Mathématiques · Écoles d'ingénieurs — ENSA — cycle ingénieur

Équations différentielles ordinaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une équation différentielle d'ordre $n$ est une relation liant une fonction inconnue $y(x)$ , ses dérivées $y', y'', \dots, y^{(n)}$ et la variable $x$ .

Équations du 1er ordre : $y' + a(x)y = f(x)$ . La solution générale est $y(x) = Ce^{-\int a(x)dx} + e^{-\int a(x)dx} \int f(x)e^{\int a(x)dx} dx$ .
Équations du 2nd ordre à coefficients constants : $ay'' + by' + cy = 0$ $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ . On résout l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$ $a r^{2} + b r + c = 0$ .
- $\Delta > 0$ : $y(x) = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$ .
- $\Delta = 0$ : $y(x) = (c_1 x + c_2)e^{rx}$ .
- $\Delta < 0$ : $y(x) = e^{\alpha x}(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x))$ avec $r = \alpha \pm i\beta$ .

Méthodes à maîtriser

Séparation des variables : Pour $y' = g(x)h(y)$ , on écrit $\frac{dy}{h(y)} = g(x)dx$ puis on intègre.
Méthode de variation de la constante : Pour les équations linéaires avec second membre $f(x) \neq 0$ .
Superposition : Si $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$ , on résout séparément pour chaque membre.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $y' + 2y = 0$ . Solution : $y(x) = Ce^{-2x}$ .
Exemple 2 : $y'' - 3y' + 2y = 0$ . Éq. caractéristique : $r^2 - 3r + 2 = 0 \implies (r-1)(r-2)=0$ . Solution : $y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ lors de l'intégration.
Confondre la solution de l'équation homogène avec la solution particulière.
Erreur de signe dans le calcul du discriminant $\Delta$ ou dans l'exposant de l'exponentielle.

L'essentiel du cours

Une équation différentielle d'ordre $n$ est une relation liant une fonction inconnue $y(x)$, ses dérivées $y', y'', \dots, y^{(n)}$ et la variable $x$.

Équations du 1er ordre : $y' + a(x)y = f(x)$. La solution générale est $y(x) = Ce^{-\int a(x)dx} + e^{-\int a(x)dx} \int f(x)e^{\int a(x)dx} dx$.
Équations du 2nd ordre à coefficients constants : $ay'' + by' + cy = 0$. On résout l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$.
- $\Delta > 0$ : $y(x) = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x}$.
- $\Delta = 0$ : $y(x) = (c_1 x + c_2)e^{rx}$.
- $\Delta < 0$ : $y(x) = e^{\alpha x}(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x))$ avec $r = \alpha \pm i\beta$.

Méthodes à maîtriser

Séparation des variables : Pour $y' = g(x)h(y)$, on écrit $\frac{dy}{h(y)} = g(x)dx$ puis on intègre.
Méthode de variation de la constante : Pour les équations linéaires avec second membre $f(x) \neq 0$.
Superposition : Si $f(x) = f_1(x) + f_2(x)$, on résout séparément pour chaque membre.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $y' + 2y = 0$. Solution : $y(x) = Ce^{-2x}$.
Exemple 2 : $y'' - 3y' + 2y = 0$. Éq. caractéristique : $r^2 - 3r + 2 = 0 \implies (r-1)(r-2)=0$. Solution : $y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ lors de l'intégration.
Confondre la solution de l'équation homogène avec la solution particulière.
Erreur de signe dans le calcul du discriminant $\Delta$ ou dans l'exposant de l'exponentielle.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Équations différentielles ordinaires

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Quelle est la solution générale de $y' - 3y = 0$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que toutes les équations différentielles sont solubles analytiquement ?

Non, beaucoup d'équations différentielles, surtout non linéaires, n'ont pas de solution exprimable avec des fonctions usuelles (polynômes, exp, log). Dans ces cas, on utilise l'analyse numérique (méthode d'Euler, Runge-Kutta).

💡 À retenir : L'analyse numérique est indispensable quand l'analytique échoue.

Kifach n3ref wach l'équation homogène wla la ?

Sahl, chouf l'équation dyalk. Ila kan l'طرف li fih $x$ bouhdo (li ma fihch $y$ ) kayساوي $0$ , rah homogène. Ila kan kayساوي $f(x)$ (dalla dyal $x$ ), rah non-homogène.

💡 À retenir : Homogène = $f(x) = 0$ .

Sahl, chouf l'équation dyalk. Ila kan l'طرف li fih $x$ bouhdo (li ma fihch $y$) kayساوي $0$, rah homogène. Ila kan kayساوي $f(x)$ (dalla dyal $x$), rah non-homogène.

