Mathématiques · Médecine, pharmacie & dentaire — 1ère année Pharmacie

Dérivabilité et applications

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Dérivée et monotonie : Si $f' > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante. Si $f' < 0$ , elle est strictement décroissante.
Concavité : Si $f'' > 0$ , la courbe est convexe. Si $f'' < 0$ , elle est concave. Le point d'inflexion est là où $f''$ s'annule en changeant de signe.

Méthodes à maîtriser

Calcul de dérivée : Utiliser les formules usuelles $(u^n)', (uv)', (u/v)', (f \circ g)'$ .
Étude de signe : Toujours factoriser $f'(x)$ pour étudier son signe.
Recherche d'extremums : Résoudre $f'(x) = 0$ et vérifier le changement de signe.

Exemples corrigés

Tangente : Soit $f(x) = x^2$ en $a=1$ . $f'(x) = 2x$ , donc $f'(1)=2$ . $y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1$ .
Monotonie : $f(x) = x^3 - 3x$ . $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ . $f$ croît sur $]-\infty, -1]$ et $[1, +\infty[$ , et décroît sur $[-1, 1]$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de dérivabilité avant de calculer $f'$ .
Confondre le signe de $f'$ (monotonie) et le signe de $f$ (position par rapport à l'axe).
Ne pas vérifier le changement de signe de $f''$ pour conclure à un point d'inflexion.

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Dérivée et monotonie : Si $f' > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante. Si $f' < 0$, elle est strictement décroissante.
Concavité : Si $f'' > 0$, la courbe est convexe. Si $f'' < 0$, elle est concave. Le point d'inflexion est là où $f''$ s'annule en changeant de signe.

Méthodes à maîtriser

Calcul de dérivée : Utiliser les formules usuelles $(u^n)', (uv)', (u/v)', (f \circ g)'$.
Étude de signe : Toujours factoriser $f'(x)$ pour étudier son signe.
Recherche d'extremums : Résoudre $f'(x) = 0$ et vérifier le changement de signe.

Exemples corrigés

Tangente : Soit $f(x) = x^2$ en $a=1$. $f'(x) = 2x$, donc $f'(1)=2$. $y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1$.
Monotonie : $f(x) = x^3 - 3x$. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$. $f$ croît sur $]-\infty, -1]$ et $[1, +\infty[$, et décroît sur $[-1, 1]$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de dérivabilité avant de calculer $f'$.
Confondre le signe de $f'$ (monotonie) et le signe de $f$ (position par rapport à l'axe).
Ne pas vérifier le changement de signe de $f''$ pour conclure à un point d'inflexion.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dérivabilité et applications

1/4

La dérivée de $f(x) = \sin(2x)$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est dérivable en un point a ?

Calcule la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
Si cette limite est un nombre réel fini, la fonction est dérivable en $a$ .
Si la limite est $\pm \infty$ , la fonction n'est pas dérivable en $a$ (il y a une tangente verticale).

💡 À retenir : La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse.

Calcule la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Si cette limite est un nombre réel fini, la fonction est dérivable en $a$.
Si la limite est $\pm \infty$, la fonction n'est pas dérivable en $a$ (il y a une tangente verticale).

💡 À retenir : La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse.

Kifach n-3ref wach kayn point d'inflexion wla la ?

Hseb l-mouchtaqa tanya $f''(x)$ .
Hseb l-qiyam li fihom $f''(x) = 0$ .
Chouf wach $f''(x)$ kat-bdel l-ichara (signe) f dak l-nuqta. Ila t-bedlat, rah nuqta n3itaf.

💡 À retenir : $f''(x)=0$ ne suffit pas, il faut un changement de signe.

Hseb l-mouchtaqa tanya $f''(x)$.
Hseb l-qiyam li fihom $f''(x) = 0$.
Chouf wach $f''(x)$ kat-bdel l-ichara (signe) f dak l-nuqta. Ila t-bedlat, rah nuqta n3itaf.

💡 À retenir : $f''(x)=0$ ne suffit pas, il faut un changement de signe.

Quelle est la différence entre un extremum local et un extremum global ?

Un extremum local est une valeur maximale ou minimale sur un voisinage ouvert de $a$ .
Un extremum global est la valeur la plus grande ou la plus petite sur tout le domaine de définition.

💡 À retenir : Tout extremum global est local, mais l'inverse n'est pas vrai.

Un extremum local est une valeur maximale ou minimale sur un voisinage ouvert de $a$.
Un extremum global est la valeur la plus grande ou la plus petite sur tout le domaine de définition.

