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Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans le vide, une onde électromagnétique est une perturbation couplée d'un champ électrique $\vec{E}$ et d'un champ magnétique $\vec{B}$ .

Équations de propagation : $\Delta \vec{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0$ et $\Delta \vec{B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0$ .
Célérité : $c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ .
Structure : L'onde est plane progressive, transversale ( $\vec{E} \perp \vec{k}$ et $\vec{B} \perp \vec{k}$ ).
Relation de structure : $\vec{B} = \frac{1}{c} (\vec{u} \wedge \vec{E})$ , où $\vec{u}$ est le vecteur unitaire de propagation.

Méthodes à maîtriser

Vérifier si une fonction est solution de l'équation de d'Alembert.
Déterminer la direction de propagation à partir de l'expression de $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz)\vec{u}_x$ .
Calculer la longueur d'onde $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{2\pi c}{\omega}$ .
Utiliser la relation de structure pour trouver $\vec{B}$ à partir de $\vec{E}$ .

Exemples corrigés

Exemple : Soit $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz)\vec{u}_x$ .

Propagation : Sens des $z$ positifs car le signe devant $kz$ est négatif.
Champ magnétique : $\vec{B} = \frac{1}{c} (\vec{u}_z \wedge E_0 \cos(\omega t - kz)\vec{u}_x) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kz)\vec{u}_y$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $\vec{E}, \vec{B}$ et $\vec{u}$ forment un trièdre direct.
Confondre la vitesse de phase $v = \omega/k$ avec la célérité $c$ dans le vide.
Oublier les unités SI (Tesla pour $B$ , Volt/m pour $E$ ).

L'essentiel du cours

Dans le vide, une onde électromagnétique est une perturbation couplée d'un champ électrique $\vec{E}$ et d'un champ magnétique $\vec{B}$.

Équations de propagation : $\Delta \vec{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0$ et $\Delta \vec{B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0$.
Célérité : $c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \approx 3 \times 10^8 , \text{m/s}$.
Structure : L'onde est plane progressive, transversale ($\vec{E} \perp \vec{k}$ et $\vec{B} \perp \vec{k}$).
Relation de structure : $\vec{B} = \frac{1}{c} (\vec{u} \wedge \vec{E})$, où $\vec{u}$ est le vecteur unitaire de propagation.

Méthodes à maîtriser

Vérifier si une fonction est solution de l'équation de d'Alembert.
Déterminer la direction de propagation à partir de l'expression de $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz)\vec{u}_x$.
Calculer la longueur d'onde $\lambda = \frac{c}{f} = \frac{2\pi c}{\omega}$.
Utiliser la relation de structure pour trouver $\vec{B}$ à partir de $\vec{E}$.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz)\vec{u}_x$.

Propagation : Sens des $z$ positifs car le signe devant $kz$ est négatif.
Champ magnétique : $\vec{B} = \frac{1}{c} (\vec{u}_z \wedge E_0 \cos(\omega t - kz)\vec{u}_x) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kz)\vec{u}_y$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\vec{E}, \vec{B}$ et $\vec{u}$ forment un trièdre direct.
Confondre la vitesse de phase $v = \omega/k$ avec la célérité $c$ dans le vide.
Oublier les unités SI (Tesla pour $B$, Volt/m pour $E$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide

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La célérité de la lumière dans le vide est donnée par :

❓ Questions fréquentes

Quelle est la valeur de l'impédance du vide ?

L'impédance du vide, notée $Z_0$ , est définie par le rapport $E/B$ . Elle vaut $Z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \approx 377 \, \Omega$ .

💡 À retenir : $Z_0 \approx 120\pi \, \Omega$ .

L'impédance du vide, notée $Z_0$, est définie par le rapport $E/B$. Elle vaut $Z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \approx 377 , \Omega$.

💡 À retenir : $Z_0 \approx 120\pi , \Omega$.

Est-ce que la fréquence change si l'onde passe du vide à un autre milieu ?

Non, la fréquence $f$ est une caractéristique de la source et ne dépend pas du milieu de propagation. Seule la célérité et la longueur d'onde changent.

