Mathématiques · Médecine, pharmacie & dentaire — 1ère année Pharmacie

Équations différentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une équation différentielle du premier ordre est une relation liant une fonction inconnue $y$ et sa dérivée $y'$ .

Équation $y' = ay$ ( $a \in \mathbb{R}$ ) : Les solutions sont de la forme $y(x) = C e^{ax}$ avec $C \in \mathbb{R}$ .
Équation $y' = ay + b$ ( $a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0$ ) : Les solutions sont $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$ .
Condition initiale : Pour un problème de Cauchy $y' = ay+b$ avec $y(x_0) = y_0$ , il existe une unique solution.

Méthodes à maîtriser

Identifier la forme : Vérifier si l'équation est de type $y'=ay$ ou $y'=ay+b$ .
Déterminer la solution générale : Appliquer la formule directe.
Utiliser la condition initiale : Remplacer $x$ par $x_0$ et $y$ par $y_0$ pour trouver la valeur de $C$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $y' = 3y$ . Solution : $y(x) = C e^{3x}$ . Exemple 2 : Résoudre $y' = 2y + 4$ avec $y(0) = 1$ . Solution générale : $y(x) = C e^{2x} - \frac{4}{2} = C e^{2x} - 2$ . Condition initiale : $y(0) = C e^0 - 2 = 1 \implies C - 2 = 1 \implies C = 3$ . Solution : $y(x) = 3e^{2x} - 2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ .
Se tromper dans le signe de la solution particulière (pour $y'=ay+b$ , c'est $-b/a$ ).
Confondre $y' = ay$ et $y'' = ay$ (ce dernier n'est pas au programme de 1ère année Pharmacie).

L'essentiel du cours

Une équation différentielle du premier ordre est une relation liant une fonction inconnue $y$ et sa dérivée $y'$.

Équation $y' = ay$ ($a \in \mathbb{R}$) : Les solutions sont de la forme $y(x) = C e^{ax}$ avec $C \in \mathbb{R}$.
Équation $y' = ay + b$ ($a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0$) : Les solutions sont $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$.
Condition initiale : Pour un problème de Cauchy $y' = ay+b$ avec $y(x_0) = y_0$, il existe une unique solution.

Méthodes à maîtriser

Identifier la forme : Vérifier si l'équation est de type $y'=ay$ ou $y'=ay+b$.
Déterminer la solution générale : Appliquer la formule directe.
Utiliser la condition initiale : Remplacer $x$ par $x_0$ et $y$ par $y_0$ pour trouver la valeur de $C$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Résoudre $y' = 3y$. Solution : $y(x) = C e^{3x}$. Exemple 2 : Résoudre $y' = 2y + 4$ avec $y(0) = 1$. Solution générale : $y(x) = C e^{2x} - \frac{4}{2} = C e^{2x} - 2$. Condition initiale : $y(0) = C e^0 - 2 = 1 \implies C - 2 = 1 \implies C = 3$. Solution : $y(x) = 3e^{2x} - 2$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$.
Se tromper dans le signe de la solution particulière (pour $y'=ay+b$, c'est $-b/a$).
Confondre $y' = ay$ et $y'' = ay$ (ce dernier n'est pas au programme de 1ère année Pharmacie).

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🎯 Équations différentielles

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La solution générale de $y' = 5y$ est :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

C'est une équation dont l'inconnue est une fonction $f$ (souvent notée $y$ ). Elle fait intervenir cette fonction et une ou plusieurs de ses dérivées.

💡 À retenir : Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les fonctions $y$ qui vérifient l'égalité.

C'est une équation dont l'inconnue est une fonction $f$ (souvent notée $y$). Elle fait intervenir cette fonction et une ou plusieurs de ses dérivées.

💡 À retenir : Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les fonctions $y$ qui vérifient l'égalité.

Kifach n3ref wach l'equation hiya y'=ay aw y'=ay+b ?

Chouf wach kayn chi 3adad bo7do (constant) f l'equation.
Ila kan $y'$ f jiha o $y$ m3a 3adad f jiha khra, chouf wach kayn chi 3adad akhor (b).
Ila kan $y'=3y$ (ghir $y$ ), hiya $y'=ay$ . Ila kan $y'=3y+5$ , hiya $y'=ay+b$ .

💡 À retenir : $b$ houwa l'3adad li makaynsch m3ah $y$ .

Chouf wach kayn chi 3adad bo7do (constant) f l'equation.
Ila kan $y'$ f jiha o $y$ m3a 3adad f jiha khra, chouf wach kayn chi 3adad akhor (b).
Ila kan $y'=3y$ (ghir $y$), hiya $y'=ay$. Ila kan $y'=3y+5$, hiya $y'=ay+b$.

💡 À retenir : $b$ houwa l'3adad li makaynsch m3ah $y$.

Est-ce que C est toujours un nombre réel ?

Oui, dans le cadre du programme, $C$ est une constante réelle appartenant à $\mathbb{R}$ . Elle est déterminée par la condition initiale donnée dans l'énoncé.

💡 À retenir : Sans condition initiale, il y a une infinité de solutions.

Oui, dans le cadre du programme, $C$ est une constante réelle appartenant à $\mathbb{R}$. Elle est déterminée par la condition initiale donnée dans l'énoncé.

💡 À retenir : Sans condition initiale, il y a une infinité de solutions.

Wach momkin nkhdem b l'integral bach n7el y'=ay ?

Oui, tu peux écrire $y'/y = a$ , puis intégrer les deux côtés : $\ln|y| = ax + K$ , ce qui donne $y = e^{ax+K} = e^K \cdot e^{ax}$ . En posant $C = \pm e^K$ , on retrouve la formule.

