Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — ECT

Déterminants

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le déterminant est une application $\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ qui vérifie :

$\det(I_n) = 1$ .
$\det(AB) = \det(A)\det(B)$ .
$\det(A^T) = \det(A)$ .
$\det(A) \neq 0 \iff A \in GL_n(\mathbb{R})$ .
Si on multiplie une ligne par $\lambda$ , le déterminant est multiplié par $\lambda$ .
Si on échange deux lignes, le déterminant change de signe.

Méthodes à maîtriser

Développement par rapport à une ligne ou colonne : Utiliser la formule $\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij}$ .
Opérations élémentaires : Ajouter un multiple d'une ligne à une autre ne change pas le déterminant.
Matrice triangulaire : Le déterminant est le produit des éléments diagonaux.
Inversion : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{com}(A)^T$ .

Exemples corrigés

Exemple : $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = (1 \times 4) - (2 \times 3) = 4 - 6 = -2$ . Pour une matrice $3 \times 3$ , on développe selon la première ligne.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe $(-1)^{i+j}$ lors du calcul des co-facteurs.
Croire que $\det(A+B) = \det(A) + \det(B)$ (Faux !).
Multiplier toute la matrice par $\lambda$ au lieu d'une seule ligne : $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ .

L'essentiel du cours

Le déterminant est une application $\det : \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ qui vérifie :

$\det(I_n) = 1$.
$\det(AB) = \det(A)\det(B)$.
$\det(A^T) = \det(A)$.
$\det(A) \neq 0 \iff A \in GL_n(\mathbb{R})$.
Si on multiplie une ligne par $\lambda$, le déterminant est multiplié par $\lambda$.
Si on échange deux lignes, le déterminant change de signe.

Méthodes à maîtriser

Développement par rapport à une ligne ou colonne : Utiliser la formule $\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij}$.
Opérations élémentaires : Ajouter un multiple d'une ligne à une autre ne change pas le déterminant.
Matrice triangulaire : Le déterminant est le produit des éléments diagonaux.
Inversion : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{com}(A)^T$.

Exemples corrigés

Exemple : $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} = (1 \times 4) - (2 \times 3) = 4 - 6 = -2$. Pour une matrice $3 \times 3$, on développe selon la première ligne.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe $(-1)^{i+j}$ lors du calcul des co-facteurs.
Croire que $\det(A+B) = \det(A) + \det(B)$ (Faux !).
Multiplier toute la matrice par $\lambda$ au lieu d'une seule ligne : $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Déterminants

1/4

Soit $A$ une matrice $3 \times 3$ telle que $\det(A) = 2$ . Que vaut $\det(3A)$ ?

Soit $A$ une matrice $3 \times 3$ telle que $\det(A) = 2$. Que vaut $\det(3A)$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'matrice 3ndha l'inverse bla ma n7seb l'inverse ?

Il suffit de calculer le déterminant. Si $\det(A) \neq 0$ , alors elle est inversible. Si $\det(A) = 0$ , elle ne l'est pas.

💡 À retenir : Le déterminant est le test le plus rapide pour l'inversibilité.

Il suffit de calculer le déterminant. Si $\det(A) \neq 0$, alors elle est inversible. Si $\det(A) = 0$, elle ne l'est pas.

💡 À retenir : Le déterminant est le test le plus rapide pour l'inversibilité.

Pourquoi det(lambda A) = lambda^n det(A) et pas lambda det(A) ?

Parce que dans une matrice $n \times n$ , tu peux factoriser $\lambda$ dans chaque ligne. Comme il y a $n$ lignes, tu sors $\lambda$ $n$ fois.

💡 À retenir : $\lambda$ sort à la puissance $n$ .

Parce que dans une matrice $n \times n$, tu peux factoriser $\lambda$ dans chaque ligne. Comme il y a $n$ lignes, tu sors $\lambda$ $n$ fois.

💡 À retenir : $\lambda$ sort à la puissance $n$.

Kifach n7seb l'déterminant dyal matrice 3x3 b tari9a sahla ?

Choisis la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros.
Applique le développement : $\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3}$ .
N'oublie pas la règle des signes : $\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$ .

💡 À retenir : Les zéros sont tes meilleurs amis pour simplifier le calcul.

Choisis la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros.
Applique le développement : $\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3}$.
N'oublie pas la règle des signes : $\begin{pmatrix} + & - & + \ - & + & - \ + & - & + \end{pmatrix}$.

💡 À retenir : Les zéros sont tes meilleurs amis pour simplifier le calcul.

Est-ce que det(A) = 0 veut dire que la matrice n'est pas inversible ?

Oui, absolument. Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Si $\det(A) = 0$ , alors le noyau de l'endomorphisme associé n'est pas réduit au vecteur nul.

