Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — ECT

Matrices

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes.

Opérations : Addition, multiplication par un scalaire, et produit matriciel $A \times B$ (possible si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ ).
Matrice identité : $I_n$ est la matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et 0 ailleurs.
Inversibilité : $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est inversible s'il existe $B$ telle que $AB = BA = I_n$ . On note $B = A^{-1}$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul du produit : Toujours faire "ligne par colonne".
Inversion par Gauss-Jordan : Augmenter la matrice $A$ avec $I_n$ et transformer $A$ en $I_n$ par opérations élémentaires sur les lignes.
Puissance d'une matrice : Utiliser la formule du binôme (si les matrices commutent) ou la diagonalisation (chapitre suivant).

Exemples corrigés

Produit : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .
Inversion : Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , on trouve $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Erreurs fréquentes

Penser que $AB = BA$ (le produit n'est pas commutatif).
Oublier que $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ et non $A^{-1}B^{-1}$ .
Confondre la transposée avec l'inverse.

L'essentiel du cours

Une matrice $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes.

Opérations : Addition, multiplication par un scalaire, et produit matriciel $A \times B$ (possible si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$).
Matrice identité : $I_n$ est la matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et 0 ailleurs.
Inversibilité : $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est inversible s'il existe $B$ telle que $AB = BA = I_n$. On note $B = A^{-1}$.

Méthodes à maîtriser

Calcul du produit : Toujours faire "ligne par colonne".
Inversion par Gauss-Jordan : Augmenter la matrice $A$ avec $I_n$ et transformer $A$ en $I_n$ par opérations élémentaires sur les lignes.
Puissance d'une matrice : Utiliser la formule du binôme (si les matrices commutent) ou la diagonalisation (chapitre suivant).

Exemples corrigés

Produit : Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
Inversion : Pour $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$, on trouve $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Erreurs fréquentes

Penser que $AB = BA$ (le produit n'est pas commutatif).
Oublier que $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ et non $A^{-1}B^{-1}$.
Confondre la transposée avec l'inverse.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Matrices

1/4

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ . Si $A^2 = I$ , alors :

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Si $A^2 = I$, alors :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que le produit de deux matrices inversibles est toujours inversible ?

Oui. Si $A$ et $B$ sont inversibles, alors $AB$ est inversible et son inverse est $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ .

💡 À retenir : L'inverse d'un produit est le produit des inverses dans l'ordre inversé.

Oui. Si $A$ et $B$ sont inversibles, alors $AB$ est inversible et son inverse est $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.

💡 À retenir : L'inverse d'un produit est le produit des inverses dans l'ordre inversé.

kifach n3ref wach matrice inversible wla la?

Calcule son déterminant $\det(A)$ .
Si $\det(A) \neq 0$ , alors elle est inversible.
Si $\det(A) = 0$ , elle n'est pas inversible.

💡 À retenir : Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

Calcule son déterminant $\det(A)$.
Si $\det(A) \neq 0$, alors elle est inversible.
Si $\det(A) = 0$, elle n'est pas inversible.

💡 À retenir : Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

Est-ce que A^2 = 0 implique A = 0 ?

Non. Par exemple, $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ est non nulle, mais $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

💡 À retenir : Dans les matrices, il existe des diviseurs de zéro.

Non. Par exemple, $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$ est non nulle, mais $A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

💡 À retenir : Dans les matrices, il existe des diviseurs de zéro.

wach l-matrice li 3ndha sifr f l-qotr ma katqbelch l-inversion ?

Non, pas forcément. Par exemple, la matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ a des zéros sur la diagonale mais son déterminant est $-1$ , donc elle est inversible.

💡 À retenir : Seul le déterminant compte, pas la valeur des éléments de la diagonale.

Non, pas forcément. Par exemple, la matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$ a des zéros sur la diagonale mais son déterminant est $-1$, donc elle est inversible.

💡 À retenir : Seul le déterminant compte, pas la valeur des éléments de la diagonale.

Comment calculer A^n pour une matrice quelconque ?

