Analyse numérique : Résolution d'équations non linéaires

1. Utiliser le TVI pour localiser l'intervalle $[a, b]$.
2. Choisir $x_0$ au milieu ou aux extrémités selon la convexité de la fonction.

💡 À retenir : Un $x_0$ proche de la racine garantit une convergence rapide.

Elle échoue si $f(a)$ et $f(b)$ ont le même signe, car on ne peut pas garantir la présence d'une racine.

💡 À retenir : Le changement de signe est la condition sine qua non.

Parce que beaucoup d'équations réelles (physique, mécanique) n'ont pas de solution analytique exacte.

💡 À retenir : L'ingénieur doit savoir approximer une solution avec une précision donnée.

1. La dichotomie a une convergence linéaire : l'erreur est divisée par 2 à chaque étape.
2. Newton a une convergence quadratique : le nombre de chiffres significatifs double à chaque itération.

💡 À retenir : Newton est très rapide mais nécessite une bonne valeur initiale et une dérivée non nulle.

1. Khass tkon $f$ mtasla (continue) f dak l'intervalle.
2. Khass t7seb $f(a)$ w $f(b)$ w tchouf wach $f(a) \times f(b) < 0$.
3. Ila kan l'hssab sghir, ra l'intervalle mzyan.

💡 À retenir : $f(a) \times f(b) < 0$ veut dire que la courbe traverse l'axe des abscisses.

Non. Elle nécessite :

1. Une fonction $f$ de classe $C^2$.
2. Une valeur initiale $x_0$ suffisamment proche de la racine.
3. $f'(x) \neq 0$ sur l'intervalle considéré.

💡 À retenir : Si $x_0$ est loin, la suite peut diverger.

C'est un nombre qui mesure la vitesse à laquelle l'erreur diminue.

1. Si l'erreur $e_{n+1} \approx C \cdot e_n$, c'est l'ordre 1 (linéaire).
2. Si $e_{n+1} \approx C \cdot e_n^2$, c'est l'ordre 2 (quadratique).

💡 À retenir : Plus l'ordre est élevé, moins il faut d'itérations.

L'erreur après $n$ itérations est majorée par $\frac{b-a}{2^n}$.

1. Tu prends la longueur initiale $(b-a)$.
2. Tu divises par $2^n$ selon le nombre d'étapes.

💡 À retenir : L'erreur diminue de moitié à chaque étape.

Non, car la formule contient $f'(x)$ au dénominateur. Si $f'(x_n) = 0$, le calcul est impossible.

💡 À retenir : La dérivée doit être non nulle pour garantir la convergence.

Non, cela dépend de la fonction $g(x)$.

1. Si $|g'(x)| < 1$ au voisinage du point fixe, ça converge.
2. Si $|g'(x)| > 1$, ça diverge.

💡 À retenir : La condition $|g'(x)| < 1$ est cruciale.

Non, seulement si la fonction est dérivable et qu'on peut calculer sa dérivée facilement.

💡 À retenir : Si $f$ est complexe à dériver, on préfère d'autres méthodes.

1. Absolue : $|x_{exact} - x_{approx}|$.
2. Relative : $\frac{|x_{exact} - x_{approx}|}{|x_{exact}|}$.

💡 À retenir : L'erreur relative est souvent plus parlante pour comparer des ordres de grandeur.