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff A$ est inversible.

Oui, absolument. Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Si $\det(A) = 0$, alors le noyau de l'endomorphisme associé n'est pas réduit au vecteur nul.

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0 \iff A$ est inversible.

Chno hiya l'relation bin l'déterminant dyal A w A^{-1} ?

On sait que $AA^{-1} = I_n$ . En passant au déterminant : $\det(AA^{-1}) = \det(I_n) = 1$ . Comme $\det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1})$ , on en déduit que $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$ .

💡 À retenir : Le déterminant de l'inverse est l'inverse du déterminant.

On sait que $AA^{-1} = I_n$. En passant au déterminant : $\det(AA^{-1}) = \det(I_n) = 1$. Comme $\det(AA^{-1}) = \det(A)\det(A^{-1})$, on en déduit que $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.

💡 À retenir : Le déterminant de l'inverse est l'inverse du déterminant.

Wach l'déterminant dyal matrice triangulaire howa l'produit dyal les éléments dyal la diagonale ?

Oui, c'est une propriété fondamentale. Pour toute matrice triangulaire (supérieure ou inférieure), le déterminant est égal au produit des éléments de sa diagonale principale.

💡 À retenir : C'est la méthode la plus rapide pour calculer un déterminant complexe après avoir fait des opérations élémentaires.

Comment calculer la comatrice d'une matrice 3 times 3 ?

Pour chaque élément $a_{ij}$ , calcule le mineur $M_{ij}$ (déterminant de la matrice $2 \times 2$ restante).
Multiplie par $(-1)^{i+j}$ pour obtenir le co-facteur $C_{ij}$ .
Place ces co-facteurs dans une nouvelle matrice.

💡 À retenir : La comatrice est la matrice des co-facteurs, pas des mineurs.

Pour chaque élément $a_{ij}$, calcule le mineur $M_{ij}$ (déterminant de la matrice $2 \times 2$ restante).
Multiplie par $(-1)^{i+j}$ pour obtenir le co-facteur $C_{ij}$.
Place ces co-facteurs dans une nouvelle matrice.

💡 À retenir : La comatrice est la matrice des co-facteurs, pas des mineurs.

Est-ce que det(A^T) = det(A) ?

Oui, le déterminant d'une matrice est égal au déterminant de sa transposée. Cela signifie que toutes les propriétés valables pour les lignes le sont aussi pour les colonnes.

💡 À retenir : On peut travailler indifféremment sur les lignes ou les colonnes.

Est-ce que le déterminant d'une matrice diagonale est toujours positif ?

Non, il dépend des signes des éléments sur la diagonale. Si un nombre impair d'éléments diagonaux est négatif, le déterminant sera négatif.

💡 À retenir : Le signe dépend du produit des éléments.

Comment utiliser le déterminant pour résoudre un système linéaire ?

Si le déterminant de la matrice du système est non nul, le système est de Cramer et possède une solution unique. On utilise les formules de Cramer : $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$ .

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0$ garantit une solution unique.

Si le déterminant de la matrice du système est non nul, le système est de Cramer et possède une solution unique. On utilise les formules de Cramer : $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$.

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0$ garantit une solution unique.

Est-ce que le déterminant change si on ajoute une ligne à une autre ?

Non, l'opération $L_i \leftarrow L_i + \alpha L_j$ ne modifie pas la valeur du déterminant. C'est l'outil principal pour simplifier les calculs.

💡 À retenir : Cette opération est la plus utile pour faire apparaître des zéros.

Non, l'opération $L_i \leftarrow L_i + \alpha L_j$ ne modifie pas la valeur du déterminant. C'est l'outil principal pour simplifier les calculs.

💡 À retenir : Cette opération est la plus utile pour faire apparaître des zéros.

Est-ce que le déterminant d'un produit est le produit des déterminants ?

Oui, c'est la propriété multiplicative : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ . C'est très utile pour calculer le déterminant de matrices complexes.

💡 À retenir : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ .

Oui, c'est la propriété multiplicative : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$. C'est très utile pour calculer le déterminant de matrices complexes.

💡 À retenir : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer le déterminant de la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$ .

Exercice 1

Calculer le déterminant de la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 4 \ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$.

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Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $\det(A) = (b-a)(c-a)(c-b)$ .

Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ a & b & c \ a^2 & b^2 & c^2 \end{pmatrix}$. Montrer que $\det(A) = (b-a)(c-a)(c-b)$.

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Exercice 3

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = I_3$ . Quelles sont les valeurs possibles de $\det(A)$ ?

Exercice 3

Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = I_3$. Quelles sont les valeurs possibles de $\det(A)$ ?

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