Analyse numérique : Interpolation et approximation polynomiale
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
L'interpolation polynomiale consiste à trouver un polynôme $P$ de degré au plus $n$ tel que $P(x_i) = y_i$ pour $n+1$ points distincts $(x_i, y_i)$.
Forme de Lagrange : $P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$ avec $L_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$.
Forme de Newton : $P(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + \dots + a_n(x-x_0)\dots(x-x_{n-1})$. Les coefficients $a_i$ sont les différences divisées $f[x_0, \dots, x_i]$.
Méthodes à maîtriser
Construction de Lagrange : Calculer les $L_i(x)$ puis sommer.
Tableau des différences divisées : Calculer les coefficients de Newton de manière récursive.
Moindres carrés : Résoudre le système normal $A^T A X = A^T Y$ pour approximer des données bruitées.
🎯 Analyse numérique : Interpolation et approximation polynomiale
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Le polynôme de Lagrange passant par $n+1$ points est de degré :
❓ Questions fréquentes
C'est quoi la différence entre l'interpolation et l'approximation ?
L'interpolation impose que le polynôme passe exactement par tous les points donnés.
L'approximation (comme les moindres carrés) cherche une courbe qui passe "au plus près" des points sans forcément les toucher, utile quand les données sont bruitées.
💡 À retenir : Interpolation = exactitude aux points ; Approximation = tendance globale.
Kifach n7seb les différences divisées f Newton ?
Tu construis un tableau triangulaire.
La première colonne contient les $y_i$.
La colonne suivante est $f[x_i, x_{i+1}] = \frac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$.
Tu continues jusqu'à la diagonale supérieure.
💡 À retenir : Les coefficients $a_i$ sont les éléments de la première ligne du tableau.
Est-ce que le polynôme de Lagrange est unique ?
Oui, pour $n+1$ points distincts, il existe un unique polynôme de degré au plus $n$ qui interpole ces points.
💡 À retenir : L'unicité est garantie par le déterminant de Vandermonde non nul.
Chno hiya matrice de Vandermonde ?
C'est la matrice $V$ telle que $V \cdot A = Y$, où $A$ est le vecteur des coefficients du polynôme $P(x) = \sum a_i x^i$.
💡 À retenir : Elle est très mal conditionnée pour $n$ grand (instabilité numérique).
Pourquoi on utilise Newton au lieu de Lagrange ?
Newton est plus efficace si on ajoute un nouveau point : on n'a pas besoin de tout recalculer, juste d'ajouter une ligne au tableau.
💡 À retenir : Newton est plus flexible pour l'ajout de données.
Wach momkin n-approximiw b polynôme de degré 100 ?
Théoriquement oui, mais en pratique, on observe le phénomène de Runge (oscillations aux bords).
💡 À retenir : Éviter les degrés trop élevés, préférer l'interpolation par morceaux (splines).
Comment choisir les nœuds d'interpolation ?
Il est préférable de choisir des nœuds répartis selon les racines des polynômes de Tchebychev pour minimiser l'erreur.
💡 À retenir : Une répartition uniforme n'est pas optimale.
C'est quoi le rôle des moindres carrés ?
Minimiser la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites.
💡 À retenir : C'est l'outil standard en statistiques pour la régression.
Kifach n-vérifier wach l'interpolation sahiha ?
Tu remplaces chaque $x_i$ dans ton polynôme $P(x)$ et tu dois retrouver exactement $y_i$.
💡 À retenir : La vérification aux points d'interpolation est obligatoire.
Est-ce que l'interpolation polynomiale est toujours précise ?
Non, elle peut être très imprécise entre les points si la fonction est très oscillante.
💡 À retenir : L'erreur dépend de la dérivée $(n+1)$-ième de la fonction.
Est-ce que le polynôme de Lagrange dépend de l'ordre des points ?
Non, le résultat final est le même quel que soit l'ordre des points, car le polynôme est unique.
💡 À retenir : Seule la méthode de calcul change, pas le résultat.
Comment calculer l'erreur d'interpolation ?
L'erreur est donnée par $E(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x-x_i)$.
💡 À retenir : L'erreur dépend de la régularité de la fonction $f$.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soient les points $(1, 1), (2, 4), (3, 9)$. Déterminer le polynôme de Lagrange $P(x)$ passant par ces points.