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Processus aléatoires et bruit dans les systèmes de communication

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un processus aléatoire $X(t)$ est une famille de variables aléatoires.

Stationnarité au sens large (WSS) : $E[X(t)] = \mu$ (constante) et $R_X(t_1, t_2) = R_X(\tau)$ avec $\tau = t_2 - t_1$ .
Densité Spectrale de Puissance (DSP) : $S_X(f) = \mathcal{F}\{R_X(\tau)\}$ .
Bruit Blanc Additif Gaussien (AWGN) : Bruit dont la DSP est constante $S_n(f) = \frac{N_0}{2}$ et dont les échantillons suivent une loi normale $\mathcal{N}(0, \sigma^2)$ .

Méthodes à maîtriser

Vérifier la stationnarité : calculer la moyenne et s'assurer que l'autocorrélation ne dépend que de $\tau$ .
Calculer la puissance moyenne : $P_X = R_X(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} S_X(f) df$ .
Passer du domaine temporel au fréquentiel via la transformée de Fourier.

Exemples corrigés

Exemple : Soit un bruit blanc de DSP $N_0/2 = 10^{-9} W/Hz$ sur une bande $B = 10 MHz$ . Puissance du bruit $P_n = N_0 \cdot B = 2 \cdot 10^{-9} \cdot 10^7 = 0,02 W$ .

Erreurs fréquentes

Confondre la fonction d'autocorrélation $R_X(\tau)$ avec la densité spectrale $S_X(f)$ .
Oublier que pour un processus WSS, $R_X(0)$ est la puissance moyenne totale.
Négliger le facteur $1/2$ dans la définition de la DSP bilatérale du bruit blanc.

L'essentiel du cours

Un processus aléatoire $X(t)$ est une famille de variables aléatoires.

Stationnarité au sens large (WSS) : $E[X(t)] = \mu$ (constante) et $R_X(t_1, t_2) = R_X(\tau)$ avec $\tau = t_2 - t_1$.
Densité Spectrale de Puissance (DSP) : $S_X(f) = \mathcal{F}{R_X(\tau)}$.
Bruit Blanc Additif Gaussien (AWGN) : Bruit dont la DSP est constante $S_n(f) = \frac{N_0}{2}$ et dont les échantillons suivent une loi normale $\mathcal{N}(0, \sigma^2)$.

Méthodes à maîtriser

Vérifier la stationnarité : calculer la moyenne et s'assurer que l'autocorrélation ne dépend que de $\tau$.
Calculer la puissance moyenne : $P_X = R_X(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} S_X(f) df$.
Passer du domaine temporel au fréquentiel via la transformée de Fourier.

Exemples corrigés

Exemple : Soit un bruit blanc de DSP $N_0/2 = 10^{-9} W/Hz$ sur une bande $B = 10 MHz$. Puissance du bruit $P_n = N_0 \cdot B = 2 \cdot 10^{-9} \cdot 10^7 = 0,02 W$.

Erreurs fréquentes

Confondre la fonction d'autocorrélation $R_X(\tau)$ avec la densité spectrale $S_X(f)$.
Oublier que pour un processus WSS, $R_X(0)$ est la puissance moyenne totale.
Négliger le facteur $1/2$ dans la définition de la DSP bilatérale du bruit blanc.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Processus aléatoires et bruit dans les systèmes de communication

1/4

La fonction d'autocorrélation d'un processus stationnaire $R_X(\tau)$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre un signal déterministe et un processus aléatoire ?

Un signal déterministe est parfaitement prévisible : on connaît sa valeur à tout instant $t$ .
Un processus aléatoire est inconnu à l'avance ; on ne peut le décrire que par des lois statistiques (moyenne, variance, densité de probabilité).

💡 À retenir : Le déterministe est une certitude, l'aléatoire est une probabilité.

