Physique · BTS & DUT (EST) — DUT (EST)

Décroissance radioactive

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Noyau : Noté $^A_Z X$ , avec $A$ (nombre de nucléons) et $Z$ (numéro atomique).
Radioactivité : Transformation spontanée d'un noyau instable (père) en un noyau plus stable (fils) avec émission d'une particule ( $\alpha, \beta^-, \beta^+$ ) et rayonnement $\gamma$ .
Lois de Soddy : Conservation du nombre de nucléons ( $A$ ) et de la charge ( $Z$ ).
Loi de décroissance : $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ .
Activité : $A(t) = -\frac{dN}{dt} = \lambda N(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ .
Demi-vie ( $t_{1/2}$ ) : Temps au bout duquel la moitié des noyaux radioactifs initiaux s'est désintégrée : $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ .

Méthodes à maîtriser

Écrire une équation de désintégration en appliquant Soddy.
Déterminer graphiquement $t_{1/2}$ à partir d'une courbe $N(t)$ ou $A(t)$ .
Calculer $\lambda$ à partir de $t_{1/2}$ (attention aux unités : $\lambda$ en $s^{-1}$ si $t$ en $s$ ).
Utiliser la relation $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ pour trouver $t$ ou $N_0$ .

Exemples corrigés

Calcul de $\lambda$ : Si $t_{1/2} = 5730$ ans, alors $\lambda = \frac{\ln(2)}{5730} \approx 1,21 \times 10^{-4} \text{ an}^{-1}$ .
Désintégration $\beta^-$ : $^{14}_6 C \rightarrow ^{14}_7 N + ^0_{-1} e$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir $t_{1/2}$ dans la même unité que $t$ dans l'exponentielle.
Confondre $N(t)$ (nombre de noyaux restants) et $N_{dés}(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ (nombre de noyaux désintégrés).
Utiliser la calculatrice en mode "Degré" au lieu de "Radian" pour les fonctions exponentielles (bien que non nécessaire ici, c'est une erreur classique en physique).

L'essentiel du cours

Noyau : Noté $^A_Z X$, avec $A$ (nombre de nucléons) et $Z$ (numéro atomique).
Radioactivité : Transformation spontanée d'un noyau instable (père) en un noyau plus stable (fils) avec émission d'une particule ($\alpha, \beta^-, \beta^+$) et rayonnement $\gamma$.
Lois de Soddy : Conservation du nombre de nucléons ($A$) et de la charge ($Z$).
Loi de décroissance : $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
Activité : $A(t) = -\frac{dN}{dt} = \lambda N(t) = A_0 e^{-\lambda t}$.
Demi-vie ($t_{1/2}$) : Temps au bout duquel la moitié des noyaux radioactifs initiaux s'est désintégrée : $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$.

Méthodes à maîtriser

Écrire une équation de désintégration en appliquant Soddy.
Déterminer graphiquement $t_{1/2}$ à partir d'une courbe $N(t)$ ou $A(t)$.
Calculer $\lambda$ à partir de $t_{1/2}$ (attention aux unités : $\lambda$ en $s^{-1}$ si $t$ en $s$).
Utiliser la relation $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ pour trouver $t$ ou $N_0$.

Exemples corrigés

Calcul de $\lambda$ : Si $t_{1/2} = 5730$ ans, alors $\lambda = \frac{\ln(2)}{5730} \approx 1,21 \times 10^{-4} \text{ an}^{-1}$.
Désintégration $\beta^-$ : $^{14}_6 C \rightarrow ^{14}7 N + ^0{-1} e$.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir $t_{1/2}$ dans la même unité que $t$ dans l'exponentielle.
Confondre $N(t)$ (nombre de noyaux restants) et $N_{dés}(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ (nombre de noyaux désintégrés).
Utiliser la calculatrice en mode "Degré" au lieu de "Radian" pour les fonctions exponentielles (bien que non nécessaire ici, c'est une erreur classique en physique).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Décroissance radioactive

1/4

La demi-vie est le temps au bout duquel :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb t{1/2} mn l'graph dyal N(t) ?

Chouf l'9ima dyal $N_0$ (l'wa9t $t=0$ ).
9sem $N_0$ 3la 2 bach tl9a $N(t_{1/2}) = N_0 / 2$ .
Dreb khatt ofo9i mn $N_0 / 2$ 7ta t9iss l'men7ana.
Hbet l'l'mou7war dyal l'wa9t ( $t$ ), l'9ima li l9iti hiya $t_{1/2}$ .

💡 À retenir : $t_{1/2}$ hiya l'wa9t li kaywli fih 3adad n-nawat nss d'l'asli.

