Mathématiques · Médecine, pharmacie & dentaire — 1ère année Pharmacie

Statistiques descriptives

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La statistique descriptive permet de résumer des données. Pour une série $(x_i, n_i)$ :

Moyenne : $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^k n_i x_i$ où $N = \sum n_i$ .
Variance : $V = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^k n_i (x_i - \bar{x})^2 = \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^k n_i x_i^2 \right) - \bar{x}^2$ .
Écart-type : $\sigma = \sqrt{V}$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de la moyenne : Utiliser les centres de classe pour les séries groupées.
Détermination de la médiane : Identifier la valeur dont l'effectif cumulé atteint ou dépasse $N/2$ .
Utilisation de la calculatrice : Maîtriser le mode "STAT" pour gagner du temps.

Exemples corrigés

Soit la série : 2, 4, 4, 8.

$\bar{x} = (2+4+4+8)/4 = 18/4 = 4,5$ .
$V = \frac{2^2+4^2+4^2+8^2}{4} - 4,5^2 = \frac{4+16+16+64}{4} - 20,25 = 25 - 20,25 = 4,75$ .
$\sigma = \sqrt{4,75} \approx 2,18$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de diviser par $N$ dans le calcul de la variance.
Confondre l'effectif total $N$ avec le nombre de valeurs distinctes $k$ .
Utiliser les bornes des classes au lieu du centre de classe pour la moyenne.

L'essentiel du cours

La statistique descriptive permet de résumer des données. Pour une série $(x_i, n_i)$ :

Moyenne : $\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^k n_i x_i$ où $N = \sum n_i$.
Variance : $V = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^k n_i (x_i - \bar{x})^2 = \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^k n_i x_i^2 \right) - \bar{x}^2$.
Écart-type : $\sigma = \sqrt{V}$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de la moyenne : Utiliser les centres de classe pour les séries groupées.
Détermination de la médiane : Identifier la valeur dont l'effectif cumulé atteint ou dépasse $N/2$.
Utilisation de la calculatrice : Maîtriser le mode "STAT" pour gagner du temps.

Exemples corrigés

Soit la série : 2, 4, 4, 8.

$\bar{x} = (2+4+4+8)/4 = 18/4 = 4,5$.
$V = \frac{2^2+4^2+4^2+8^2}{4} - 4,5^2 = \frac{4+16+16+64}{4} - 20,25 = 25 - 20,25 = 4,75$.
$\sigma = \sqrt{4,75} \approx 2,18$.

Erreurs fréquentes

Oublier de diviser par $N$ dans le calcul de la variance.
Confondre l'effectif total $N$ avec le nombre de valeurs distinctes $k$.
Utiliser les bornes des classes au lieu du centre de classe pour la moyenne.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Statistiques descriptives

1/4

Si la moyenne d'une série est 10 et l'écart-type est 0, que peut-on dire ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb la médiane ila kan l'effectif total fard (impair) ?

Ordonne les valeurs par ordre croissant.
Si $N$ est impair, la médiane est la valeur située au rang $(N+1)/2$ .

💡 À retenir : La médiane est une valeur de la série, pas forcément la moyenne.

Ordonne les valeurs par ordre croissant.
Si $N$ est impair, la médiane est la valeur située au rang $(N+1)/2$.

💡 À retenir : La médiane est une valeur de la série, pas forcément la moyenne.

C'est quoi la différence entre la variance et l'écart-type ?

La variance mesure la dispersion au carré.
L'écart-type est la racine carrée de la variance, ce qui permet de revenir à l'unité de la série initiale.

💡 À retenir : L'écart-type est plus facile à interpréter car il a la même unité que les données.

Chno hiya l'utilité dyal l'écart-type f l'examen ?

Il permet de savoir si les données sont proches de la moyenne (écart-type faible) ou dispersées (écart-type élevé).
C'est un indicateur de stabilité d'une série.

💡 À retenir : Un écart-type proche de 0 signifie que toutes les valeurs sont proches de la moyenne.

Comment calculer le centre d'une classe [a, b[ ?

La formule est $(a+b)/2$ .

💡 À retenir : Le centre de classe est la moyenne arithmétique des bornes.

La formule est $(a+b)/2$.

💡 À retenir : Le centre de classe est la moyenne arithmétique des bornes.

Est-ce que la moyenne change si on ajoute une constante à toutes les valeurs ?

Oui, la nouvelle moyenne est $\bar{x}' = \bar{x} + c$ .

💡 À retenir : La variance, elle, ne change pas par translation.

Oui, la nouvelle moyenne est $\bar{x}' = \bar{x} + c$.

💡 À retenir : La variance, elle, ne change pas par translation.

Kifach n7seb la moyenne f série groupée ?

Calcule le centre $c_i$ de chaque classe.
Fais la somme des produits $n_i \times c_i$ .
Divise par l'effectif total $N$ .

💡 À retenir : La précision dépend du choix des centres de classes.

Calcule le centre $c_i$ de chaque classe.
Fais la somme des produits $n_i \times c_i$.
Divise par l'effectif total $N$.

💡 À retenir : La précision dépend du choix des centres de classes.

La variance peut-elle être négative ?

Non, car c'est une somme de carrés divisée par un effectif positif.

💡 À retenir : Si tu trouves une variance négative, vérifie tes calculs, il y a une erreur.

Quelle est la formule rapide de la variance ?

$V = \text{Moyenne des carrés} - (\text{Moyenne})^2$ .

💡 À retenir : C'est la formule la plus utilisée en examen pour éviter les erreurs de soustraction.

$V = \text{Moyenne des carrés} - (\text{Moyenne})^2$.

💡 À retenir : C'est la formule la plus utilisée en examen pour éviter les erreurs de soustraction.

Comment trouver le mode dans une série groupée ?

C'est la classe qui possède l'effectif le plus élevé (classe modale).

💡 À retenir : On parle souvent de "classe modale" plutôt que de "mode" pour les séries groupées.

Est-ce que l'écart-type est toujours positif ?

Oui, par définition, c'est une racine carrée.

💡 À retenir : $\sigma \geq 0$ toujours.

Oui, par définition, c'est une racine carrée.

💡 À retenir : $\sigma \geq 0$ toujours.

Pourquoi on utilise les effectifs cumulés ?

Pour trouver rapidement la médiane et les quartiles.

💡 À retenir : Ils permettent de localiser le rang d'une valeur dans la série ordonnée.

La moyenne est-elle sensible aux valeurs extrêmes ?

Oui, une seule valeur très grande ou très petite peut modifier significativement la moyenne.

💡 À retenir : La médiane est plus "robuste" que la moyenne face aux valeurs aberrantes.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit la série statistique suivante représentant le poids (en kg) de 20 patients : Classes : [50, 60[, [60, 70[, [70, 80[ Effectifs : 4, 10, 6 Calculer la moyenne et l'écart-type.

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Exercice 2

Une série a une moyenne de 10 et une variance de 4. On multiplie chaque valeur par 2. Quelle est la nouvelle moyenne et la nouvelle variance ?

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Exercice 3

Soit une série de 5 valeurs : 1, 3, x, 7, 9. La moyenne est 5. Trouver x et l'écart-type.

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