $\mathbb{R}$ naqss hadouk l'7ouloul li lqiti.

💡 À retenir : L'maqam khasso ykoun dima mkhaleuf 0.

Est-ce qu'une fonction peut être ni paire ni impaire ?

Oui, c'est le cas le plus fréquent. Par exemple, $f(x) = x^2 + x$ . Ici, $f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$ . Ce n'est ni $f(x)$ ni $-f(x)$ .

💡 À retenir : La parité est une propriété particulière, pas une obligation.

Oui, c'est le cas le plus fréquent. Par exemple, $f(x) = x^2 + x$. Ici, $f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$. Ce n'est ni $f(x)$ ni $-f(x)$.

💡 À retenir : La parité est une propriété particulière, pas une obligation.

Chno hiya l'fonction composée?

C'est quand on applique deux fonctions l'une après l'autre. On note $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ . On calcule d'abord $f(x)$ , puis on met le résultat dans $g$ .

💡 À retenir : L'ordre est très important, $g \circ f$ n'est pas toujours égal à $f \circ g$ .

C'est quand on applique deux fonctions l'une après l'autre. On note $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. On calcule d'abord $f(x)$, puis on met le résultat dans $g$.

💡 À retenir : L'ordre est très important, $g \circ f$ n'est pas toujours égal à $f \circ g$.

Kifach n3ref wach l'fonction tal3a wla habta?

7seb l'taux de variation $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ .
Ila lqiti $T > 0$ , l'fonction croissante (tal3a).
Ila lqiti $T < 0$ , l'fonction décroissante (habta).

💡 À retenir : Le signe de $T$ détermine la monotonie.

7seb l'taux de variation $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$.
Ila lqiti $T > 0$, l'fonction croissante (tal3a).
Ila lqiti $T < 0$, l'fonction décroissante (habta).

💡 À retenir : Le signe de $T$ détermine la monotonie.

Comment justifier qu'une fonction est croissante sur un intervalle ?

Il faut montrer que pour tous $x_1, x_2$ dans l'intervalle, si $x_1 < x_2$ alors $f(x_1) < f(x_2)$ .

💡 À retenir : La croissance conserve l'ordre des éléments.

Il faut montrer que pour tous $x_1, x_2$ dans l'intervalle, si $x_1 < x_2$ alors $f(x_1) < f(x_2)$.

💡 À retenir : La croissance conserve l'ordre des éléments.

Est-ce que Df est toujours mathbb{R} ?

Non, cela dépend de la forme de la fonction (racines, fractions, etc.).

💡 À retenir : Toujours chercher les valeurs interdites avant de commencer l'étude.

Si f est paire, est-ce que sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des abscisses ?

Non, c'est par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe $Oy$ ).

💡 À retenir : Paire = Axe vertical ( $Oy$ ).

Non, c'est par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe $Oy$).

💡 À retenir : Paire = Axe vertical ($Oy$).

Comment calculer l'image d'un intervalle par une fonction croissante ?

Si $f$ est croissante sur $[a, b]$ , alors l'image est $[f(a), f(b)]$ .

💡 À retenir : La croissance préserve l'ordre des bornes.

Si $f$ est croissante sur $[a, b]$, alors l'image est $[f(a), f(b)]$.

💡 À retenir : La croissance préserve l'ordre des bornes.

Pourquoi on étudie la parité ?

Pour réduire le domaine d'étude. Si $f$ est paire, on étudie seulement sur $D_f \cap [0, +\infty[$ et on complète par symétrie.

💡 À retenir : Gain de temps et moins de calculs.

Pour réduire le domaine d'étude. Si $f$ est paire, on étudie seulement sur $D_f \cap [0, +\infty[$ et on complète par symétrie.

💡 À retenir : Gain de temps et moins de calculs.

Est-ce que la somme de deux fonctions paires est paire ?

Oui, car $f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x)$ .

💡 À retenir : La somme de deux fonctions de même parité garde cette parité.

Oui, car $f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x)$.

💡 À retenir : La somme de deux fonctions de même parité garde cette parité.

Est-ce que le taux de variation dépend du choix de x1 et x2 ?

Non, le résultat final doit être indépendant de $x_1$ et $x_2$ pour une fonction affine, ou dépendre de l'intervalle pour les autres.

💡 À retenir : Le taux de variation mesure la pente moyenne.

Non, le résultat final doit être indépendant de $x_1$ et $x_2$ pour une fonction affine, ou dépendre de l'intervalle pour les autres.

💡 À retenir : Le taux de variation mesure la pente moyenne.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Étudier la parité de $f$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$.

Déterminer $D_f$.
Étudier la parité de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ . Étudier la monotonie de $f$ sur $[2, +\infty[$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Étudier la monotonie de $f$ sur $[2, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soient $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = x^2+1$ . Déterminer $(f \circ g)(x)$ et $(g \circ f)(x)$ .

Exercice 3

Soient $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = x^2+1$. Déterminer $(f \circ g)(x)$ et $(g \circ f)(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Limites et continuité Dérivabilité et applications Fonctions logarithmes et exponentielles Calcul intégral et primitives Équations différentielles Statistiques descriptives Probabilités et dénombrement Éléments d'algèbre linéaire (Matrices et systèmes)