Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — ECT

Algèbre linéaire : Espaces vectoriels

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un espace vectoriel $(E, +, \cdot)$ sur $\mathbb{R}$ est un ensemble muni d'une addition interne et d'une multiplication externe vérifiant 8 axiomes. Un sous-espace vectoriel $F \subset E$ doit vérifier :

$0_E \in F$ .
$\forall (u, v) \in F^2, u+v \in F$ .
$\forall (\lambda, u) \in \mathbb{R} \times F, \lambda u \in F$ . La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteurs dans une base. Théorème de la base incomplète : toute famille libre peut être complétée en une base.

Méthodes à maîtriser

Montrer qu'un ensemble est un SEV : Vérifier que $0 \in F$ et la stabilité par combinaison linéaire : $\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2, \forall (u, v) \in F^2, \alpha u + \beta v \in F$ .
Montrer qu'une famille est une base : Montrer qu'elle est libre et qu'elle a le bon nombre d'éléments (si $\dim E = n$ ).
Déterminer une base d'un SEV : Exprimer le vecteur générique en fonction de paramètres.

Exemples corrigés

Soit $F = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 / x - 2y + z = 0 \}$ . $F$ est un SEV car c'est un plan vectoriel. Base : $x = 2y - z$ . Donc $(x, y, z) = (2y-z, y, z) = y(2, 1, 0) + z(-1, 0, 1)$ . La famille $\{(2, 1, 0), (-1, 0, 1)\}$ est génératrice et libre, donc c'est une base de $F$ . $\dim F = 2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier que le vecteur nul appartient au SEV.
Confondre "famille libre" et "famille génératrice".
Croire qu'un ensemble est un SEV simplement parce qu'il contient le vecteur nul (il faut aussi la stabilité).

L'essentiel du cours

$0_E \in F$.
$\forall (u, v) \in F^2, u+v \in F$.
$\forall (\lambda, u) \in \mathbb{R} \times F, \lambda u \in F$. La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteurs dans une base. Théorème de la base incomplète : toute famille libre peut être complétée en une base.

Méthodes à maîtriser

Montrer qu'un ensemble est un SEV : Vérifier que $0 \in F$ et la stabilité par combinaison linéaire : $\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2, \forall (u, v) \in F^2, \alpha u + \beta v \in F$.
Montrer qu'une famille est une base : Montrer qu'elle est libre et qu'elle a le bon nombre d'éléments (si $\dim E = n$).
Déterminer une base d'un SEV : Exprimer le vecteur générique en fonction de paramètres.

Exemples corrigés

Soit $F = { (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 / x - 2y + z = 0 }$. $F$ est un SEV car c'est un plan vectoriel. Base : $x = 2y - z$. Donc $(x, y, z) = (2y-z, y, z) = y(2, 1, 0) + z(-1, 0, 1)$. La famille ${(2, 1, 0), (-1, 0, 1)}$ est génératrice et libre, donc c'est une base de $F$. $\dim F = 2$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier que le vecteur nul appartient au SEV.
Confondre "famille libre" et "famille génératrice".
Croire qu'un ensemble est un SEV simplement parce qu'il contient le vecteur nul (il faut aussi la stabilité).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Algèbre linéaire : Espaces vectoriels

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Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 3. Toute famille de 4 vecteurs est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach wa7d l'ensemble howa base ?

Vérifier qu'il est libre.
Vérifier qu'il est générateur.
Ou bien, s'il a le bon nombre d'éléments (dimension), il suffit de vérifier l'un des deux.

💡 À retenir : Dans un espace de dimension $n$ , toute famille libre de $n$ vecteurs est une base.

Vérifier qu'il est libre.
Vérifier qu'il est générateur.
Ou bien, s'il a le bon nombre d'éléments (dimension), il suffit de vérifier l'un des deux.

💡 À retenir : Dans un espace de dimension $n$, toute famille libre de $n$ vecteurs est une base.

C'est quoi un espace vectoriel engendré par une famille ?

C'est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles des vecteurs de cette famille.

💡 À retenir : C'est le plus petit SEV contenant ces vecteurs.

Pourquoi on dit que la base est unique pour l'écriture d'un vecteur ?

Parce que si un vecteur avait deux écritures différentes, on pourrait montrer que la famille n'est pas libre, ce qui contredit la définition d'une base.

💡 À retenir : L'unicité des coordonnées est une propriété fondamentale des bases.

Est-ce que le vecteur nul peut faire partie d'une famille libre ?

Non, car $1 \cdot 0_E = 0_E$ , donc on a une combinaison linéaire nulle avec un coefficient non nul ( $1 \neq 0$ ).

💡 À retenir : Toute famille contenant le vecteur nul est liée.

Non, car $1 \cdot 0_E = 0_E$, donc on a une combinaison linéaire nulle avec un coefficient non nul ($1 \neq 0$).