💡 À retenir : Tout extremum global est local, mais l'inverse n'est pas vrai.

Kifach n-khrej l-equation dyal l-mams (tangente) ?

Hseb $f(a)$ (sourat l-nuqta).
Hseb $f'(a)$ (l-mil dyal l-mams).
St3mel l-formula: $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

💡 À retenir : $f'(a)$ est la pente (coefficient directeur).

Hseb $f(a)$ (sourat l-nuqta).
Hseb $f'(a)$ (l-mil dyal l-mams).
St3mel l-formula: $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

💡 À retenir : $f'(a)$ est la pente (coefficient directeur).

Si f'(x) = 0 sur un intervalle, que peut-on dire de f ?

Si la dérivée est nulle sur tout un intervalle, alors la fonction $f$ est constante sur cet intervalle.

💡 À retenir : $f(x) = k$ avec $k$ une constante réelle.

Si la dérivée est nulle sur tout un intervalle, alors la fonction $f$ est constante sur cet intervalle.

💡 À retenir : $f(x) = k$ avec $k$ une constante réelle.

Wach momkin n-chqou l-fonction ila kant m-tassila?

La, machi dima. L-itisal (continuité) charte darouri walakin machi kafi. Kaynin des fonctions m-tassilin walakin ma-qablinch l-chtiqaq (bhal $f(x) = |x|$ f $x=0$ ).

💡 À retenir : Continuité $\neq$ Dérivabilité.

La, machi dima. L-itisal (continuité) charte darouri walakin machi kafi. Kaynin des fonctions m-tassilin walakin ma-qablinch l-chtiqaq (bhal $f(x) = |x|$ f $x=0$).

💡 À retenir : Continuité $\neq$ Dérivabilité.

Comment étudier la position relative d'une courbe et de sa tangente ?

Calcule la différence $d(x) = f(x) - (f'(a)(x-a) + f(a))$ .
Étudie le signe de $d(x)$ .
Si $d(x) \geq 0$ , la courbe est au-dessus de la tangente.

💡 À retenir : Le signe de $d(x)$ donne la position relative.

Calcule la différence $d(x) = f(x) - (f'(a)(x-a) + f(a))$.
Étudie le signe de $d(x)$.
Si $d(x) \geq 0$, la courbe est au-dessus de la tangente.

💡 À retenir : Le signe de $d(x)$ donne la position relative.

Quelle est la dérivée de la composée f(g(x)) ?

La formule est $(f \circ g)'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))$ .

💡 À retenir : On dérive l'extérieur et on multiplie par la dérivée de l'intérieur.

La formule est $(f \circ g)'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))$.

💡 À retenir : On dérive l'extérieur et on multiplie par la dérivée de l'intérieur.

Pourquoi on étudie le signe de f'' ?

Pour déterminer la convexité ou la concavité de la courbe représentative de la fonction.

💡 À retenir : $f'' > 0 \implies$ convexe (sourire), $f'' < 0 \implies$ concave (triste).

Pour déterminer la convexité ou la concavité de la courbe représentative de la fonction.

💡 À retenir : $f'' > 0 \implies$ convexe (sourire), $f'' < 0 \implies$ concave (triste).

Kifach n-3ref wach l-fonction t-zaydiya wla t-naqosiya?

Hseb l-mouchtaqa $f'(x)$ .
Chouf l-ichara dyal $f'(x)$ .
Ila kant $f'(x) > 0$ f l-majale, rah t-zaydiya. Ila kant $f'(x) < 0$ , rah t-naqosiya.

💡 À retenir : Le signe de $f'$ dicte le sens de variation.

Hseb l-mouchtaqa $f'(x)$.
Chouf l-ichara dyal $f'(x)$.
Ila kant $f'(x) > 0$ f l-majale, rah t-zaydiya. Ila kant $f'(x) < 0$, rah t-naqosiya.

💡 À retenir : Le signe de $f'$ dicte le sens de variation.

Qu'est-ce qu'une approximation affine ?

C'est remplacer la fonction par sa tangente au voisinage d'un point $a$ : $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$ .

💡 À retenir : Utile pour calculer des valeurs approchées.

C'est remplacer la fonction par sa tangente au voisinage d'un point $a$ : $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$.

💡 À retenir : Utile pour calculer des valeurs approchées.

Est-ce que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées ?

Oui, $(u+v)' = u' + v'$ .

💡 À retenir : La dérivation est une opération linéaire.

Oui, $(u+v)' = u' + v'$.

💡 À retenir : La dérivation est une opération linéaire.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ .

Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $x=1$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $x=1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ .