Mathématiques · Écoles d'ingénieurs — ENSA — cycle ingénieur

Calcul différentiel : Fonctions de plusieurs variables

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ .

Dérivées partielles : $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+he_i)-f(a)}{h}$ .
Gradient : $\nabla f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)$ .
Matrice Hessienne : $H_f(a) = \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) \right)_{1 \le i,j \le n}$ .
Condition d'extremum : Si $a$ est un extremum local, alors $\nabla f(a) = 0$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer le gradient d'une fonction scalaire.
Déterminer les points critiques en résolvant le système $\nabla f(x,y) = (0,0)$ .
Utiliser le Hessien pour classifier les points critiques (déterminant et signe des valeurs propres).
Écrire l'équation du plan tangent : $z = f(a,b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b)$ .

Exemples corrigés

Exemple : $f(x,y) = x^2 + y^2$ . $\nabla f = (2x, 2y)$ . Point critique $(0,0)$ . $H_f = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ . Le déterminant est $4 > 0$ et $f_{xx} > 0$ , donc $(0,0)$ est un minimum local.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ seulement si $f$ est de classe $C^2$ .
Confondre le gradient (vecteur) avec la différentielle (forme linéaire).
Ne pas vérifier la continuité des dérivées secondes avant d'utiliser Schwarz.

L'essentiel du cours

Soit $f: U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$.

Dérivées partielles : $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+he_i)-f(a)}{h}$.
Gradient : $\nabla f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)$.
Matrice Hessienne : $H_f(a) = \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) \right)_{1 \le i,j \le n}$.
Condition d'extremum : Si $a$ est un extremum local, alors $\nabla f(a) = 0$.

Méthodes à maîtriser

Calculer le gradient d'une fonction scalaire.
Déterminer les points critiques en résolvant le système $\nabla f(x,y) = (0,0)$.
Utiliser le Hessien pour classifier les points critiques (déterminant et signe des valeurs propres).
Écrire l'équation du plan tangent : $z = f(a,b) + \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a) + \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b)$.

Exemples corrigés

Exemple : $f(x,y) = x^2 + y^2$. $\nabla f = (2x, 2y)$. Point critique $(0,0)$. $H_f = \begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Le déterminant est $4 > 0$ et $f_{xx} > 0$, donc $(0,0)$ est un minimum local.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ seulement si $f$ est de classe $C^2$.
Confondre le gradient (vecteur) avec la différentielle (forme linéaire).
Ne pas vérifier la continuité des dérivées secondes avant d'utiliser Schwarz.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul différentiel : Fonctions de plusieurs variables

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Soit $f(x,y) = x^2 + y^2$ . Le gradient en $(1,2)$ est :

Soit $f(x,y) = x^2 + y^2$. Le gradient en $(1,2)$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb dérivée partielle dyal f(x,y) = e^{xy} + sin(x) ?

Pour $\frac{\partial f}{\partial x}$ : considérez $y$ comme une constante. $\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{xy} + \cos(x)$ .
Pour $\frac{\partial f}{\partial y}$ : considérez $x$ comme une constante. $\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{xy} + 0$ .

💡 À retenir : Fixez toutes les variables sauf celle par rapport à laquelle vous dérivez.

Pour $\frac{\partial f}{\partial x}$ : considérez $y$ comme une constante. $\frac{\partial f}{\partial x} = y e^{xy} + \cos(x)$.
Pour $\frac{\partial f}{\partial y}$ : considérez $x$ comme une constante. $\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{xy} + 0$.

💡 À retenir : Fixez toutes les variables sauf celle par rapport à laquelle vous dérivez.

Est-ce que la différentielle totale est toujours égale à la somme des dérivées partielles ?

Non, c'est la somme des dérivées partielles multipliées par les accroissements : $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$ .

💡 À retenir : La différentielle est une approximation linéaire.

Non, c'est la somme des dérivées partielles multipliées par les accroissements : $df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy$.

💡 À retenir : La différentielle est une approximation linéaire.

Comment savoir si un point critique est un maximum ou un minimum ?

Calculez les dérivées secondes $f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}$ .
Calculez le déterminant du Hessien $\Delta = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ .
Si $\Delta > 0$ et $f_{xx} > 0$ , c'est un minimum local.
Si $\Delta > 0$ et $f_{xx} < 0$ , c'est un maximum local.
Si $\Delta < 0$ , c'est un point selle (col).

💡 À retenir : Le signe de $\Delta$ est décisif pour la nature du point.

Calculez les dérivées secondes $f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}$.
Calculez le déterminant du Hessien $\Delta = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$.
Si $\Delta > 0$ et $f_{xx} > 0$, c'est un minimum local.
Si $\Delta > 0$ et $f_{xx} < 0$, c'est un maximum local.
Si $\Delta < 0$, c'est un point selle (col).

💡 À retenir : Le signe de $\Delta$ est décisif pour la nature du point.

Kifach n7seb l'équation dyal plan tangent fwahed lpoint (x0, y0) ?

Calculez $z_0 = f(x_0, y_0)$ .
Calculez les dérivées partielles $f_x(x_0, y_0)$ et $f_y(x_0, y_0)$ .
Appliquez la formule : $z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$ .

💡 À retenir : Le plan tangent est la meilleure approximation linéaire de la surface au voisinage du point.

Calculez $z_0 = f(x_0, y_0)$.
Calculez les dérivées partielles $f_x(x_0, y_0)$ et $f_y(x_0, y_0)$.
Appliquez la formule : $z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$.

