Télécommunications · Écoles d'ingénieurs — INPT

Échantillonnage et quantification

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Échantillonnage : Transformation d'un signal continu $x(t)$ en un signal discret $x(nTe)$ par multiplication avec un peigne de Dirac de période $T_e$ . Condition de Shannon : $f_e \geq 2 \cdot f_{max}$ .
Quantification : Discrétisation de l'amplitude. Le pas de quantification est $\Delta = \frac{V_{max} - V_{min}}{2^n}$ , où $n$ est le nombre de bits.
Erreur de quantification : L'erreur maximale est $\pm \frac{\Delta}{2}$ . La puissance du bruit de quantification est $P_b = \frac{\Delta^2}{12}$ .

Méthodes à maîtriser

Vérifier la condition de Shannon pour éviter le repliement.
Calculer le nombre de bits $n$ nécessaire pour une précision donnée.
Calculer le débit binaire $D = f_e \cdot n$ .
Calculer le rapport signal sur bruit de quantification : $SNR_{dB} = 6,02n + 1,76$ dB.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Signal de $4$ kHz. $f_e$ doit être $\geq 8$ kHz.
Exemple 2 : Si $V_{max}=5V$ et $n=8$ bits, $\Delta = \frac{5}{2^8} \approx 0,0195$ V.

Erreurs fréquentes

Oublier que $f_e$ doit être strictement supérieur à $2f_{max}$ en pratique pour le filtrage.
Confondre $f_e$ (fréquence d'échantillonnage) et $f_{max}$ (fréquence du signal).
Utiliser la formule du SNR sans vérifier si la quantification est uniforme.

L'essentiel du cours

Échantillonnage : Transformation d'un signal continu $x(t)$ en un signal discret $x(nTe)$ par multiplication avec un peigne de Dirac de période $T_e$. Condition de Shannon : $f_e \geq 2 \cdot f_{max}$.
Quantification : Discrétisation de l'amplitude. Le pas de quantification est $\Delta = \frac{V_{max} - V_{min}}{2^n}$, où $n$ est le nombre de bits.
Erreur de quantification : L'erreur maximale est $\pm \frac{\Delta}{2}$. La puissance du bruit de quantification est $P_b = \frac{\Delta^2}{12}$.

Méthodes à maîtriser

Vérifier la condition de Shannon pour éviter le repliement.
Calculer le nombre de bits $n$ nécessaire pour une précision donnée.
Calculer le débit binaire $D = f_e \cdot n$.
Calculer le rapport signal sur bruit de quantification : $SNR_{dB} = 6,02n + 1,76$ dB.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Signal de $4$ kHz. $f_e$ doit être $\geq 8$ kHz.
Exemple 2 : Si $V_{max}=5V$ et $n=8$ bits, $\Delta = \frac{5}{2^8} \approx 0,0195$ V.

Erreurs fréquentes

Oublier que $f_e$ doit être strictement supérieur à $2f_{max}$ en pratique pour le filtrage.
Confondre $f_e$ (fréquence d'échantillonnage) et $f_{max}$ (fréquence du signal).
Utiliser la formule du SNR sans vérifier si la quantification est uniforme.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Échantillonnage et quantification

1/4

Quelle est la condition de Shannon pour un signal de $5$ kHz ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l-frequence d-Nyquist?

La fréquence de Nyquist est la fréquence minimale d'échantillonnage nécessaire pour éviter le repliement de spectre. Elle est égale à deux fois la fréquence maximale du signal ( $f_N = 2 \cdot f_{max}$ ).

💡 À retenir : Si $f_e < f_N$ , on perd l'information du signal original.

💡 À retenir : Si $f_e < f_N$, on perd l'information du signal original.

Kifach n7seb l-pas d-quantification Delta?

Pour calculer le pas $\Delta$ , tu divises la plage dynamique du signal ( $V_{max} - V_{min}$ ) par le nombre total de niveaux de quantification, soit $2^n$ où $n$ est le nombre de bits.

💡 À retenir : $\Delta = \frac{V_{max} - V_{min}}{2^n}$ .

Pour calculer le pas $\Delta$, tu divises la plage dynamique du signal ($V_{max} - V_{min}$) par le nombre total de niveaux de quantification, soit $2^n$ où $n$ est le nombre de bits.

💡 À retenir : $\Delta = \frac{V_{max} - V_{min}}{2^n}$.

Wach l-echantillonnage kayssali l-khdma?

Non, l'échantillonnage discretise le temps, mais l'amplitude reste continue. Il faut ensuite passer par la quantification pour rendre le signal numérique (discret en temps et en amplitude).

💡 À retenir : Échantillonnage + Quantification = Numérisation.

Quelle est la différence entre quantification uniforme et non-uniforme ?

La quantification uniforme utilise un pas $\Delta$ constant. La non-uniforme (loi A ou $\mu$ ) utilise des pas plus petits pour les faibles amplitudes afin de mieux traiter les signaux de faible puissance.

💡 À retenir : La quantification uniforme est plus simple, mais moins efficace pour la dynamique.

La quantification uniforme utilise un pas $\Delta$ constant. La non-uniforme (loi A ou $\mu$) utilise des pas plus petits pour les faibles amplitudes afin de mieux traiter les signaux de faible puissance.

