Mathématiques · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — ECT

Couples et suites de variables aléatoires discrètes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes définies sur un espace probabilisé $(\Omega, P)$ .

Loi conjointe : définie par $P(X=x_i, Y=y_j)$ pour tout $(x_i, y_j) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$ .
Lois marginales : $P(X=x_i) = \sum_{j} P(X=x_i, Y=y_j)$ et $P(Y=y_j) = \sum_{i} P(X=x_i, Y=y_j)$ .
Indépendance : $X$ et $Y$ sont indépendantes si $\forall (x,y), P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$ .
Covariance : $Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ .
Coefficient de corrélation : $\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer une loi conjointe : Dresser un tableau à double entrée.
Vérifier l'indépendance : Comparer $P(X=x, Y=y)$ au produit $P(X=x)P(Y=y)$ .
Calculer $E(XY)$ : Utiliser la formule $\sum_{i} \sum_{j} x_i y_j P(X=x_i, Y=y_j)$ .

Exemples corrigés

Soit $(X,Y)$ tel que $P(X=0, Y=1)=0.2$ , $P(X=1, Y=1)=0.3$ , $P(X=0, Y=0)=0.5$ . $E(X) = 0(0.2+0.5) + 1(0.3) = 0.3$ . $E(Y) = 0(0.5) + 1(0.2+0.3) = 0.5$ . $E(XY) = (0\times 1 \times 0.2) + (1\times 1 \times 0.3) + (0\times 0 \times 0.5) = 0.3$ . $Cov(X,Y) = 0.3 - (0.3 \times 0.5) = 0.15$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $Cov(X,X) = V(X)$ .
Confondre indépendance et corrélation nulle (la corrélation nulle n'implique pas l'indépendance).
Ne pas vérifier si la somme des probabilités du tableau vaut 1.

L'essentiel du cours

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes définies sur un espace probabilisé $(\Omega, P)$.

Loi conjointe : définie par $P(X=x_i, Y=y_j)$ pour tout $(x_i, y_j) \in X(\Omega) \times Y(\Omega)$.
Lois marginales : $P(X=x_i) = \sum_{j} P(X=x_i, Y=y_j)$ et $P(Y=y_j) = \sum_{i} P(X=x_i, Y=y_j)$.
Indépendance : $X$ et $Y$ sont indépendantes si $\forall (x,y), P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$.
Covariance : $Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$.
Coefficient de corrélation : $\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$.

Méthodes à maîtriser

Calculer une loi conjointe : Dresser un tableau à double entrée.
Vérifier l'indépendance : Comparer $P(X=x, Y=y)$ au produit $P(X=x)P(Y=y)$.
Calculer $E(XY)$ : Utiliser la formule $\sum_{i} \sum_{j} x_i y_j P(X=x_i, Y=y_j)$.

Exemples corrigés

Soit $(X,Y)$ tel que $P(X=0, Y=1)=0.2$, $P(X=1, Y=1)=0.3$, $P(X=0, Y=0)=0.5$. $E(X) = 0(0.2+0.5) + 1(0.3) = 0.3$. $E(Y) = 0(0.5) + 1(0.2+0.3) = 0.5$. $E(XY) = (0\times 1 \times 0.2) + (1\times 1 \times 0.3) + (0\times 0 \times 0.5) = 0.3$. $Cov(X,Y) = 0.3 - (0.3 \times 0.5) = 0.15$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $Cov(X,X) = V(X)$.
Confondre indépendance et corrélation nulle (la corrélation nulle n'implique pas l'indépendance).
Ne pas vérifier si la somme des probabilités du tableau vaut 1.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Couples et suites de variables aléatoires discrètes

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Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $Cov(X,Y)$ est égal à :

❓ Questions fréquentes

Peut-on avoir V(X+Y) = V(X) + V(Y) sans indépendance ?

Oui, si $Cov(X,Y) = 0$ . On dit que les variables sont décorrélées sans être nécessairement indépendantes.

💡 À retenir : L'indépendance est une condition suffisante mais pas nécessaire pour l'additivité de la variance.

Oui, si $Cov(X,Y) = 0$. On dit que les variables sont décorrélées sans être nécessairement indépendantes.

💡 À retenir : L'indépendance est une condition suffisante mais pas nécessaire pour l'additivité de la variance.

Qu'est-ce qu'une variable aléatoire discrète ?

C'est une variable dont l'ensemble des valeurs prises est fini ou dénombrable.

💡 À retenir : En ECT, on travaille principalement sur des ensembles finis.

Comment trouver V(X) à partir de E(X) et E(X^2) ?

Utilise la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ .

💡 À retenir : C'est la méthode la plus rapide pour calculer la variance.

Utilise la formule de König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.

💡 À retenir : C'est la méthode la plus rapide pour calculer la variance.

Kifach n3ref wach les variables independentin?

Calcule la loi conjointe $P(X=x_i, Y=y_j)$ .
Calcule les lois marginales $P(X=x_i)$ et $P(Y=y_j)$ .
Vérifie si pour tous les couples $(x_i, y_j)$ , on a $P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) \times P(Y=y_j)$ .

💡 À retenir : Il suffit qu'un seul couple ne vérifie pas cette égalité pour que les variables soient dépendantes.

Calcule la loi conjointe $P(X=x_i, Y=y_j)$.
Calcule les lois marginales $P(X=x_i)$ et $P(Y=y_j)$.
Vérifie si pour tous les couples $(x_i, y_j)$, on a $P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) \times P(Y=y_j)$.