💡 À retenir : $f$ est invariante par changement de milieu.

Non, la fréquence $f$ est une caractéristique de la source et ne dépend pas du milieu de propagation. Seule la célérité et la longueur d'onde changent.

💡 À retenir : $f$ est invariante par changement de milieu.

Comment démontrer que l'onde est plane progressive ?

Vérifier que les champs sont de la forme $f(t \mp z/c)$ .
Vérifier que les champs sont uniformes dans le plan $(x, y)$ .
Vérifier la transversalité.

💡 À retenir : La forme $f(t - z/c)$ est la signature d'une onde se propageant selon $+z$ .

Vérifier que les champs sont de la forme $f(t \mp z/c)$.
Vérifier que les champs sont uniformes dans le plan $(x, y)$.
Vérifier la transversalité.

💡 À retenir : La forme $f(t - z/c)$ est la signature d'une onde se propageant selon $+z$.

Quelle est l'unité de epsilon0 ?

D'après la relation $c^2 = 1/(\epsilon_0 \mu_0)$ , on trouve que $\epsilon_0$ s'exprime en Farad par mètre (F/m) ou $A^2 \cdot s^4 \cdot kg^{-1} \cdot m^{-3}$ .

💡 À retenir : $\epsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$ .

D'après la relation $c^2 = 1/(\epsilon_0 \mu_0)$, on trouve que $\epsilon_0$ s'exprime en Farad par mètre (F/m) ou $A^2 \cdot s^4 \cdot kg^{-1} \cdot m^{-3}$.

💡 À retenir : $\epsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} , \text{F/m}$.

Est-ce que l'onde électromagnétique a besoin d'un support matériel ?

Non, contrairement aux ondes mécaniques (comme le son), les ondes électromagnétiques peuvent se propager dans le vide absolu car elles sont constituées de champs oscillants.

💡 À retenir : L'onde électromagnétique est une onde de champ.

Chno hiya l'vitesse dial l'onde f l'vide ?

L'vitesse dial l'onde f l'vide hiya $c \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ . Hiya akbar sor3a momkina f l'kawn.

💡 À retenir : $c$ est une constante universelle.

L'vitesse dial l'onde f l'vide hiya $c \approx 3 \times 10^8 , \text{m/s}$. Hiya akbar sor3a momkina f l'kawn.

💡 À retenir : $c$ est une constante universelle.

Quelles sont les conditions pour qu'une onde soit dite "plane" ?

L'onde est plane si, à un instant $t$ donné, les surfaces d'onde (lieux où la phase est constante) sont des plans parallèles.
Mathématiquement, cela signifie que les champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ ne dépendent que d'une seule variable spatiale (ex: $z$ ) et du temps $t$ .

💡 À retenir : Une onde plane est uniforme sur tout plan perpendiculaire à la direction de propagation.

L'onde est plane si, à un instant $t$ donné, les surfaces d'onde (lieux où la phase est constante) sont des plans parallèles.
Mathématiquement, cela signifie que les champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ ne dépendent que d'une seule variable spatiale (ex: $z$) et du temps $t$.

💡 À retenir : Une onde plane est uniforme sur tout plan perpendiculaire à la direction de propagation.

Kifach n7seb l'longueur d'onde lambda ila 3tani omega ?

3endna l'3alaqa $\omega = 2\pi f$ .
3endna $\lambda = c/f$ .
Donc, $\lambda = \frac{2\pi c}{\omega}$ .

💡 À retenir : $\lambda$ est toujours en mètres (m) si $c$ est en m/s et $\omega$ en rad/s.

3endna l'3alaqa $\omega = 2\pi f$.
3endna $\lambda = c/f$.
Donc, $\lambda = \frac{2\pi c}{\omega}$.

💡 À retenir : $\lambda$ est toujours en mètres (m) si $c$ est en m/s et $\omega$ en rad/s.

Est-ce que le champ magnétique transporte de l'énergie ?