💡 À retenir : La quantification uniforme est plus simple, mais moins efficace pour la dynamique.

Pourquoi le bruit de quantification existe-t-il ?

Il existe car on arrondit la valeur réelle du signal à la valeur discrète la plus proche. Cet arrondi crée une erreur appelée "bruit de quantification".

💡 À retenir : Plus $n$ est grand, plus $\Delta$ est petit, plus le bruit diminue.

Il existe car on arrondit la valeur réelle du signal à la valeur discrète la plus proche. Cet arrondi crée une erreur appelée "bruit de quantification".

💡 À retenir : Plus $n$ est grand, plus $\Delta$ est petit, plus le bruit diminue.

Comment choisir fe en pratique ?

On choisit généralement $f_e$ légèrement supérieure à $2 \cdot f_{max}$ (ex: $2,2 \cdot f_{max}$ ) pour faciliter le filtrage passe-bas lors de la reconstruction.

💡 À retenir : La marge de sécurité est indispensable.

On choisit généralement $f_e$ légèrement supérieure à $2 \cdot f_{max}$ (ex: $2,2 \cdot f_{max}$) pour faciliter le filtrage passe-bas lors de la reconstruction.

💡 À retenir : La marge de sécurité est indispensable.

Qu'est-ce que le repliement de spectre ?

C'est un phénomène où les hautes fréquences du signal se "replient" sur les basses fréquences si $f_e < 2 \cdot f_{max}$ , rendant le signal irrécupérable.

💡 À retenir : Le repliement est irréversible.

C'est un phénomène où les hautes fréquences du signal se "replient" sur les basses fréquences si $f_e < 2 \cdot f_{max}$, rendant le signal irrécupérable.

💡 À retenir : Le repliement est irréversible.

Quelle est la relation entre débit binaire et fe ?

Le débit binaire $D$ est le produit de la fréquence d'échantillonnage par le nombre de bits par échantillon : $D = f_e \cdot n$ .

💡 À retenir : $D$ s'exprime en bits par seconde (bps).

Le débit binaire $D$ est le produit de la fréquence d'échantillonnage par le nombre de bits par échantillon : $D = f_e \cdot n$.

💡 À retenir : $D$ s'exprime en bits par seconde (bps).

Le SNR augmente-t-il avec n ?

Oui, chaque bit supplémentaire améliore le rapport signal sur bruit d'environ 6 dB.

💡 À retenir : $SNR_{dB} \approx 6n$ .

Oui, chaque bit supplémentaire améliore le rapport signal sur bruit d'environ 6 dB.

💡 À retenir : $SNR_{dB} \approx 6n$.

Peut-on échantillonner un signal infini ?

Théoriquement non, on doit toujours limiter la bande passante du signal avec un filtre anti-repliement avant l'échantillonnage.

💡 À retenir : Le filtre anti-repliement est obligatoire.

L'erreur de quantification est-elle aléatoire ?

Elle est souvent modélisée comme un bruit blanc uniforme entre $-\Delta/2$ et $+\Delta/2$ si le signal est complexe.

💡 À retenir : C'est une approximation statistique utile.

Elle est souvent modélisée comme un bruit blanc uniforme entre $-\Delta/2$ et $+\Delta/2$ si le signal est complexe.

💡 À retenir : C'est une approximation statistique utile.

Pourquoi utilise-t-on le codage binaire ?

Parce que les systèmes numériques (processeurs, mémoires) sont basés sur deux états logiques (0 et 1).

💡 À retenir : Le binaire est la base de toute l'informatique moderne.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un signal analogique $x(t)$ a une bande passante limitée à $3,4$ kHz. On souhaite le numériser avec $n = 8$ bits.

Quelle est la fréquence d'échantillonnage minimale théorique ?
Si on choisit $f_e = 8$ kHz, quel est le débit binaire résultant ?
Calculer le rapport signal sur bruit de quantification ( $SNR_{dB}$ ).

Exercice 1

Un signal analogique $x(t)$ a une bande passante limitée à $3,4$ kHz. On souhaite le numériser avec $n = 8$ bits.

Quelle est la fréquence d'échantillonnage minimale théorique ?
Si on choisit $f_e = 8$ kHz, quel est le débit binaire résultant ?
Calculer le rapport signal sur bruit de quantification ($SNR_{dB}$).

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Exercice 2

Un convertisseur analogique-numérique (CAN) travaille sur une plage de $[-5V, +5V]$ avec $n=10$ bits.

Calculer le pas de quantification $\Delta$ .
Quelle est la valeur numérique obtenue pour un signal d'entrée de $1,25$ V ?

Exercice 2

Un convertisseur analogique-numérique (CAN) travaille sur une plage de $[-5V, +5V]$ avec $n=10$ bits.

Calculer le pas de quantification $\Delta$.
Quelle est la valeur numérique obtenue pour un signal d'entrée de $1,25$ V ?

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Exercice 3

Expliquer l'effet du repliement de spectre sur un signal sinusoïdal de $10$ kHz échantillonné à $12$ kHz.

Exercice 3

Expliquer l'effet du repliement de spectre sur un signal sinusoïdal de $10$ kHz échantillonné à $12$ kHz.

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