Mathématiques · Écoles d'ingénieurs — ENSA — cycle ingénieur

Calcul intégral : Intégrales multiples et curvilignes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Intégrales doubles : Soit $D$ un domaine du plan. L'intégrale double $\iint_D f(x,y) dx dy$ représente le volume sous la surface $z=f(x,y)$ .
Théorème de Fubini : Si $D = [a,b] \times [c,d]$ , alors $\iint_D f(x,y) dx dy = \int_a^b (\int_c^d f(x,y) dy) dx$ .
Changement de variables : Pour passer en polaires ( $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$ ), on multiplie par le Jacobien $|J| = r$ .
Intégrales curvilignes : Soit $\mathcal{C}$ une courbe paramétrée par $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ . L'intégrale d'une forme différentielle $\omega = Pdx + Qdy$ est $\int_{\mathcal{C}} \omega = \int_a^b [P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t)] dt$ .

Méthodes à maîtriser

Délimiter le domaine : Tracer le domaine $D$ pour déterminer les bornes d'intégration.
Choisir le système de coordonnées : Utiliser les coordonnées polaires si le domaine contient des cercles ou des disques.
Appliquer Fubini : Vérifier la continuité de la fonction sur le domaine.
Calculer le Jacobien : Ne jamais oublier le facteur $r$ en polaires ou $r$ en cylindriques.

Exemples corrigés

Calcul simple : $\iint_D x y \, dxdy$ sur $D=[0,1]\times[0,2]$ . $\int_0^1 x dx \times \int_0^2 y dy = [\frac{x^2}{2}]_0^1 \times [\frac{y^2}{2}]_0^2 = \frac{1}{2} \times 2 = 1$ .
Coordonnées polaires : Calculer l'aire d'un disque de rayon $R$ . $A = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R r dr = 2\pi \times [\frac{r^2}{2}]_0^R = \pi R^2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le Jacobien ( $r$ ou $r^2\sin\phi$ ) lors d'un changement de variable.
Inverser les bornes d'intégration sans ajuster la différentielle.
Confondre l'intégrale curviligne d'une fonction scalaire et d'un champ de vecteurs.

L'essentiel du cours

Intégrales doubles : Soit $D$ un domaine du plan. L'intégrale double $\iint_D f(x,y) dx dy$ représente le volume sous la surface $z=f(x,y)$.
Théorème de Fubini : Si $D = [a,b] \times [c,d]$, alors $\iint_D f(x,y) dx dy = \int_a^b (\int_c^d f(x,y) dy) dx$.
Changement de variables : Pour passer en polaires ($x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$), on multiplie par le Jacobien $|J| = r$.
Intégrales curvilignes : Soit $\mathcal{C}$ une courbe paramétrée par $\gamma(t) = (x(t), y(t))$. L'intégrale d'une forme différentielle $\omega = Pdx + Qdy$ est $\int_{\mathcal{C}} \omega = \int_a^b [P(x(t),y(t))x'(t) + Q(x(t),y(t))y'(t)] dt$.

Méthodes à maîtriser

Délimiter le domaine : Tracer le domaine $D$ pour déterminer les bornes d'intégration.
Choisir le système de coordonnées : Utiliser les coordonnées polaires si le domaine contient des cercles ou des disques.
Appliquer Fubini : Vérifier la continuité de la fonction sur le domaine.
Calculer le Jacobien : Ne jamais oublier le facteur $r$ en polaires ou $r$ en cylindriques.

Exemples corrigés

Calcul simple : $\iint_D x y , dxdy$ sur $D=[0,1]\times[0,2]$. $\int_0^1 x dx \times \int_0^2 y dy = [\frac{x^2}{2}]_0^1 \times [\frac{y^2}{2}]_0^2 = \frac{1}{2} \times 2 = 1$.
Coordonnées polaires : Calculer l'aire d'un disque de rayon $R$. $A = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R r dr = 2\pi \times [\frac{r^2}{2}]_0^R = \pi R^2$.

Erreurs fréquentes

Oublier le Jacobien ($r$ ou $r^2\sin\phi$) lors d'un changement de variable.
Inverser les bornes d'intégration sans ajuster la différentielle.
Confondre l'intégrale curviligne d'une fonction scalaire et d'un champ de vecteurs.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul intégral : Intégrales multiples et curvilignes

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Quelle est la valeur du Jacobien en coordonnées polaires ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach nkhdem b polaires ola cartésiennes ?

Chouf l'domaine $D$ : ila kan fih des cercles, des disques ou des équations dyal $x^2+y^2$ , les polaires homa l'7el.
Ila kan l'domaine rectangle ou triangle, khdem b cartésiennes (x, y) bach t-eviter l'3dab.

💡 À retenir : Si $x^2+y^2$ kayn f l'fonction ola f l'domaine, polaires hya l'awla.

Chouf l'domaine $D$ : ila kan fih des cercles, des disques ou des équations dyal $x^2+y^2$, les polaires homa l'7el.
Ila kan l'domaine rectangle ou triangle, khdem b cartésiennes (x, y) bach t-eviter l'3dab.

💡 À retenir : Si $x^2+y^2$ kayn f l'fonction ola f l'domaine, polaires hya l'awla.

Chno howa l'dor dyal Jacobien f changement de variable ?

Jacobien howa l'facteur dyal "t-tashi7" (correction) dyal l'espace.
Fach kanktebo l'intégrale b variable jdida, l'élément de surface $dxdy$ makayb9ach howa $drd\theta$ , khassna n-ajustiw b l'déterminant dyal la matrice Jacobienne.