Un signal déterministe est parfaitement prévisible : on connaît sa valeur à tout instant $t$.
Un processus aléatoire est inconnu à l'avance ; on ne peut le décrire que par des lois statistiques (moyenne, variance, densité de probabilité).

💡 À retenir : Le déterministe est une certitude, l'aléatoire est une probabilité.

kifach n3ref wach l-processus stationnaire wla la ?

Calcule l'espérance $E[X(t)]$ : si elle dépend de $t$ , il n'est pas stationnaire.
Calcule la fonction d'autocorrélation $R_X(t_1, t_2)$ : si elle ne dépend que de la différence $\tau = t_2 - t_1$ , alors il est stationnaire au sens large.

💡 À retenir : Stationnaire = les propriétés statistiques ne changent pas avec le temps.

Calcule l'espérance $E[X(t)]$ : si elle dépend de $t$, il n'est pas stationnaire.
Calcule la fonction d'autocorrélation $R_X(t_1, t_2)$ : si elle ne dépend que de la différence $\tau = t_2 - t_1$, alors il est stationnaire au sens large.

💡 À retenir : Stationnaire = les propriétés statistiques ne changent pas avec le temps.

Pourquoi on utilise le bruit blanc dans les exercices ?

Il modélise le bruit thermique présent dans tous les composants électroniques.
Sa DSP est plate, ce qui simplifie énormément les calculs de filtrage et de rapport signal sur bruit.

💡 À retenir : C'est le modèle standard pour simuler les perturbations dans les canaux de transmission.

chno hiya l-ergodicité ?

C'est la propriété qui permet de remplacer une moyenne d'ensemble (sur plusieurs réalisations) par une moyenne temporelle (sur un seul signal long). C'est très utile en pratique car on n'a souvent qu'un seul signal à mesurer.

💡 À retenir : Moyenne temporelle = Moyenne d'ensemble pour un processus ergodique.

Comment calculer la puissance d'un bruit filtré ?

Déterminer la DSP du bruit en sortie : $S_{out}(f) = S_{in}(f) \cdot |H(f)|^2$ .
Intégrer cette DSP sur toute la bande de fréquence : $P = \int_{-\infty}^{+\infty} S_{out}(f) df$ .

💡 À retenir : La puissance est l'intégrale de la DSP.

Déterminer la DSP du bruit en sortie : $S_{out}(f) = S_{in}(f) \cdot |H(f)|^2$.
Intégrer cette DSP sur toute la bande de fréquence : $P = \int_{-\infty}^{+\infty} S_{out}(f) df$.

💡 À retenir : La puissance est l'intégrale de la DSP.

chhal hiya l-qima dial l-moyenne dial bruit blanc ?

La moyenne d'un bruit blanc est généralement nulle ( $E[n(t)] = 0$ ). C'est une hypothèse standard dans les systèmes de communication pour simplifier l'analyse du signal reçu.

💡 À retenir : Un bruit blanc est centré par définition.

La moyenne d'un bruit blanc est généralement nulle ($E[n(t)] = 0$). C'est une hypothèse standard dans les systèmes de communication pour simplifier l'analyse du signal reçu.

💡 À retenir : Un bruit blanc est centré par définition.

Est-ce que la DSP peut être négative ?

Non, la densité spectrale de puissance $S_X(f)$ est toujours positive ou nulle, car elle représente une distribution de puissance.

💡 À retenir : Une DSP négative est physiquement impossible.

Non, la densité spectrale de puissance $S_X(f)$ est toujours positive ou nulle, car elle représente une distribution de puissance.

💡 À retenir : Une DSP négative est physiquement impossible.

C'est quoi le rôle du filtre passe-bande dans le calcul du bruit ?

Il limite la bande passante du bruit. Comme la puissance du bruit blanc est infinie sur une bande infinie, le filtre permet de calculer une puissance finie et réaliste.

💡 À retenir : Le bruit est toujours limité par la bande passante du récepteur.

Comment on définit la variance d'un processus ?

