Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — ECT

Applications linéaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{R}$ -espaces vectoriels. Une application $f: E \to F$ est linéaire si :

$\forall (u, v) \in E^2, f(u+v) = f(u) + f(v)$
$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall u \in E, f(\lambda u) = \lambda f(u)$

Noyau : $\ker(f) = \{u \in E / f(u) = 0_F\}$ . C'est un sous-espace vectoriel de $E$ .
Image : $\text{Im}(f) = \{f(u) / u \in E\}$ . C'est un sous-espace vectoriel de $F$ .
Théorème du rang : Si $E$ est de dimension finie, $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$ .

Méthodes à maîtriser

Démontrer la linéarité : Toujours vérifier $f(0_E) = 0_F$ et utiliser la combinaison linéaire $f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v)$ .
Déterminer le noyau : Résoudre le système $f(x, y, z) = (0, 0, 0)$ .
Déterminer l'image : L'image est engendrée par les images des vecteurs d'une base de $E$ .
Vérifier la bijectivité : $f$ est un isomorphisme ssi $\ker(f) = \{0_E\}$ et $\dim(E) = \dim(F)$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ $f : R^{2} \to R^{2}$ définie par $f(x, y) = (x+y, x-y)$ $f (x, y) = (x + y, x - y)$ .
- $\ker(f) : x+y=0$ et $x-y=0 \implies x=0, y=0$ . Donc $\ker(f) = \{(0,0)\}$ , $f$ est injective.
Exemple 2 : $\dim(\text{Im}(f)) = \dim(\mathbb{R}^2) - \dim(\ker(f)) = 2 - 0 = 2$ . $f$ est surjective, donc bijective.

Erreurs fréquentes

Oublier que $f(0_E) = 0_F$ est une condition nécessaire.
Confondre $\ker(f)$ (sous-espace de $E$ ) et $\text{Im}(f)$ (sous-espace de $F$ ).
Appliquer le théorème du rang sans préciser que $\dim(E)$ est finie.

L'essentiel du cours

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{R}$-espaces vectoriels. Une application $f: E \to F$ est linéaire si :

$\forall (u, v) \in E^2, f(u+v) = f(u) + f(v)$
$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall u \in E, f(\lambda u) = \lambda f(u)$

Noyau : $\ker(f) = {u \in E / f(u) = 0_F}$. C'est un sous-espace vectoriel de $E$.
Image : $\text{Im}(f) = {f(u) / u \in E}$. C'est un sous-espace vectoriel de $F$.
Théorème du rang : Si $E$ est de dimension finie, $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$.

Méthodes à maîtriser

Démontrer la linéarité : Toujours vérifier $f(0_E) = 0_F$ et utiliser la combinaison linéaire $f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v)$.
Déterminer le noyau : Résoudre le système $f(x, y, z) = (0, 0, 0)$.
Déterminer l'image : L'image est engendrée par les images des vecteurs d'une base de $E$.
Vérifier la bijectivité : $f$ est un isomorphisme ssi $\ker(f) = {0_E}$ et $\dim(E) = \dim(F)$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y) = (x+y, x-y)$.
- $\ker(f) : x+y=0$ et $x-y=0 \implies x=0, y=0$. Donc $\ker(f) = {(0,0)}$, $f$ est injective.
Exemple 2 : $\dim(\text{Im}(f)) = \dim(\mathbb{R}^2) - \dim(\ker(f)) = 2 - 0 = 2$. $f$ est surjective, donc bijective.

Erreurs fréquentes

Oublier que $f(0_E) = 0_F$ est une condition nécessaire.
Confondre $\ker(f)$ (sous-espace de $E$) et $\text{Im}(f)$ (sous-espace de $F$).
Appliquer le théorème du rang sans préciser que $\dim(E)$ est finie.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Applications linéaires

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Soit $f$ une application linéaire de $E$ vers $F$ avec $\dim(E)=3$ et $\dim(F)=5$ . Si $\dim(\ker(f))=1$ , alors $\text{rg}(f)$ est :

Soit $f$ une application linéaire de $E$ vers $F$ avec $\dim(E)=3$ et $\dim(F)=5$. Si $\dim(\ker(f))=1$, alors $\text{rg}(f)$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que toute application linéaire est une matrice ?

Non. Une application linéaire est une transformation géométrique ou algébrique. Une matrice est simplement une représentation numérique de cette application dans des bases données.

💡 À retenir : L'application est l'objet, la matrice est son "écriture" dans un système de coordonnées.

Kifach n7seb la dimension dyal l'image ?

Trouve une base de $E$ .
Calcule les images des vecteurs de cette base.
La famille obtenue engendre $\text{Im}(f)$ .
Utilise la méthode de Gauss pour extraire une base et compter le nombre de vecteurs.

💡 À retenir : $\dim(\text{Im}(f))$ est le nombre de vecteurs linéairement indépendants dans la famille image.

Trouve une base de $E$.
Calcule les images des vecteurs de cette base.
La famille obtenue engendre $\text{Im}(f)$.
Utilise la méthode de Gauss pour extraire une base et compter le nombre de vecteurs.

💡 À retenir : $\dim(\text{Im}(f))$ est le nombre de vecteurs linéairement indépendants dans la famille image.

Est-ce que f(x) = x^2 est linéaire ?

Non. $f(\lambda x) = (\lambda x)^2 = \lambda^2 x^2 \neq \lambda f(x)$ (sauf si $\lambda = 1$ ou $x=0$ ).