💡 À retenir : $dxdy = |J| drd\theta$ . Pour polaires, $|J|=r$ .

Jacobien howa l'facteur dyal "t-tashi7" (correction) dyal l'espace.
Fach kanktebo l'intégrale b variable jdida, l'élément de surface $dxdy$ makayb9ach howa $drd\theta$, khassna n-ajustiw b l'déterminant dyal la matrice Jacobienne.

💡 À retenir : $dxdy = |J| drd\theta$. Pour polaires, $|J|=r$.

Kifach n7seb l'intégrale curviligne ila kan l'masar mghlo9 ?

Ila kan l'masar mghlo9 (fermé), fker f théorème de Green-Riemann.
Kayrebet l'intégrale curviligne b wahed l'intégrale double 3la l'intérieur dyal l'masar.
$\oint_{\mathcal{C}} Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$ .

💡 À retenir : Green-Riemann kayshhel l'calcul bzaf f les cas dyal les courbes fermées.

Ila kan l'masar mghlo9 (fermé), fker f théorème de Green-Riemann.
Kayrebet l'intégrale curviligne b wahed l'intégrale double 3la l'intérieur dyal l'masar.
$\oint_{\mathcal{C}} Pdx + Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dxdy$.

💡 À retenir : Green-Riemann kayshhel l'calcul bzaf f les cas dyal les courbes fermées.

Est-ce que l'ordre d'intégration dans une intégrale double est toujours libre ?

Non, l'ordre dépend de la géométrie du domaine $D$ . Si le domaine est défini par $a \le x \le b$ et $g_1(x) \le y \le g_2(x)$ , tu dois intégrer par rapport à $y$ d'abord.

Non, l'ordre dépend de la géométrie du domaine $D$. Si le domaine est défini par $a \le x \le b$ et $g_1(x) \le y \le g_2(x)$, tu dois intégrer par rapport à $y$ d'abord.

Quelle est la différence entre une intégrale curviligne d'un champ scalaire et vectoriel ?

La scalaire dépend de la longueur de la courbe ( $ds$ ), tandis que la vectorielle dépend de la direction du champ par rapport au vecteur tangent ( $\vec{F} \cdot d\vec{r}$ ).

La scalaire dépend de la longueur de la courbe ($ds$), tandis que la vectorielle dépend de la direction du champ par rapport au vecteur tangent ($\vec{F} \cdot d\vec{r}$).

Comment choisir les bornes en coordonnées sphériques ?

Le rayon $\rho$ va de 0 à $R$ , l'angle azimutal $\theta$ de 0 à $2\pi$ , et l'angle polaire $\phi$ de 0 à $\pi$ .

Le rayon $\rho$ va de 0 à $R$, l'angle azimutal $\theta$ de 0 à $2\pi$, et l'angle polaire $\phi$ de 0 à $\pi$.

Le théorème de Fubini s'applique-t-il à toutes les fonctions ?

Il s'applique aux fonctions continues sur un domaine compact. Pour les fonctions discontinues, il faut vérifier l'intégrabilité au sens de Lebesgue.

Pourquoi le Jacobien est-il toujours positif en coordonnées polaires ?

Le Jacobien représente un rapport d'aires. Comme une aire est une grandeur positive, on prend la valeur absolue du déterminant.

Peut-on utiliser les coordonnées cylindriques pour un domaine sphérique ?

C'est possible mais très complexe. Il vaut mieux choisir le système de coordonnées qui "épouse" la forme du domaine.

Qu'est-ce qu'une forme différentielle exacte ?

C'est une forme $\omega = Pdx + Qdy$ telle que $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ . Son intégrale ne dépend que des points de départ et d'arrivée.

C'est une forme $\omega = Pdx + Qdy$ telle que $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$. Son intégrale ne dépend que des points de départ et d'arrivée.

Comment paramétrer un cercle de rayon R ?

On utilise $x(t) = R\cos(t)$ et $y(t) = R\sin(t)$ avec $t \in [0, 2\pi]$ .

On utilise $x(t) = R\cos(t)$ et $y(t) = R\sin(t)$ avec $t \in [0, 2\pi]$.

L'intégrale double d'une fonction constante égale-t-elle l'aire du domaine ?

Oui, $\iint_D 1 \, dxdy = \text{Aire}(D)$ . C'est une propriété fondamentale pour calculer des surfaces complexes.

Oui, $\iint_D 1 , dxdy = \text{Aire}(D)$. C'est une propriété fondamentale pour calculer des surfaces complexes.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale double $I = \iint_D (x^2+y^2) dxdy$ où $D$ est le disque de centre $(0,0)$ et de rayon $R$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale double $I = \iint_D (x^2+y^2) dxdy$ où $D$ est le disque de centre $(0,0)$ et de rayon $R$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer la circulation du champ $\vec{F} = (y, -x)$ le long du cercle unité orienté positivement.

Exercice 2

Calculer la circulation du champ $\vec{F} = (y, -x)$ le long du cercle unité orienté positivement.

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Exercice 3

Calculer $\iint_D x \, dxdy$ où $D$ est le triangle délimité par $x=0, y=0, x+y=1$ .

Exercice 3

Calculer $\iint_D x , dxdy$ où $D$ est le triangle délimité par $x=0, y=0, x+y=1$.

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