💡 À retenir : Homogène = $f(x) = 0$.

Pourquoi on utilise l'équation caractéristique ?

Parce que pour les équations linéaires à coefficients constants, on cherche des solutions de la forme $y = e^{rx}$ . En remplaçant dans l'équation, on obtient un polynôme en $r$ qui nous donne les valeurs possibles de $r$ .

💡 À retenir : $y = e^{rx}$ est la clé pour le 2nd ordre.

Parce que pour les équations linéaires à coefficients constants, on cherche des solutions de la forme $y = e^{rx}$. En remplaçant dans l'équation, on obtient un polynôme en $r$ qui nous donne les valeurs possibles de $r$.

💡 À retenir : $y = e^{rx}$ est la clé pour le 2nd ordre.

Chno hiya l'utilité dyal les conditions initiales ?

Les conditions initiales ( $y(x_0) = y_0$ ) servent à déterminer les constantes $c_1, c_2$ de la solution générale. Sans elles, on a une infinité de solutions.

💡 À retenir : Condition initiale = solution unique.

Les conditions initiales ($y(x_0) = y_0$) servent à déterminer les constantes $c_1, c_2$ de la solution générale. Sans elles, on a une infinité de solutions.

💡 À retenir : Condition initiale = solution unique.

Comment choisir la solution particulière pour y'' + ay' + by = P(x) ?

Si $P(x)$ est un polynôme de degré $n$ , on cherche une solution particulière sous forme d'un polynôme de même degré (ou plus si $0$ est racine de l'équation caractéristique).

💡 À retenir : La forme de $P(x)$ dicte la forme de la solution particulière.

Si $P(x)$ est un polynôme de degré $n$, on cherche une solution particulière sous forme d'un polynôme de même degré (ou plus si $0$ est racine de l'équation caractéristique).

💡 À retenir : La forme de $P(x)$ dicte la forme de la solution particulière.

Wach momkin nkhdem b'tari9at variation de la constante f ay équation ?

Oui, c'est une méthode générale pour les équations linéaires, mais elle est souvent longue. Il vaut mieux utiliser la méthode des coefficients indéterminés si le second membre est simple (polynôme, exp, sin/cos).

💡 À retenir : Variation de la constante = méthode universelle mais calculatoire.

Qu'est-ce qu'une équation différentielle linéaire ?

C'est une équation où $y$ et ses dérivées apparaissent à la puissance 1 et ne sont pas multipliées entre elles (ex: pas de $y \cdot y'$ ).

💡 À retenir : Linéaire = pas de puissances sur $y$ ou $y'$ .

C'est une équation où $y$ et ses dérivées apparaissent à la puissance 1 et ne sont pas multipliées entre elles (ex: pas de $y \cdot y'$).

💡 À retenir : Linéaire = pas de puissances sur $y$ ou $y'$.

Est-ce que l'ordre de l'équation change la méthode ?

Absolument. Le 1er ordre se résout souvent par intégration directe ou facteur intégrant. Le 2nd ordre nécessite l'équation caractéristique.

💡 À retenir : L'ordre définit l'outil mathématique.

Kifach n7seb l'équation caractéristique ila kan y'' + y = 0 ?

Hna $a=1, b=0, c=1$ . L'équation hiya $r^2 + 1 = 0$ . Donc $r^2 = -1$ , ya3ni $r = \pm i$ .

💡 À retenir : $r^2 + 1 = 0 \implies \alpha=0, \beta=1$ .

Hna $a=1, b=0, c=1$. L'équation hiya $r^2 + 1 = 0$. Donc $r^2 = -1$, ya3ni $r = \pm i$.

💡 À retenir : $r^2 + 1 = 0 \implies \alpha=0, \beta=1$.

Quelle est la différence entre solution générale et solution particulière ?

La solution générale contient les constantes d'intégration ( $C_1, C_2$ ). La solution particulière est une solution spécifique où ces constantes sont fixées.

💡 À retenir : Générale = famille de courbes ; Particulière = une seule courbe.

La solution générale contient les constantes d'intégration ($C_1, C_2$). La solution particulière est une solution spécifique où ces constantes sont fixées.

💡 À retenir : Générale = famille de courbes ; Particulière = une seule courbe.

Pourquoi on étudie les systèmes différentiels ?

Parce que dans l'ingénierie, plusieurs grandeurs varient simultanément (ex: position et vitesse d'un robot). Un système permet de modéliser ces interactions.