💡 À retenir : Toute famille contenant le vecteur nul est liée.

C'est quoi la différence entre une famille libre et une base ?

Une famille libre signifie qu'aucun vecteur ne peut être écrit comme combinaison linéaire des autres.
Une base est une famille qui est à la fois libre ET génératrice.
Une famille libre ne suffit pas à engendrer tout l'espace, alors qu'une base permet d'écrire n'importe quel vecteur de l'espace de manière unique.

💡 À retenir : Une base est la plus petite famille génératrice et la plus grande famille libre.

Kifach n7seb la dimension dyal chi sous-espace vectoriel ?

Katl9a chi base dyal had l'espace.
Kat7seb ch7al men vecteur kayn f had la base.
Had l'adad howa la dimension.

💡 À retenir : La dimension est le nombre de vecteurs dans n'importe quelle base de l'espace.

Chno hiya la condition bach n9olo 3la wa7d l'ensemble bli howa SEV ?

Khass ykon $0_E \in F$ .
Khass ykon $F$ stable par combinaison linéaire : $\forall u, v \in F$ et $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$ , $\alpha u + \beta v \in F$ .

💡 À retenir : Si l'ensemble ne contient pas le vecteur nul, ce n'est jamais un SEV.

Khass ykon $0_E \in F$.
Khass ykon $F$ stable par combinaison linéaire : $\forall u, v \in F$ et $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$, $\alpha u + \beta v \in F$.

💡 À retenir : Si l'ensemble ne contient pas le vecteur nul, ce n'est jamais un SEV.

Est-ce qu'un sous-espace vectoriel peut avoir une dimension plus grande que l'espace total ?

Non, par définition, si $F \subset E$ , alors $\dim(F) \leq \dim(E)$ .

💡 À retenir : Si $\dim(F) = \dim(E)$ , alors $F = E$ .

Non, par définition, si $F \subset E$, alors $\dim(F) \leq \dim(E)$.

💡 À retenir : Si $\dim(F) = \dim(E)$, alors $F = E$.

Kifach n3ref wach wa7d la famille hiya libre ?

Kat7t l'équation $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n = 0$ .
Kat7l systeme bach t9lb 3la $\lambda_i$ .
Ila l9iti ghir $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$ , rah libre.

💡 À retenir : Si tu trouves une solution non nulle, la famille est liée.

Kat7t l'équation $\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n = 0$.
Kat7l systeme bach t9lb 3la $\lambda_i$.
Ila l9iti ghir $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$, rah libre.

💡 À retenir : Si tu trouves une solution non nulle, la famille est liée.

C'est quoi un espace vectoriel de dimension finie ?

C'est un espace qui admet une base comportant un nombre fini de vecteurs.

💡 À retenir : En filière ECT, on travaille presque exclusivement sur des espaces de dimension finie.

Est-ce que l'union de deux SEV est toujours un SEV ?

Non, en général, l'union n'est pas un SEV. Par exemple, deux droites vectorielles distinctes dans $\mathbb{R}^2$ dont l'union n'est pas stable par addition.

💡 À retenir : Seule l'intersection de deux SEV est toujours un SEV.

Non, en général, l'union n'est pas un SEV. Par exemple, deux droites vectorielles distinctes dans $\mathbb{R}^2$ dont l'union n'est pas stable par addition.

💡 À retenir : Seule l'intersection de deux SEV est toujours un SEV.

Chno hiya la relation bin la dimension dyal F+G et F cap G ?

C'est la formule de Grassmann : $\dim(F+G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)$ .

💡 À retenir : Cette formule est indispensable pour les calculs de dimensions.

C'est la formule de Grassmann : $\dim(F+G) = \dim(F) + \dim(G) - \dim(F \cap G)$.

💡 À retenir : Cette formule est indispensable pour les calculs de dimensions.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $E = \mathbb{R}^3$ . On considère les vecteurs $u = (1, 1, 0)$ , $v = (0, 1, 1)$ et $w = (1, 0, 1)$ .

Montrer que la famille $\mathcal{B} = (u, v, w)$ est une base de $\mathbb{R}^3$ .
Soit $X = (a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ . Déterminer les coordonnées de $X$ dans la base $\mathcal{B}$ .

Exercice 1

Soit $E = \mathbb{R}^3$. On considère les vecteurs $u = (1, 1, 0)$, $v = (0, 1, 1)$ et $w = (1, 0, 1)$.

Montrer que la famille $\mathcal{B} = (u, v, w)$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
Soit $X = (a, b, c) \in \mathbb{R}^3$. Déterminer les coordonnées de $X$ dans la base $\mathcal{B}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $F = \{ (x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 / x - y = 0 \text{ et } z + 2t = 0 \}$ .