La variance est égale à $R_X(0) - (E[X])^2$ . Pour un processus centré (moyenne nulle), la variance est égale à la puissance moyenne.

💡 À retenir : $\sigma^2 = E[X^2]$ si la moyenne est nulle.

La variance est égale à $R_X(0) - (E[X])^2$. Pour un processus centré (moyenne nulle), la variance est égale à la puissance moyenne.

💡 À retenir : $\sigma^2 = E[X^2]$ si la moyenne est nulle.

Est-ce que le bruit blanc est gaussien ?

Pas forcément. "Blanc" définit la forme du spectre (plat), "Gaussien" définit la loi de probabilité des amplitudes. On utilise souvent le modèle AWGN (Additive White Gaussian Noise) qui combine les deux.

💡 À retenir : Blanc = spectre, Gaussien = amplitude.

Pourquoi on parle de "puissance" et non d'énergie pour un processus aléatoire ?

Parce qu'un processus aléatoire dure théoriquement "toujours" (il est stationnaire), donc son énergie totale est infinie. On travaille donc sur la puissance moyenne.

💡 À retenir : Signal stationnaire = puissance finie, énergie infinie.

kifach n7seb l-rapport signal sur bruit (SNR) ?

Calcule la puissance du signal utile $P_s$ .
Calcule la puissance du bruit $P_n = N_0 \cdot B$ .
Fais le rapport $SNR = P_s / P_n$ (ou en dB : $10 \log_{10}(P_s/P_n)$ ).

💡 À retenir : Plus le SNR est élevé, meilleure est la qualité de la transmission.

Calcule la puissance du signal utile $P_s$.
Calcule la puissance du bruit $P_n = N_0 \cdot B$.
Fais le rapport $SNR = P_s / P_n$ (ou en dB : $10 \log_{10}(P_s/P_n)$).

💡 À retenir : Plus le SNR est élevé, meilleure est la qualité de la transmission.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un processus aléatoire $X(t)$ est défini par $X(t) = A \cos(2\pi f_0 t + \Theta)$ , où $\Theta$ est une variable aléatoire uniforme sur $[0, 2\pi]$ .

Montrer que $X(t)$ est stationnaire au sens large.
Calculer sa fonction d'autocorrélation $R_X(\tau)$ .

Exercice 1

Un processus aléatoire $X(t)$ est défini par $X(t) = A \cos(2\pi f_0 t + \Theta)$, où $\Theta$ est une variable aléatoire uniforme sur $[0, 2\pi]$.

Montrer que $X(t)$ est stationnaire au sens large.
Calculer sa fonction d'autocorrélation $R_X(\tau)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un signal est corrompu par un bruit blanc de densité spectrale $N_0/2 = 10^{-12} W/Hz$ . Le récepteur utilise un filtre idéal de bande passante $B = 5 MHz$ . Calculer la puissance du bruit en sortie du filtre.

Exercice 2

Un signal est corrompu par un bruit blanc de densité spectrale $N_0/2 = 10^{-12} W/Hz$. Le récepteur utilise un filtre idéal de bande passante $B = 5 MHz$. Calculer la puissance du bruit en sortie du filtre.

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Exercice 3

Soit un processus $Y(t) = X(t) + N(t)$ où $X(t)$ est un signal de puissance $P_x = 1 mW$ et $N(t)$ un bruit blanc de DSP $N_0/2 = 10^{-9} W/Hz$ sur une bande $B = 100 kHz$ . Calculer le rapport signal sur bruit (SNR) en dB.

Exercice 3

Soit un processus $Y(t) = X(t) + N(t)$ où $X(t)$ est un signal de puissance $P_x = 1 mW$ et $N(t)$ un bruit blanc de DSP $N_0/2 = 10^{-9} W/Hz$ sur une bande $B = 100 kHz$. Calculer le rapport signal sur bruit (SNR) en dB.

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