💡 À retenir : La méthode directe est plus rapide, mais l'intégration est une bonne vérification.

Oui, tu peux écrire $y'/y = a$, puis intégrer les deux côtés : $\ln|y| = ax + K$, ce qui donne $y = e^{ax+K} = e^K \cdot e^{ax}$. En posant $C = \pm e^K$, on retrouve la formule.

💡 À retenir : La méthode directe est plus rapide, mais l'intégration est une bonne vérification.

Pourquoi a doit être différent de 0 dans y'=ay+b ?

Si $a=0$ , l'équation devient $y' = b$ , ce qui est une équation simple de recherche de primitive ( $y = bx + C$ ). La formule $-b/a$ n'aurait pas de sens mathématique.

💡 À retenir : Si $a=0$ , on intègre directement.

Si $a=0$, l'équation devient $y' = b$, ce qui est une équation simple de recherche de primitive ($y = bx + C$). La formule $-b/a$ n'aurait pas de sens mathématique.

💡 À retenir : Si $a=0$, on intègre directement.

Chno hiya l'condition initiale o 3lach kankhdmou biha ?

L'condition initiale (ex: $y(0)=5$ ) hiya wahed l'ma3louma li katkhlina n7eddo l'valeur dyal $C$ . Bla biha, l'hal kaykon 3am (général).

💡 À retenir : L'condition initiale permet d'avoir une solution unique.

L'condition initiale (ex: $y(0)=5$) hiya wahed l'ma3louma li katkhlina n7eddo l'valeur dyal $C$. Bla biha, l'hal kaykon 3am (général).

💡 À retenir : L'condition initiale permet d'avoir une solution unique.

Comment dériver la solution trouvée pour vérifier ?

Si tu as trouvé $y(x)$ , calcule sa dérivée $y'(x)$ et remplace $y$ et $y'$ dans l'équation initiale. Si tu obtiens une égalité vraie (ex: $0=0$ ), alors ta solution est correcte.

💡 À retenir : La vérification est le meilleur moyen d'éviter les erreurs de calcul.

Si tu as trouvé $y(x)$, calcule sa dérivée $y'(x)$ et remplace $y$ et $y'$ dans l'équation initiale. Si tu obtiens une égalité vraie (ex: $0=0$), alors ta solution est correcte.

💡 À retenir : La vérification est le meilleur moyen d'éviter les erreurs de calcul.

Est-ce que la solution peut être une fonction constante ?

Oui, si $C=0$ dans $y'=ay$ , alors $y(x)=0$ . Si $C=0$ dans $y'=ay+b$ , alors $y(x)=-b/a$ (qui est une fonction constante).

💡 À retenir : Les fonctions constantes sont des cas particuliers de la solution générale.

Oui, si $C=0$ dans $y'=ay$, alors $y(x)=0$. Si $C=0$ dans $y'=ay+b$, alors $y(x)=-b/a$ (qui est une fonction constante).

💡 À retenir : Les fonctions constantes sont des cas particuliers de la solution générale.

Wach l'equation y' = y^2 hiya li 3ndna f l'programme ?

Non, ce n'est pas au programme. Le programme 2025-2026 se limite aux équations linéaires du premier ordre ( $y'=ay+b$ ).

💡 À retenir : Si tu vois un carré sur $y$ , c'est hors programme (à vérifier par le professeur).

Non, ce n'est pas au programme. Le programme 2025-2026 se limite aux équations linéaires du premier ordre ($y'=ay+b$).

💡 À retenir : Si tu vois un carré sur $y$, c'est hors programme (à vérifier par le professeur).

Peut-on avoir y(x0) = y0 avec x0 neq 0 ?

Bien sûr. La condition initiale peut être donnée en n'importe quel point $x_0$ du domaine de définition. La méthode reste identique : on remplace $x$ par $x_0$ et $y$ par $y_0$ .

💡 À retenir : La méthode ne change pas, peu importe la valeur de $x_0$ .

Bien sûr. La condition initiale peut être donnée en n'importe quel point $x_0$ du domaine de définition. La méthode reste identique : on remplace $x$ par $x_0$ et $y$ par $y_0$.

💡 À retenir : La méthode ne change pas, peu importe la valeur de $x_0$.

Est-ce que e^{ax} peut être négatif ?

Non, la fonction exponentielle $e^u$ est strictement positive pour tout $u \in \mathbb{R}$ .

💡 À retenir : $e^{ax} > 0$ toujours.

Non, la fonction exponentielle $e^u$ est strictement positive pour tout $u \in \mathbb{R}$.

💡 À retenir : $e^{ax} > 0$ toujours.

Est-ce que y'=ay+b a toujours une solution ?

Oui, pour tout $a \neq 0$ et $b \in \mathbb{R}$ , il existe toujours une solution définie sur $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : Les solutions sont des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ .

Oui, pour tout $a \neq 0$ et $b \in \mathbb{R}$, il existe toujours une solution définie sur $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : Les solutions sont des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' = 2y$ et déterminer la solution qui vérifie $y(0) = 3$ .

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' = 2y$ et déterminer la solution qui vérifie $y(0) = 3$.

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Exercice 2

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' = -3y + 6$ .

Exercice 2

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' = -3y + 6$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(E) : y' = 4y - 8$ .

Déterminer la solution générale de $(E)$ .
Déterminer la solution $f$ telle que $f(1) = 0$ .

Exercice 3

Soit $(E) : y' = 4y - 8$.

Déterminer la solution générale de $(E)$.
Déterminer la solution $f$ telle que $f(1) = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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