💡 À retenir : Le plan tangent est la meilleure approximation linéaire de la surface au voisinage du point.

Est-ce que le gradient est toujours perpendiculaire à la courbe de niveau ?

Oui, pour une fonction $f(x,y)$ , le vecteur gradient $\nabla f(x_0, y_0)$ est normal (perpendiculaire) à la ligne de niveau $f(x,y) = c$ passant par $(x_0, y_0)$ .

💡 À retenir : Le gradient indique la direction de la plus forte pente.

Oui, pour une fonction $f(x,y)$, le vecteur gradient $\nabla f(x_0, y_0)$ est normal (perpendiculaire) à la ligne de niveau $f(x,y) = c$ passant par $(x_0, y_0)$.

💡 À retenir : Le gradient indique la direction de la plus forte pente.

Chno hiya lfar9 bin dérivée partielle o dérivée directionnelle ?

La dérivée partielle mesure la variation selon les axes $Ox$ ou $Oy$ .
La dérivée directionnelle mesure la variation selon n'importe quel vecteur unitaire $u$ .
Formule : $D_u f(a) = \nabla f(a) \cdot u$ .

💡 À retenir : La dérivée partielle est un cas particulier de la dérivée directionnelle.

La dérivée partielle mesure la variation selon les axes $Ox$ ou $Oy$.
La dérivée directionnelle mesure la variation selon n'importe quel vecteur unitaire $u$.
Formule : $D_u f(a) = \nabla f(a) \cdot u$.

💡 À retenir : La dérivée partielle est un cas particulier de la dérivée directionnelle.

Kifach nkhdem b'règle de la chaîne ila kanat lfonction composée ?

Si $f(x,y)$ avec $x=x(t)$ et $y=y(t)$ , alors : $\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}$ .

💡 À retenir : Il faut toujours dériver par rapport à la variable intermédiaire puis par rapport à $t$ .

Si $f(x,y)$ avec $x=x(t)$ et $y=y(t)$, alors : $\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}$.

💡 À retenir : Il faut toujours dériver par rapport à la variable intermédiaire puis par rapport à $t$.

Est-ce qu'une fonction peut avoir plusieurs points critiques ?

Oui, absolument. Par exemple, $f(x,y) = x^3 - 3x + y^2$ possède deux points critiques : $(1, 0)$ et $(-1, 0)$ .

💡 À retenir : Il faut résoudre le système $\nabla f = 0$ dans son ensemble pour trouver tous les points.

Oui, absolument. Par exemple, $f(x,y) = x^3 - 3x + y^2$ possède deux points critiques : $(1, 0)$ et $(-1, 0)$.

💡 À retenir : Il faut résoudre le système $\nabla f = 0$ dans son ensemble pour trouver tous les points.

Est-ce que le théorème de Schwarz s'applique toujours ?

Non, il nécessite que les dérivées partielles secondes soient continues sur l'ouvert considéré (fonction de classe $C^2$ ).

💡 À retenir : Vérifiez toujours la régularité de la fonction avant d'inverser l'ordre des dérivées.

Non, il nécessite que les dérivées partielles secondes soient continues sur l'ouvert considéré (fonction de classe $C^2$).

💡 À retenir : Vérifiez toujours la régularité de la fonction avant d'inverser l'ordre des dérivées.

Chno l'intérêt dyal matrice Hessienne f'l'ingénierie ?

Elle est cruciale pour l'optimisation numérique, notamment pour les méthodes de Newton-Raphson appliquées aux fonctions de plusieurs variables pour trouver des minima de fonctions de coût.

💡 À retenir : La courbure de la fonction est contenue dans la Hessienne.

Si Delta = 0 (déterminant du Hessien nul), qu'est-ce qu'on fait ?

Le test du Hessien est non concluant. Il faut étudier le comportement de la fonction localement par un développement de Taylor ou par l'étude directe de $f(x,y) - f(x_0, y_0)$ .

💡 À retenir : $\Delta = 0$ ne signifie pas forcément qu'il n'y a pas d'extremum.

Le test du Hessien est non concluant. Il faut étudier le comportement de la fonction localement par un développement de Taylor ou par l'étude directe de $f(x,y) - f(x_0, y_0)$.

💡 À retenir : $\Delta = 0$ ne signifie pas forcément qu'il n'y a pas d'extremum.

Est-ce que le gradient est un vecteur ou un scalaire ?

Le gradient est un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles.

💡 À retenir : $\nabla f$ est un vecteur, alors que $f$ est une fonction scalaire.

Le gradient est un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles.

💡 À retenir : $\nabla f$ est un vecteur, alors que $f$ est une fonction scalaire.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ .

Déterminer les points critiques de $f$ .
Étudier la nature de ces points.

Exercice 1

Soit $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$.

Déterminer les points critiques de $f$.
Étudier la nature de ces points.

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Exercice 2

Calculer le plan tangent à la surface $z = x^2 + 2y^2$ au point $(1, 1)$ .

Exercice 2

Calculer le plan tangent à la surface $z = x^2 + 2y^2$ au point $(1, 1)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x,y) = x^2y + y^3 - y$ . Montrer que $(0,1)$ est un point critique et déterminer sa nature.

Exercice 3

Soit $f(x,y) = x^2y + y^3 - y$. Montrer que $(0,1)$ est un point critique et déterminer sa nature.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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