Exemple 1 : $\sum \frac{x^n}{n!}$. On a $a_n = \frac{1}{n!}$. $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \to 0$. Donc $R = +\infty$.
Exemple 2 : $\sum x^n$. On a $a_n = 1$. $R=1$. Aux bornes $x=1$ et $x=-1$, la série diverge (terme général ne tend pas vers 0).
Erreurs fréquentes
Oublier d'étudier la convergence aux bornes $R$ et $-R$.
Confondre le rayon de convergence d'une série $\sum a_n x^n$ avec celle de $\sum a_n x^{2n}$.
Appliquer d'Alembert alors que $a_n$ contient des termes nuls (utiliser Cauchy dans ce cas).
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.
Le rayon de convergence de $\sum \frac{x^n}{2^n}$ est :
❓ Questions fréquentes
Chno huwa l-farq bin s-selsila l-3adiya w s-selsila s-sahiha?
Une série numérique est une somme de nombres constants. Une série entière est une somme de fonctions de la forme $a_n x^n$ où $x$ est une variable. La série entière permet de définir des fonctions (comme $e^x$ ou $\sin x$).
💡 À retenir : La série entière est une "famille" de séries numériques indexée par $x$.
Si j'ai une série avec x^{2n}, comment je trouve R ?
Pose $X = x^2$. La série devient $\sum a_n X^n$. Calcule le rayon $R_X$ pour cette série en $X$. Ensuite, résous l'inéquation $|x^2| < R_X$, ce qui donne $|x| < \sqrt{R_X}$. Le rayon de la série initiale est donc $R = \sqrt{R_X}$.
💡 À retenir : Ne pas oublier la racine carrée pour revenir à $x$.
Kifach n7seb R ila kan 3ndi an fih l-factorielle?
Applique la règle de d'Alembert : calcule la limite $L = \lim_{n \to +\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$.
Si $L$ est un réel non nul, $R = 1/L$.
Si $L=0$, alors $R = +\infty$.
Si $L=+\infty$, alors $R = 0$.
💡 À retenir : Pour les factorielles, d'Alembert simplifie presque toujours le calcul grâce à $(n+1)! = (n+1)n!$.
Est-ce que la série converge toujours aux bornes x=R et x=-R ?
Non, pas forcément. Le rayon de convergence ne donne aucune information sur les bornes. Il faut étudier la nature de la série numérique obtenue en remplaçant $x$ par $R$ et par $-R$ séparément (série de Riemann, série alternée, etc.).
💡 À retenir : La convergence aux bornes doit être étudiée au cas par cas après avoir trouvé $R$.
Chno hiya l-3alaqa bin l-chtiqaq w s-selsila s-sahiha?
Si une série entière $\sum a_n x^n$ a un rayon de convergence $R > 0$, alors sa fonction somme $S(x)$ est dérivable sur $]-R, R[$ et sa dérivée est donnée par $S'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}$.
💡 À retenir : On peut dériver terme à terme à l'intérieur du disque de convergence sans changer le rayon $R$.
Comment déterminer le développement en série entière de frac{1}{1+x^2} ?
On utilise la série géométrique $\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{+\infty} u^n$ pour $|u| < 1$.
On pose $u = -x^2$.
On obtient $\frac{1}{1-(-x^2)} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n}$.
💡 À retenir : Le rayon de convergence est celui de la série géométrique initiale, ici $R=1$.
Une série entière converge sur $\mathbb{R}$ tout entier si et seulement si son rayon de convergence $R$ est égal à $+\infty$. Cela arrive souvent quand le terme général contient $n!$ au dénominateur (ex: $e^x, \sin x, \cos x$).
💡 À retenir : Si $\lim_{n \to +\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = 0$, alors $R = +\infty$.
Peut-on multiplier deux séries entières ?
Oui, le produit de Cauchy de deux séries entières $\sum a_n x^n$ et $\sum b_n x^n$ est une série entière $\sum c_n x^n$ où $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$. Le rayon de convergence du produit est au moins égal au minimum des deux rayons.
💡 À retenir : Le produit de Cauchy est utile pour manipuler des fonctions complexes.
Quelle est la différence entre convergence simple et absolue pour les séries entières ?
Pour les séries entières, à l'intérieur du disque de convergence ($|x| < R$), la série converge absolument. La convergence simple est donc équivalente à la convergence absolue dans cet intervalle ouvert.
💡 À retenir : La distinction n'est importante qu'aux bornes $x=R$ ou $x=-R$.
Est-ce que la fonction somme est toujours continue ?
Oui, toute fonction définie par une série entière est continue sur son intervalle ouvert de convergence $]-R, R[$.
💡 À retenir : La continuité est une propriété fondamentale des séries entières à l'intérieur de leur disque de convergence.
Comment intégrer une série entière ?
Si $S(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ sur $]-R, R[$, alors pour tout $x \in ]-R, R[$, $\int_0^x S(t) dt = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n \frac{x^{n+1}}{n+1}$.
💡 À retenir : L'intégration terme à terme préserve le rayon de convergence $R$.
Est-ce que le rayon de convergence peut être nul ?
Oui, si la série ne converge qu'en $x=0$. Par exemple, pour $\sum n! x^n$, le rapport $\frac{(n+1)!}{n!} = n+1$ tend vers $+\infty$, donc $R=0$.
💡 À retenir : Une série entière avec $R=0$ ne définit une fonction qu'en un seul point.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{3^n} x^n$. Étudier la convergence aux bornes.