Chouf l'9ima dyal $N_0$ (l'wa9t $t=0$).
9sem $N_0$ 3la 2 bach tl9a $N(t_{1/2}) = N_0 / 2$.
Dreb khatt ofo9i mn $N_0 / 2$ 7ta t9iss l'men7ana.
Hbet l'l'mou7war dyal l'wa9t ($t$), l'9ima li l9iti hiya $t_{1/2}$.

💡 À retenir : $t_{1/2}$ hiya l'wa9t li kaywli fih 3adad n-nawat nss d'l'asli.

Est-ce que la constante radioactive lambda dépend de la température ou de la pression ?

Non, la constante radioactive $\lambda$ est une caractéristique propre à chaque noyau radioactif. Elle ne dépend ni de la température, ni de la pression, ni de l'état chimique de l'échantillon. C'est un phénomène purement nucléaire.

💡 À retenir : La radioactivité est un processus aléatoire et spontané, indépendant des conditions extérieures.

Chno hiya l'far9 bin l'activité A(t) o N(t) ?

$N(t)$ hiya 3adad n-nawat li ba9in ma tfttou f wahed l'wa9t $t$ .
$A(t)$ hiya sor3at tftit, ya3ni ch7al mn nawat kaytftt f wahed l'wa9t sghir.
L'3ala9a binathom hiya $A(t) = \lambda \cdot N(t)$ .

💡 À retenir : $A(t)$ katn9oss b nafs l'tari9a bach katn9oss $N(t)$ .

$N(t)$ hiya 3adad n-nawat li ba9in ma tfttou f wahed l'wa9t $t$.
$A(t)$ hiya sor3at tftit, ya3ni ch7al mn nawat kaytftt f wahed l'wa9t sghir.
L'3ala9a binathom hiya $A(t) = \lambda \cdot N(t)$.

💡 À retenir : $A(t)$ katn9oss b nafs l'tari9a bach katn9oss $N(t)$.

Comment déterminer la date t à partir de la loi de décroissance ?

On a $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ .
On divise par $N_0$ : $\frac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda t}$ .
On prend le logarithme népérien : $\ln(\frac{N(t)}{N_0}) = -\lambda t$ .
On isole $t$ : $t = -\frac{1}{\lambda} \ln(\frac{N(t)}{N_0})$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier que le rapport $N(t)/N_0$ est inférieur à 1.

On a $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
On divise par $N_0$ : $\frac{N(t)}{N_0} = e^{-\lambda t}$.
On prend le logarithme népérien : $\ln(\frac{N(t)}{N_0}) = -\lambda t$.
On isole $t$ : $t = -\frac{1}{\lambda} \ln(\frac{N(t)}{N_0})$.

💡 À retenir : Toujours vérifier que le rapport $N(t)/N_0$ est inférieur à 1.

Kifach n7seb 3adad n-nawat N0 ila 3tani l'kotla m ?

3ref l'3adad l'molat $n = m / M$ .
St3ml 3adad Avogadro $N_A$ : $N_0 = n \cdot N_A$ .
Donc $N_0 = (m / M) \cdot N_A$ .

💡 À retenir : $M$ hiya l'kotla molariya (g/mol) o $m$ hiya l'kotla (g).

3ref l'3adad l'molat $n = m / M$.
St3ml 3adad Avogadro $N_A$ : $N_0 = n \cdot N_A$.
Donc $N_0 = (m / M) \cdot N_A$.

💡 À retenir : $M$ hiya l'kotla molariya (g/mol) o $m$ hiya l'kotla (g).

Pourquoi le rayonnement gamma accompagne-t-il souvent les émissions alpha ou bêta ?

Lorsqu'un noyau émet une particule $\alpha$ ou $\beta$ , le noyau fils se retrouve souvent dans un état excité (instable). Pour revenir à son état fondamental (plus stable), il libère l'excès d'énergie sous forme d'un rayonnement électromagnétique de haute énergie : le photon $\gamma$ .

💡 À retenir : L'émission $\gamma$ ne change ni $A$ ni $Z$ .

Lorsqu'un noyau émet une particule $\alpha$ ou $\beta$, le noyau fils se retrouve souvent dans un état excité (instable). Pour revenir à son état fondamental (plus stable), il libère l'excès d'énergie sous forme d'un rayonnement électromagnétique de haute énergie : le photon $\gamma$.

💡 À retenir : L'émission $\gamma$ ne change ni $A$ ni $Z$.

Quelle est l'unité de l'activité radioactive ?

L'unité légale dans le système international est le Becquerel (Bq). 1 Bq correspond à une désintégration par seconde.

💡 À retenir : $1 \text{ Bq} = 1 \text{ s}^{-1}$ .

L'unité légale dans le système international est le Becquerel (Bq). 1 Bq correspond à une désintégration par seconde.

💡 À retenir : $1 \text{ Bq} = 1 \text{ s}^{-1}$.

Est-ce que tous les noyaux radioactifs ont la même demi-vie ?

