Physique · BTS & DUT (EST) — DUT (EST)

Oscillations mécaniques (Pendules)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le mouvement oscillatoire est régi par la deuxième loi de Newton. Pour un pendule élastique (ressort de raideur $k$ , masse $m$ ) :

Équation différentielle : $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$
Solution : $x(t) = X_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$
Période propre : $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Pour un pendule simple (longueur $l$ , masse $m$ ) :

Équation différentielle (pour petits angles) : $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\theta = 0$
Période propre : $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Choisir un repère, faire le bilan des forces, appliquer $\sum \vec{F} = m\vec{a}_G$ , projeter sur l'axe du mouvement.
Identifier les paramètres : Savoir lire $X_m$ (ou $\theta_m$ ), $T_0$ et $\varphi$ sur un graphe.
Calculer la phase initiale : Utiliser les conditions initiales ( $t=0$ ) : $x(0) = X_m \cos(\varphi)$ et $v(0) = -X_m \frac{2\pi}{T_0} \sin(\varphi)$ .

Exemples corrigés

Exemple : Un pendule élastique avec $m=0,1$ kg et $k=10$ N/m. $T_0 = 2\pi \sqrt{0,1/10} = 2\pi \sqrt{0,01} = 0,2\pi \approx 0,63$ s.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $m$ en kg, $l$ en m).
Confondre la période $T$ avec la pulsation $\omega = \frac{2\pi}{T}$ .
Utiliser la formule du pendule simple pour un pendule pesant sans vérifier les approximations.

L'essentiel du cours

Le mouvement oscillatoire est régi par la deuxième loi de Newton. Pour un pendule élastique (ressort de raideur $k$, masse $m$) :

Équation différentielle : $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$
Solution : $x(t) = X_m \cos(\frac{2\pi}{T_0}t + \varphi)$
Période propre : $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$

Pour un pendule simple (longueur $l$, masse $m$) :

Équation différentielle (pour petits angles) : $\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{l}\theta = 0$
Période propre : $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Choisir un repère, faire le bilan des forces, appliquer $\sum \vec{F} = m\vec{a}_G$, projeter sur l'axe du mouvement.
Identifier les paramètres : Savoir lire $X_m$ (ou $\theta_m$), $T_0$ et $\varphi$ sur un graphe.
Calculer la phase initiale : Utiliser les conditions initiales ($t=0$) : $x(0) = X_m \cos(\varphi)$ et $v(0) = -X_m \frac{2\pi}{T_0} \sin(\varphi)$.

Exemples corrigés

Exemple : Un pendule élastique avec $m=0,1$ kg et $k=10$ N/m. $T_0 = 2\pi \sqrt{0,1/10} = 2\pi \sqrt{0,01} = 0,2\pi \approx 0,63$ s.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $m$ en kg, $l$ en m).
Confondre la période $T$ avec la pulsation $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
Utiliser la formule du pendule simple pour un pendule pesant sans vérifier les approximations.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Oscillations mécaniques (Pendules)

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La période propre d'un pendule élastique dépend de :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un oscillateur harmonique ?

C'est un système dont l'évolution temporelle est décrite par une équation différentielle du second ordre de la forme $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$ . Sa solution est une fonction sinusoïdale pure.

💡 À retenir : L'oscillateur harmonique n'a pas de frottements.

Kifach n7seb l'amplitude Xm mn l'graphe ?

Chouf l'graphe dyal $x(t)$ .
L'amplitude $X_m$ hiya lqima lqaswiya (lfoqaniya) li kaywsel liha l'moun7ana.
Matnsach tcheuf l'unité f l'axe dyal l'y.

💡 À retenir : $X_m$ hiya l'élongation maximale.

Chouf l'graphe dyal $x(t)$.
L'amplitude $X_m$ hiya lqima lqaswiya (lfoqaniya) li kaywsel liha l'moun7ana.
Matnsach tcheuf l'unité f l'axe dyal l'y.

💡 À retenir : $X_m$ hiya l'élongation maximale.

Quelle est la différence entre période propre et période pseudo-période ?

La période propre $T_0$ est celle d'un système sans frottements.
La pseudo-période $T$ est celle d'un système avec frottements (amorti).

💡 À retenir : En général, $T \approx T_0$ si l'amortissement est très faible.

La période propre $T_0$ est celle d'un système sans frottements.
La pseudo-période $T$ est celle d'un système avec frottements (amorti).

💡 À retenir : En général, $T \approx T_0$ si l'amortissement est très faible.

Kifach n7seb varphi (la phase initiale) ?

3awd b $t=0$ f l'équation $x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \varphi)$ .
Ghadi t7ssel 3la $x(0) = X_m \cos(\varphi)$ .
Diri $\cos(\varphi) = x(0) / X_m$ w khrej $\varphi$ b l'calculatrice.

💡 À retenir : Vérifie le signe de la vitesse $v(0)$ pour choisir la bonne valeur de $\varphi$ .

