Oscillations mécaniques (Pendule élastique et pendule simple)

1. Le pendule élastique dépend de la masse $m$ et de la raideur $k$ du ressort ($T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$).
2. Le pendule simple dépend de la longueur $l$ du fil et de la pesanteur $g$ ($T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}$), la masse n'intervient pas.

💡 À retenir : Le pendule élastique est régi par une force de rappel élastique, le pendule simple par la composante tangentielle du poids.

L'équation différentielle ne donne pas l'amplitude. Il te faut obligatoirement les conditions initiales à $t=0$ :

1. La position initiale $x(0) = X_{max} \cos(\varphi)$.
2. La vitesse initiale $v(0) = -X_{max} \omega_0 \sin(\varphi)$.

💡 À retenir : L'amplitude est une constante déterminée uniquement par l'énergie donnée au système au départ.

Non. Dans la formule $T_0 = 2\pi\sqrt{l/g}$, la masse $m$ n'apparaît pas. Que la bille soit lourde ou légère, la période reste la même si la longueur est identique.

💡 À retenir : La période d'un pendule simple est indépendante de la masse du corps suspendu.

Non, l'approximation $\sin\theta \approx \theta$ n'est valable que pour des angles faibles (généralement $\theta < 15^\circ$ ou $0.26$ rad). Si l'angle est grand, l'équation devient non linéaire et le mouvement n'est plus un oscillateur harmonique.

💡 À retenir : L'isochronisme des petites oscillations n'est vrai que pour des angles faibles.

Parce que c'est la méthode fondamentale pour relier les forces appliquées au système (ressort, poids, tension) à son accélération $a = \ddot{x}$.

💡 À retenir : $\sum \vec{F} = m\vec{a}$ est le point de départ de toute étude dynamique.

1. Calcule $\omega_0 = 2\pi/T_0$.
2. Utilise $x(0) = X_{max} \cos(\varphi)$ et $v(0) = -X_{max} \omega_0 \sin(\varphi)$.
3. Fais le rapport $v(0)/x(0)$ pour éliminer $X_{max}$ et trouver $\tan(\varphi)$.

💡 À retenir : La phase dépend du choix de l'origine des temps.

Non, il peut être vertical. Dans ce cas, la position d'équilibre est décalée de $\Delta l = mg/k$, mais l'équation différentielle reste la même en posant $x$ comme l'écart par rapport à cette nouvelle position.

💡 À retenir : La gravité ne modifie pas la période propre d'un pendule élastique vertical.

Un oscillateur est harmonique si son équation différentielle est de la forme $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$. Sa solution est alors une fonction sinusoïdale parfaite.

💡 À retenir : Si l'équation contient un terme de frottement, ce n'est plus un oscillateur harmonique (c'est un oscillateur amorti).

L'unité est le Newton par mètre ($N/m$).

💡 À retenir : $k$ mesure la capacité du ressort à résister à la déformation.

Pour un oscillateur harmonique idéal, non. C'est la propriété d'isochronisme des petites oscillations.

💡 À retenir : $T_0$ est une caractéristique propre du système, indépendante de la manière dont on le lance.

Oui, car $g$ change. Sur la Lune, $g$ est plus faible, donc $T_0$ sera plus grande (le pendule oscille plus lentement).

💡 À retenir : $T_0$ est inversement proportionnelle à la racine carrée de $g$.

C'est la durée entre deux passages successifs par la position d'équilibre dans le même sens, ou la distance entre deux crêtes consécutives.

💡 À retenir : La période est la durée d'un cycle complet.