💡 À retenir : Il suffit qu'un seul couple ne vérifie pas cette égalité pour que les variables soient dépendantes.

Est-ce que Cov(X,Y) = 0 signifie que X et Y sont indépendantes ?

Non, pas forcément. $Cov(X,Y)=0$ signifie que les variables sont "non corrélées". L'indépendance est une condition beaucoup plus forte qui implique $Cov(X,Y)=0$ , mais la réciproque est fausse en général.

💡 À retenir : Indépendance $\implies$ Non corrélées, mais Non corrélées $\nRightarrow$ Indépendance.

Chno hiya l'formule dyal V(X+Y)?

La formule générale est : $V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y)$ . Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $Cov(X,Y) = 0$ , donc $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ .

💡 À retenir : N'oublie jamais le terme de covariance sauf si l'indépendance est précisée.

La formule générale est : $V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y)$. Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $Cov(X,Y) = 0$, donc $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$.

💡 À retenir : N'oublie jamais le terme de covariance sauf si l'indépendance est précisée.

Comment calculer E(aX + bY) ?

Par linéarité de l'espérance : $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$ . Cette propriété est toujours vraie, qu'il y ait indépendance ou non.

💡 À retenir : L'espérance est toujours linéaire, contrairement à la variance.

Par linéarité de l'espérance : $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$. Cette propriété est toujours vraie, qu'il y ait indépendance ou non.

💡 À retenir : L'espérance est toujours linéaire, contrairement à la variance.

Kifach n7seb l'coefficient de corrélation?

Calcule $Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ .
Calcule les écarts-types $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ et $\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)}$ .
Applique $\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$ .

💡 À retenir : $\rho$ est toujours compris entre -1 et 1.

Calcule $Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$.
Calcule les écarts-types $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ et $\sigma(Y) = \sqrt{V(Y)}$.
Applique $\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$.

💡 À retenir : $\rho$ est toujours compris entre -1 et 1.

Qu'est-ce qu'une loi marginale ?

C'est la loi de probabilité d'une des variables du couple, obtenue en "sommant" les probabilités de l'autre variable.

💡 À retenir : Pour avoir la loi de $X$ , on somme les colonnes du tableau de la loi conjointe.

C'est la loi de probabilité d'une des variables du couple, obtenue en "sommant" les probabilités de l'autre variable.

💡 À retenir : Pour avoir la loi de $X$, on somme les colonnes du tableau de la loi conjointe.

Est-ce que E(XY) = E(X)E(Y) est toujours vrai ?

Non, c'est vrai uniquement si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

💡 À retenir : L'espérance du produit est le produit des espérances seulement en cas d'indépendance.

Non, c'est vrai uniquement si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

💡 À retenir : L'espérance du produit est le produit des espérances seulement en cas d'indépendance.

Chno hiya l'utilité dyal l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

Elle permet de majorer la probabilité qu'une variable aléatoire s'éloigne de son espérance, même si on ne connaît pas sa loi, juste avec son espérance et sa variance.

💡 À retenir : $P(|X - E(X)| \geq \epsilon) \leq \frac{V(X)}{\epsilon^2}$ .

Elle permet de majorer la probabilité qu'une variable aléatoire s'éloigne de son espérance, même si on ne connaît pas sa loi, juste avec son espérance et sa variance.

💡 À retenir : $P(|X - E(X)| \geq \epsilon) \leq \frac{V(X)}{\epsilon^2}$.

Comment construire un tableau de loi conjointe ?

Identifie toutes les valeurs possibles de $X$ et $Y$ .
Pour chaque couple $(x_i, y_j)$ , calcule la probabilité $P(X=x_i \cap Y=y_j)$ .
Dispose ces valeurs dans un tableau où les lignes sont les valeurs de $X$ et les colonnes celles de $Y$ .

💡 À retenir : La somme de toutes les cases du tableau doit être égale à 1.

Identifie toutes les valeurs possibles de $X$ et $Y$.
Pour chaque couple $(x_i, y_j)$, calcule la probabilité $P(X=x_i \cap Y=y_j)$.
Dispose ces valeurs dans un tableau où les lignes sont les valeurs de $X$ et les colonnes celles de $Y$.

💡 À retenir : La somme de toutes les cases du tableau doit être égale à 1.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires dont la loi conjointe est donnée par : $P(X=0, Y=0) = 0.1$ , $P(X=0, Y=1) = 0.2$ , $P(X=1, Y=0) = 0.3$ , $P(X=1, Y=1) = 0.4$ .

Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$ .
Calculer $E(X)$ , $E(Y)$ et $Cov(X,Y)$ .
Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

Exercice 1

Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires dont la loi conjointe est donnée par : $P(X=0, Y=0) = 0.1$, $P(X=0, Y=1) = 0.2$, $P(X=1, Y=0) = 0.3$, $P(X=1, Y=1) = 0.4$.

Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$.
Calculer $E(X)$, $E(Y)$ et $Cov(X,Y)$.
Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?

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Exercice 2

On lance deux dés équilibrés. Soit $X$ le résultat du premier dé et $Y$ le résultat du second. Soit $S = X+Y$ et $D = X-Y$ . Calculer $Cov(S,D)$ .

Exercice 2

On lance deux dés équilibrés. Soit $X$ le résultat du premier dé et $Y$ le résultat du second. Soit $S = X+Y$ et $D = X-Y$. Calculer $Cov(S,D)$.

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Exercice 3

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p=0.5$ . Soit $Z = X+Y$ . Déterminer la loi de $Z$ .

Exercice 3

Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p=0.5$. Soit $Z = X+Y$. Déterminer la loi de $Z$.

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