3awd b $t=0$ f l'équation $x(t) = X_m \cos(\omega_0 t + \varphi)$.
Ghadi t7ssel 3la $x(0) = X_m \cos(\varphi)$.
Diri $\cos(\varphi) = x(0) / X_m$ w khrej $\varphi$ b l'calculatrice.

💡 À retenir : Vérifie le signe de la vitesse $v(0)$ pour choisir la bonne valeur de $\varphi$.

Est-ce que la masse influence la période d'un pendule simple ?

Non, la formule $T_0 = 2\pi \sqrt{l/g}$ montre que $T_0$ ne dépend que de la longueur $l$ et de la pesanteur $g$ .

💡 À retenir : La masse se simplifie dans l'équation différentielle.

Non, la formule $T_0 = 2\pi \sqrt{l/g}$ montre que $T_0$ ne dépend que de la longueur $l$ et de la pesanteur $g$.

💡 À retenir : La masse se simplifie dans l'équation différentielle.

Wach l'équation différentielle katbdel ila bddelna l'origine dyal l'axe ?

Non, la forme de l'équation différentielle reste la même, seul le changement de variable change.

💡 À retenir : L'équation différentielle caractérise le système, pas le choix du repère.

Comment déterminer la constante de raideur k expérimentalement ?

Mesurer la période $T_0$ pour différentes masses $m$ .
Tracer $T_0^2$ en fonction de $m$ .
La pente de la droite est $4\pi^2 / k$ .

💡 À retenir : $T_0^2 = \frac{4\pi^2}{k} m$ .

Mesurer la période $T_0$ pour différentes masses $m$.
Tracer $T_0^2$ en fonction de $m$.
La pente de la droite est $4\pi^2 / k$.

💡 À retenir : $T_0^2 = \frac{4\pi^2}{k} m$.

Pourquoi dit-on "petits angles" pour le pendule simple ?

Parce que l'approximation $\sin(\theta) \approx \theta$ (en radians) n'est vraie que pour des angles inférieurs à environ 15°.

💡 À retenir : Sans cette approximation, l'équation n'est pas linéaire.

Parce que l'approximation $\sin(\theta) \approx \theta$ (en radians) n'est vraie que pour des angles inférieurs à environ 15°.

💡 À retenir : Sans cette approximation, l'équation n'est pas linéaire.

Est-ce que l'énergie mécanique se conserve dans un pendule réel ?

Non, dans un pendule réel, il y a des frottements, donc l'énergie mécanique diminue au cours du temps.

💡 À retenir : L'énergie se dissipe sous forme de chaleur.

Comment lire la pulsation propre omega0 sur un graphe ?

Mesure $T_0$ (distance entre deux sommets).
Calcule $\omega_0 = 2\pi / T_0$ .

💡 À retenir : $\omega_0$ s'exprime en rad/s.

Mesure $T_0$ (distance entre deux sommets).
Calcule $\omega_0 = 2\pi / T_0$.

💡 À retenir : $\omega_0$ s'exprime en rad/s.

Est-ce que la période dépend de l'amplitude ?

Pour un oscillateur harmonique (ressort), non. Pour un pendule simple, c'est vrai seulement pour les petits angles.

💡 À retenir : L'isochronisme des petites oscillations.

Kifach n3ref wach l'mouvement est périodique ?

Ila kan l'moun7ana kay3awd nafs l'chkel f nafs l'moda zzamaniya (T).

💡 À retenir : $x(t+T) = x(t)$ .

Ila kan l'moun7ana kay3awd nafs l'chkel f nafs l'moda zzamaniya (T).

💡 À retenir : $x(t+T) = x(t)$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un pendule élastique est constitué d'un ressort de raideur $k = 20$ N/m et d'un solide de masse $m = 0,2$ kg. On écarte le solide de sa position d'équilibre de $x_0 = 0,05$ m et on le lâche sans vitesse initiale.

Établir l'équation différentielle du mouvement.
Déterminer la période propre $T_0$ .
Déterminer l'expression de $x(t)$ .

Exercice 1

Établir l'équation différentielle du mouvement.
Déterminer la période propre $T_0$.
Déterminer l'expression de $x(t)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un pendule simple de longueur $l = 1$ m est écarté d'un angle $\theta_0 = 0,1$ rad.

Calculer la période propre $T_0$ ( $g=9,8$ m/s²).
Écrire l'équation horaire $\theta(t)$ .

Exercice 2

Un pendule simple de longueur $l = 1$ m est écarté d'un angle $\theta_0 = 0,1$ rad.

Calculer la période propre $T_0$ ($g=9,8$ m/s²).
Écrire l'équation horaire $\theta(t)$.

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Exercice 3

Un pendule élastique a une période $T_0 = 0,5$ s. Si on double la masse $m$ , quelle est la nouvelle période $T'_0$ ?

Exercice 3

Un pendule élastique a une période $T_0 = 0,5$ s. Si on double la masse $m$, quelle est la nouvelle période $T'_0$ ?

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