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Analyse numérique : Résolution des systèmes d'équations linéaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un système linéaire s'écrit sous la forme $Ax = b$ , où $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , $x \in \mathbb{R}^n$ et $b \in \mathbb{R}^n$ .

Méthodes directes : Elles permettent d'obtenir la solution exacte (en théorie) en un nombre fini d'opérations (Gauss, LU, Cholesky).
Méthodes itératives : Elles génèrent une suite $(x^{(k)})$ qui converge vers la solution $x$ (Jacobi, Gauss-Seidel).

Méthodes à maîtriser

Pivot de Gauss : Élimination des inconnues pour obtenir un système triangulaire supérieur.
Décomposition LU : Écrire $A = LU$ avec $L$ triangulaire inférieure (diagonale de 1) et $U$ triangulaire supérieure.
Méthode de Jacobi : $x^{(k+1)} = D^{-1}(b - (L+U)x^{(k)})$ où $A = D + L + U$ .
Méthode de Gauss-Seidel : Utilise les nouvelles valeurs dès qu'elles sont calculées.

Exemples corrigés

Exemple Gauss : Pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , $b = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ . On fait $L_2 \leftarrow L_2 - 0.5 L_1$ , on obtient $1.5 x_2 = 1.5 \implies x_2 = 1$ , puis $x_1 = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier si le pivot est nul (nécessite une permutation de lignes).
Confondre la méthode de Jacobi et Gauss-Seidel dans l'itération.
Négliger le conditionnement : si $\text{cond}(A)$ est très grand, le système est mal conditionné (instabilité numérique).

L'essentiel du cours

Un système linéaire s'écrit sous la forme $Ax = b$, où $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $x \in \mathbb{R}^n$ et $b \in \mathbb{R}^n$.

Méthodes directes : Elles permettent d'obtenir la solution exacte (en théorie) en un nombre fini d'opérations (Gauss, LU, Cholesky).
Méthodes itératives : Elles génèrent une suite $(x^{(k)})$ qui converge vers la solution $x$ (Jacobi, Gauss-Seidel).

Méthodes à maîtriser

Pivot de Gauss : Élimination des inconnues pour obtenir un système triangulaire supérieur.
Décomposition LU : Écrire $A = LU$ avec $L$ triangulaire inférieure (diagonale de 1) et $U$ triangulaire supérieure.
Méthode de Jacobi : $x^{(k+1)} = D^{-1}(b - (L+U)x^{(k)})$ où $A = D + L + U$.
Méthode de Gauss-Seidel : Utilise les nouvelles valeurs dès qu'elles sont calculées.

Exemples corrigés

Exemple Gauss : Pour $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}$, $b = \begin{pmatrix} 3 \ 3 \end{pmatrix}$. On fait $L_2 \leftarrow L_2 - 0.5 L_1$, on obtient $1.5 x_2 = 1.5 \implies x_2 = 1$, puis $x_1 = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier si le pivot est nul (nécessite une permutation de lignes).
Confondre la méthode de Jacobi et Gauss-Seidel dans l'itération.
Négliger le conditionnement : si $\text{cond}(A)$ est très grand, le système est mal conditionné (instabilité numérique).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Analyse numérique : Résolution des systèmes d'équations linéaires

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Quelle est la condition pour que la méthode de Gauss soit applicable sans permutation ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une méthode directe et itérative ?

La méthode directe donne la solution exacte (aux erreurs d'arrondi près) en un nombre fini d'étapes.
La méthode itérative construit une suite qui se rapproche de la solution. On s'arrête quand la précision voulue est atteinte.

💡 À retenir : Utilisez Gauss pour les petits systèmes, et les méthodes itératives pour les très grandes matrices creuses.

Kifach n3ref wach l'matrice 3ndha hal wa7id ?

Une matrice $A$ admet une solution unique si et seulement si elle est inversible.
Cela revient à vérifier que son déterminant est non nul ( $\det(A) \neq 0$ ).
Si $\det(A) = 0$ , le système n'a pas de solution ou en a une infinité.

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff$ système de Cramer.

Une matrice $A$ admet une solution unique si et seulement si elle est inversible.
Cela revient à vérifier que son déterminant est non nul ($\det(A) \neq 0$).
Si $\det(A) = 0$, le système n'a pas de solution ou en a une infinité.

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff$ système de Cramer.

Chno hiya l'fayda dyal decomposition LU ?

Elle permet de résoudre plusieurs systèmes $Ax = b_i$ avec le même $A$ mais des vecteurs $b$ différents très rapidement.
Une fois $A=LU$ calculé, on résout $Ly=b$ (descente) puis $Ux=y$ (remontée).

💡 À retenir : C'est beaucoup plus rapide que de réappliquer Gauss à chaque fois.