Une série entière est une série de fonctions de la forme ∑anxn où an∈R.
Rayon de convergence (R) : Il existe un unique R∈[0,+∞] tel que la série converge absolument pour ∣x∣<R et diverge pour ∣x∣>R.
Calcul de R : On utilise souvent la règle de d'Alembert : si limn→+∞∣anan+1∣=L, alors R=L1.
Propriétés : La fonction somme S(x)=∑n=0+∞anxn est continue et dérivable sur ]−R,R[.
Méthodes à maîtriser
Déterminer R par d'Alembert ou Cauchy.
Étudier la convergence aux bornes x=R et x=−R.
Utiliser les développements usuels : ex=∑n!xn, 1−x1=∑xn, ln(1+x)=∑(−1)n−1nxn.
Exemples corrigés
Exemple 1 : ∑n!xn. On a an=n!1. anan+1=(n+1)!n!=n+11→0. Donc R=+∞.
Exemple 2 : ∑xn. On a an=1. R=1. Aux bornes x=1 et x=−1, la série diverge (terme général ne tend pas vers 0).
Erreurs fréquentes
Oublier d'étudier la convergence aux bornes R et −R.
Confondre le rayon de convergence d'une série ∑anxn avec celle de ∑anx2n.
Appliquer d'Alembert alors que an contient des termes nuls (utiliser Cauchy dans ce cas).
Le rayon de convergence de ∑2nxn est :
+∞
Une série numérique est une somme de nombres constants. Une série entière est une somme de fonctions de la forme anxn où x est une variable. La série entière permet de définir des fonctions (comme ex ou sinx).
💡 À retenir : La série entière est une "famille" de séries numériques indexée par x.
Pose X=x2. La série devient ∑anXn. Calcule le rayon RX pour cette série en X. Ensuite, résous l'inéquation ∣x2∣<RX, ce qui donne ∣x∣<RX. Le rayon de la série initiale est donc R=RX.
💡 À retenir : Ne pas oublier la racine carrée pour revenir à x.
Applique la règle de d'Alembert : calcule la limite L=limn→+∞∣anan+1∣.
Si L est un réel non nul, R=1/L.
Si L=0, alors R=+∞.
Si L=+∞, alors R=0.
💡 À retenir : Pour les factorielles, d'Alembert simplifie presque toujours le calcul grâce à (n+1)!=(n+1)n!.
Non, pas forcément. Le rayon de convergence ne donne aucune information sur les bornes. Il faut étudier la nature de la série numérique obtenue en remplaçant x par R et par −R séparément (série de Riemann, série alternée, etc.).
💡 À retenir : La convergence aux bornes doit être étudiée au cas par cas après avoir trouvé R.
Si une série entière ∑anxn a un rayon de convergence R>0, alors sa fonction somme S(x) est dérivable sur ]−R,R[ et sa dérivée est donnée par S′(x)=∑n=1+∞nanxn−1.
💡 À retenir : On peut dériver terme à terme à l'intérieur du disque de convergence sans changer le rayon R.
On utilise la série géométrique 1−u1=∑n=0+∞un pour ∣u∣<1.
On pose u=−x2.
On obtient 1−(−x2)1=∑n=0+∞(−x2)n=∑n=0+∞(−1)nx2n.
💡 À retenir : Le rayon de convergence est celui de la série géométrique initiale, ici R=1.
Une série entière converge sur R tout entier si et seulement si son rayon de convergence R est égal à +∞. Cela arrive souvent quand le terme général contient n! au dénominateur (ex: ex,sinx,cosx).
💡 À retenir : Si limn→+∞∣anan+1∣=0, alors R=+∞.
Oui, le produit de Cauchy de deux séries entières ∑anxn et ∑bnxn est une série entière ∑cnxn où cn=∑k=0nakbn−k. Le rayon de convergence du produit est au moins égal au minimum des deux rayons.
💡 À retenir : Le produit de Cauchy est utile pour manipuler des fonctions complexes.
Pour les séries entières, à l'intérieur du disque de convergence (∣x∣<R), la série converge absolument. La convergence simple est donc équivalente à la convergence absolue dans cet intervalle ouvert.
💡 À retenir : La distinction n'est importante qu'aux bornes x=R ou x=−R.
Oui, toute fonction définie par une série entière est continue sur son intervalle ouvert de convergence ]−R,R[.
💡 À retenir : La continuité est une propriété fondamentale des séries entières à l'intérieur de leur disque de convergence.
Si S(x)=∑n=0+∞anxn sur ]−R,R[, alors pour tout x∈]−R,R[, ∫0xS(t)dt=∑n=0+∞ann+1xn+1.
💡 À retenir : L'intégration terme à terme préserve le rayon de convergence R.
Oui, si la série ne converge qu'en x=0. Par exemple, pour ∑n!xn, le rapport n!(n+1)!=n+1 tend vers +∞, donc R=0.
💡 À retenir : Une série entière avec R=0 ne définit une fonction qu'en un seul point.
Exercice 1
Déterminer le rayon de convergence R de la série entière ∑n=1+∞3nn2xn. Étudier la convergence aux bornes.
Exercice 2
Soit f(x)=∑n=0+∞n+1xn.
Déterminer le rayon de convergence R.
Calculer f(x) pour x∈]−R,R[.
Exercice 3
Déterminer le développement en série entière de f(x)=(1−x)(2−x)1.