💡 À retenir : La linéarité impose une puissance de 1 pour les variables.

Non. $f(\lambda x) = (\lambda x)^2 = \lambda^2 x^2 \neq \lambda f(x)$ (sauf si $\lambda = 1$ ou $x=0$).

💡 À retenir : La linéarité impose une puissance de 1 pour les variables.

Chno hiya l'relation bin l'noyau o l'injectivité ?

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul : $\ker(f) = \{0_E\}$ .

💡 À retenir : Si tu trouves un vecteur non nul dans le noyau, l'application n'est pas injective.

Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul : $\ker(f) = {0_E}$.

💡 À retenir : Si tu trouves un vecteur non nul dans le noyau, l'application n'est pas injective.

Comment montrer qu'une application est un isomorphisme ?

Montrer qu'elle est linéaire.
Montrer qu'elle est bijective (soit par $\ker(f)=\{0\}$ et $\dim E = \dim F$ , soit en trouvant l'application réciproque).

💡 À retenir : Isomorphisme = Linéaire + Bijectif.

Montrer qu'elle est linéaire.
Montrer qu'elle est bijective (soit par $\ker(f)={0}$ et $\dim E = \dim F$, soit en trouvant l'application réciproque).

💡 À retenir : Isomorphisme = Linéaire + Bijectif.

Kifach n3ref wach l'application surjective ?

Il faut vérifier si $\text{Im}(f) = F$ . En pratique, on regarde si la dimension de l'image est égale à la dimension de l'espace d'arrivée.

💡 À retenir : Si $\dim(\text{Im}(f)) = \dim(F)$ , alors $f$ est surjective.

Il faut vérifier si $\text{Im}(f) = F$. En pratique, on regarde si la dimension de l'image est égale à la dimension de l'espace d'arrivée.

💡 À retenir : Si $\dim(\text{Im}(f)) = \dim(F)$, alors $f$ est surjective.

Est-ce que ker(f) peut être vide ?

Non, jamais. Le vecteur nul $0_E$ appartient toujours au noyau car $f(0_E) = 0_F$ .

💡 À retenir : Le noyau contient au moins le vecteur nul.

Non, jamais. Le vecteur nul $0_E$ appartient toujours au noyau car $f(0_E) = 0_F$.

💡 À retenir : Le noyau contient au moins le vecteur nul.

Si f est un endomorphisme, est-ce que ker(f) = text{Im}(f) ?

Pas nécessairement. C'est un cas particulier. Par exemple, si $f$ est la projection, ce n'est pas vrai en général.

💡 À retenir : L'égalité $\ker(f) = \text{Im}(f)$ n'est pas une propriété générale.

Pas nécessairement. C'est un cas particulier. Par exemple, si $f$ est la projection, ce n'est pas vrai en général.

💡 À retenir : L'égalité $\ker(f) = \text{Im}(f)$ n'est pas une propriété générale.

Est-ce que le rang peut être supérieur à la dimension de l'espace de départ ?

Non. D'après le théorème du rang, $\text{rg}(f) = \dim(E) - \dim(\ker(f))$ , donc $\text{rg}(f) \leq \dim(E)$ .

💡 À retenir : Le rang est toujours inférieur ou égal à $\min(\dim E, \dim F)$ .

Non. D'après le théorème du rang, $\text{rg}(f) = \dim(E) - \dim(\ker(f))$, donc $\text{rg}(f) \leq \dim(E)$.

💡 À retenir : Le rang est toujours inférieur ou égal à $\min(\dim E, \dim F)$.

Est-ce que la composée de deux applications linéaires est linéaire ?

Oui. Si $f$ et $g$ sont linéaires, alors $g \circ f$ est linéaire.

💡 À retenir : La linéarité est conservée par composition.

Oui. Si $f$ et $g$ sont linéaires, alors $g \circ f$ est linéaire.

💡 À retenir : La linéarité est conservée par composition.

Peut-on utiliser le théorème du rang si l'espace est de dimension infinie ?

Non, le théorème du rang est spécifique aux espaces vectoriels de dimension finie.

💡 À retenir : Vérifie toujours la dimension finie avant d'appliquer le théorème.

Est-ce que l'image d'une famille libre est toujours libre ?

Non. L'image d'une famille libre peut devenir liée si l'application n'est pas injective.

💡 À retenir : L'injectivité est nécessaire pour conserver la liberté d'une famille.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y, z) = (x+y, y+z)$ .

Montrer que $f$ est une application linéaire.
Déterminer $\ker(f)$ et sa dimension.
En déduire le rang de $f$ .

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y, z) = (x+y, y+z)$.

Montrer que $f$ est une application linéaire.
Déterminer $\ker(f)$ et sa dimension.
En déduire le rang de $f$.

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Exercice 2

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y) = (2x+y, x-y)$ .

Montrer que $f$ est un isomorphisme.
Déterminer $f^{-1}(x, y)$ .

Exercice 2

Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ définie par $f(x, y) = (2x+y, x-y)$.

Montrer que $f$ est un isomorphisme.
Déterminer $f^{-1}(x, y)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x, y, z) = (x+y, x+y, 0)$ .

Déterminer $\text{Im}(f)$ .
Donner une base de $\text{Im}(f)$ et sa dimension.

Exercice 3

Soit $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par $f(x, y, z) = (x+y, x+y, 0)$.

Déterminer $\text{Im}(f)$.
Donner une base de $\text{Im}(f)$ et sa dimension.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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