Elle permet de résoudre plusieurs systèmes $Ax = b_i$ avec le même $A$ mais des vecteurs $b$ différents très rapidement.
Une fois $A=LU$ calculé, on résout $Ly=b$ (descente) puis $Ux=y$ (remontée).

💡 À retenir : C'est beaucoup plus rapide que de réappliquer Gauss à chaque fois.

Est-ce que la méthode de Gauss-Seidel converge toujours ?

Non, elle converge si la matrice est à diagonale strictement dominante ou si elle est symétrique définie positive.

💡 À retenir : Vérifiez toujours la condition de convergence avant de lancer les itérations.

Lach kanst3mlo l'pivot de Gauss ?

Kanst3mloh bach nrdou l'matrice triangulaire (fihom ghir asfar t7t l'diagonale), dakchi li kayshhal 3lina nlkaw l'majahil b tari9at "remontée".

💡 À retenir : Le pivot doit être non nul, sinon on permute les lignes.

Comment calculer le conditionnement d'une matrice ?

On utilise la formule $\text{cond}(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|$ . Plus cette valeur est proche de 1, plus le système est stable.

💡 À retenir : Un mauvais conditionnement amplifie les erreurs de mesure.

On utilise la formule $\text{cond}(A) = |A| \cdot |A^{-1}|$. Plus cette valeur est proche de 1, plus le système est stable.

💡 À retenir : Un mauvais conditionnement amplifie les erreurs de mesure.

Pourquoi on préfère souvent la méthode de Gauss-Seidel à Jacobi ?

Parce qu'elle converge généralement deux fois plus vite et utilise moins de mémoire vive (on écrase les anciennes valeurs).

💡 À retenir : Gauss-Seidel est plus efficace en pratique.

Wach momkin nst3mlo Gauss-Seidel ila kant l'matrice machi diagonale dominante ?

Oui, c'est possible, mais la convergence n'est pas garantie. Il faut vérifier le rayon spectral de la matrice d'itération.

💡 À retenir : $\rho(M) < 1$ est la condition nécessaire et suffisante de convergence.

Oui, c'est possible, mais la convergence n'est pas garantie. Il faut vérifier le rayon spectral de la matrice d'itération.

💡 À retenir : $\rho(M) < 1$ est la condition nécessaire et suffisante de convergence.

Qu'est-ce qu'une matrice creuse ?

C'est une matrice qui contient une très grande proportion de zéros.

💡 À retenir : Les méthodes itératives sont optimisées pour ces matrices car elles évitent de stocker les zéros.

Comment choisir le pivot dans Gauss ?

On choisit le plus grand élément en valeur absolue dans la colonne courante (pivotage partiel) pour minimiser les erreurs d'arrondi.

💡 À retenir : Le pivotage partiel est indispensable pour la stabilité numérique.

Kifach n3rf wach l'hal li l9it s7i7 ?

Tu calcules le résidu $r = b - Ax$ . Si $r$ est proche de zéro (selon une norme choisie), alors la solution est satisfaisante.

💡 À retenir : $\|b - Ax\| < \epsilon$ est le critère d'arrêt classique.

Tu calcules le résidu $r = b - Ax$. Si $r$ est proche de zéro (selon une norme choisie), alors la solution est satisfaisante.

💡 À retenir : $|b - Ax| < \epsilon$ est le critère d'arrêt classique.

Quelle est la complexité de la méthode de Gauss ?

Pour un système $n \times n$ , la complexité est de l'ordre de $O(n^3/3)$ opérations.

💡 À retenir : Pour $n$ très grand, cela devient très coûteux en temps de calcul.

Pour un système $n \times n$, la complexité est de l'ordre de $O(n^3/3)$ opérations.

💡 À retenir : Pour $n$ très grand, cela devient très coûteux en temps de calcul.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre par la méthode de Gauss le système : $2x_1 + x_2 - x_3 = 8$ $-3x_1 - x_2 + 2x_3 = -11$ $-2x_1 + x_2 + 2x_3 = -3$

Exercice 1

Résoudre par la méthode de Gauss le système : $2x_1 + x_2 - x_3 = 8$ $-3x_1 - x_2 + 2x_3 = -11$ $-2x_1 + x_2 + 2x_3 = -3$

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Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ et $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ . Effectuer deux itérations de la méthode de Jacobi en partant de $x^{(0)} = (0, 0)^T$ .

Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ -1 & 2 \end{pmatrix}$ et $b = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix}$. Effectuer deux itérations de la méthode de Jacobi en partant de $x^{(0)} = (0, 0)^T$.

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Exercice 3

Montrer que la méthode de Gauss-Seidel converge pour une matrice à diagonale strictement dominante.

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