Oui, l'énergie d'une onde électromagnétique est répartie également entre le champ électrique et le champ magnétique. La densité d'énergie volumique totale est $w = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2$ .

💡 À retenir : Dans le vide, l'énergie électrique est égale à l'énergie magnétique.

Chno hiya l'relation bin vec{E} et vec{B} f l'vide ?

$\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation $\vec{u}$ .
La relation vectorielle est $\vec{B} = \frac{1}{c} (\vec{u} \wedge \vec{E})$ .
En norme : $B = E/c$ .

💡 À retenir : Le triplet $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{u})$ forme un trièdre direct.

$\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation $\vec{u}$.
La relation vectorielle est $\vec{B} = \frac{1}{c} (\vec{u} \wedge \vec{E})$.
En norme : $B = E/c$.

💡 À retenir : Le triplet $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{u})$ forme un trièdre direct.

Pourquoi dit-on que l'onde est transversale ?

On dit qu'elle est transversale car les vecteurs champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont perpendiculaires à la direction de propagation $\vec{u}$ de l'onde.

💡 À retenir : $\vec{E} \cdot \vec{u} = 0$ et $\vec{B} \cdot \vec{u} = 0$ .

On dit qu'elle est transversale car les vecteurs champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont perpendiculaires à la direction de propagation $\vec{u}$ de l'onde.

💡 À retenir : $\vec{E} \cdot \vec{u} = 0$ et $\vec{B} \cdot \vec{u} = 0$.

Kifach n3ref wach l'onde katmcha f l'ittijah l'mojab aw l'salib ?

Chof l'expression dial la phase : $(\omega t - kz)$ ou $(\omega t + kz)$ .
Ila kan signe (-) bin $\omega t$ et $kz$ , l'onde katmcha f l'ittijah l'mojab (sens positif).
Ila kan signe (+), l'onde katmcha f l'ittijah l'salib (sens négatif).

💡 À retenir : Le signe opposé entre $t$ et $z$ indique une propagation vers les $z > 0$ .

Chof l'expression dial la phase : $(\omega t - kz)$ ou $(\omega t + kz)$.
Ila kan signe (-) bin $\omega t$ et $kz$, l'onde katmcha f l'ittijah l'mojab (sens positif).
Ila kan signe (+), l'onde katmcha f l'ittijah l'salib (sens négatif).

💡 À retenir : Le signe opposé entre $t$ et $z$ indique une propagation vers les $z > 0$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Vérifier que la fonction $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz)\vec{u}_x$ est solution de l'équation de d'Alembert $\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} = 0$ , sachant que $k = \omega/c$ .

Exercice 1

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Une onde électromagnétique plane progressive se propage dans le vide selon la direction $\vec{u}_z$ . Le champ électrique est donné par $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega(t - z/c))\vec{u}_x$ avec $E_0 = 10 \, \text{V/m}$ et $f = 100 \, \text{MHz}$ .

Calculer la pulsation $\omega$ et la longueur d'onde $\lambda$ .
Déterminer l'expression du champ magnétique $\vec{B}(z,t)$ .

Exercice 2

Une onde électromagnétique plane progressive se propage dans le vide selon la direction $\vec{u}_z$. Le champ électrique est donné par $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega(t - z/c))\vec{u}_x$ avec $E_0 = 10 , \text{V/m}$ et $f = 100 , \text{MHz}$.

Calculer la pulsation $\omega$ et la longueur d'onde $\lambda$.
Déterminer l'expression du champ magnétique $\vec{B}(z,t)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

On considère une onde électromagnétique dont le champ magnétique est $\vec{B}(z,t) = B_0 \cos(\omega t + kz)\vec{u}_y$ .

Déterminer le sens de propagation.
En déduire l'expression du champ électrique $\vec{E}(z,t)$ .

Exercice 3

On considère une onde électromagnétique dont le champ magnétique est $\vec{B}(z,t) = B_0 \cos(\omega t + kz)\vec{u}_y$.

Déterminer le sens de propagation.
En déduire l'expression du champ électrique $\vec{E}(z,t)$.

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