Si $A$ est diagonale, $A^n$ est facile (puissance des éléments).
Sinon, on cherche une relation de récurrence ou on utilise la diagonalisation (si possible).
Parfois, on décompose $A = D + N$ avec $DN=ND$ et $N$ nilpotente.

💡 À retenir : La diagonalisation est l'outil le plus puissant pour les puissances $n$ -ièmes.

Si $A$ est diagonale, $A^n$ est facile (puissance des éléments).
Sinon, on cherche une relation de récurrence ou on utilise la diagonalisation (si possible).
Parfois, on décompose $A = D + N$ avec $DN=ND$ et $N$ nilpotente.

💡 À retenir : La diagonalisation est l'outil le plus puissant pour les puissances $n$-ièmes.

kifach n-7seb l-mou7adid dyal matrice 3x3?

Utilise la règle de Sarrus ou le développement selon une ligne ou une colonne.

Choisis la ligne avec le plus de zéros.
Multiplie chaque élément par son cofacteur.
Additionne le tout.

💡 À retenir : Le développement par rapport à une ligne est plus sûr que Sarrus.

Peut-on diviser par une matrice ?

Non, la division n'existe pas. On multiplie par l'inverse $A^{-1}$ à gauche ou à droite.

💡 À retenir : Attention à l'ordre : $AX = B \implies X = A^{-1}B$ .

Non, la division n'existe pas. On multiplie par l'inverse $A^{-1}$ à gauche ou à droite.

💡 À retenir : Attention à l'ordre : $AX = B \implies X = A^{-1}B$.

Est-ce que (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 est toujours vrai ?

Non, seulement si $AB = BA$ . Sinon, $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ .

💡 À retenir : La commutativité est indispensable pour les identités remarquables.

Non, seulement si $AB = BA$. Sinon, $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$.

💡 À retenir : La commutativité est indispensable pour les identités remarquables.

C'est quoi une matrice nilpotente ?

C'est une matrice $A$ telle qu'il existe un entier $k$ où $A^k = 0$ .

💡 À retenir : Une matrice nilpotente n'est jamais inversible (sauf si $A=0$ ).

C'est une matrice $A$ telle qu'il existe un entier $k$ où $A^k = 0$.

💡 À retenir : Une matrice nilpotente n'est jamais inversible (sauf si $A=0$).

Est-ce que la trace d'un produit est commutative ?

Oui, $\text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA)$ même si $AB \neq BA$ .

💡 À retenir : La trace est un opérateur linéaire invariant par permutation cyclique.

Oui, $\text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA)$ même si $AB \neq BA$.

💡 À retenir : La trace est un opérateur linéaire invariant par permutation cyclique.

Est-ce que A et ^tA ont le même déterminant ?

Oui, $\det(A) = \det(^tA)$ .

💡 À retenir : Les propriétés du déterminant sont identiques pour les lignes et les colonnes.

Oui, $\det(A) = \det(^tA)$.

💡 À retenir : Les propriétés du déterminant sont identiques pour les lignes et les colonnes.

Est-ce que le rang d'une matrice change si on multiplie par une matrice inversible ?

Non, le rang est conservé par multiplication par une matrice inversible.

💡 À retenir : Le rang est une propriété fondamentale liée à l'indépendance linéaire.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Calculer $A^2$ et $A^3$ .
En déduire une conjecture pour $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
Démontrer cette conjecture par récurrence.

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculer $A^2$ et $A^3$.
En déduire une conjecture pour $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Démontrer cette conjecture par récurrence.

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Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$ . Montrer que $A^2 - 4A + 3I = 0$ . En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$ .

Exercice 2

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \ -1 & 2 \end{pmatrix}$. Montrer que $A^2 - 4A + 3I = 0$. En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.

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Exercice 3

Soit $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ . Montrer que si $ad-bc \neq 0$ , alors $M$ est inversible.

Exercice 3

Soit $M = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$. Montrer que si $ad-bc \neq 0$, alors $M$ est inversible.

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