Non, chaque isotope radioactif possède sa propre demi-vie, qui peut varier de quelques fractions de seconde à des milliards d'années (ex: l'uranium 238 a une demi-vie de 4,5 milliards d'années).

💡 À retenir : $t_{1/2}$ est une signature spécifique de chaque noyau.

Non, chaque isotope radioactif possède sa propre demi-vie, qui peut varier de quelques fractions de seconde à des milliards d'années (ex: l'uranium 238 a une demi-vie de 4,5 milliards d'années).

💡 À retenir : $t_{1/2}$ est une signature spécifique de chaque noyau.

Si N(t) = N0 / 4, combien de demi-vies se sont écoulées ?

Après 1 demi-vie : $N = N_0 / 2$ .
Après 2 demi-vies : $N = (N_0 / 2) / 2 = N_0 / 4$ .
Donc, il s'est écoulé 2 demi-vies ( $t = 2 \cdot t_{1/2}$ ).

💡 À retenir : Après $n$ demi-vies, $N(t) = N_0 / 2^n$ .

Après 1 demi-vie : $N = N_0 / 2$.
Après 2 demi-vies : $N = (N_0 / 2) / 2 = N_0 / 4$.
Donc, il s'est écoulé 2 demi-vies ($t = 2 \cdot t_{1/2}$).

💡 À retenir : Après $n$ demi-vies, $N(t) = N_0 / 2^n$.

Pourquoi dit-on que la radioactivité est un phénomène aléatoire ?

On ne peut pas prédire à quel instant précis un noyau donné va se désintégrer. On ne peut travailler que sur des grands nombres de noyaux pour obtenir des résultats statistiques (la loi de décroissance).

💡 À retenir : Le hasard est au cœur de la physique nucléaire.

Comment calculer le nombre de noyaux désintégrés Nd à un instant t ?

Le nombre de noyaux restants est $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ .
Le nombre de noyaux désintégrés est la différence entre le nombre initial et le nombre restant.
$N_d(t) = N_0 - N(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ .

💡 À retenir : $N_d(t) + N(t) = N_0$ .

Le nombre de noyaux restants est $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
Le nombre de noyaux désintégrés est la différence entre le nombre initial et le nombre restant.
$N_d(t) = N_0 - N(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$.

💡 À retenir : $N_d(t) + N(t) = N_0$.

Quelle est la relation entre la constante radioactive lambda et la demi-vie t{1/2} ?

La relation est $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ . On la démontre en posant $N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$ dans la loi de décroissance.

💡 À retenir : Plus $\lambda$ est grand, plus la demi-vie est courte (désintégration rapide).

La relation est $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$. On la démontre en posant $N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$ dans la loi de décroissance.

💡 À retenir : Plus $\lambda$ est grand, plus la demi-vie est courte (désintégration rapide).

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un échantillon de Cobalt 60 ( $^{60}_{27}Co$ ) a une activité initiale $A_0 = 10^9$ Bq. Sa demi-vie est $t_{1/2} = 5,27$ ans.

Écrire l'équation de désintégration du Cobalt 60 sachant qu'il émet un électron.
Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $an^{-1}$ .
Calculer l'activité $A$ de l'échantillon au bout de 10 ans.

Exercice 1

Un échantillon de Cobalt 60 ($^{60}{27}Co$) a une activité initiale $A_0 = 10^9$ Bq. Sa demi-vie est $t{1/2} = 5,27$ ans.

Écrire l'équation de désintégration du Cobalt 60 sachant qu'il émet un électron.
Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $an^{-1}$.
Calculer l'activité $A$ de l'échantillon au bout de 10 ans.

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Exercice 2

On considère un échantillon de Radon 222. À $t=0$ , le nombre de noyaux est $N_0$ . À $t_1 = 7,6$ jours, il reste $N_1 = 0,25 N_0$ noyaux.

Déterminer la demi-vie $t_{1/2}$ du Radon 222.
Calculer le nombre de noyaux restants à $t_2 = 15,2$ jours.

Exercice 2

On considère un échantillon de Radon 222. À $t=0$, le nombre de noyaux est $N_0$. À $t_1 = 7,6$ jours, il reste $N_1 = 0,25 N_0$ noyaux.

Déterminer la demi-vie $t_{1/2}$ du Radon 222.
Calculer le nombre de noyaux restants à $t_2 = 15,2$ jours.

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Exercice 3

Un échantillon archéologique contient une masse $m = 1,0$ mg de Carbone 14. La demi-vie du C-14 est $5730$ ans.

Calculer le nombre de noyaux $N_0$ présents dans cet échantillon (Données : $M(C) = 14$ g/mol, $N_A = 6,02 \times 10^{23}$ mol $^{-1}$ ).
Déterminer l'activité $A_0$ de cet échantillon en Bq.

Exercice 3

Un échantillon archéologique contient une masse $m = 1,0$ mg de Carbone 14. La demi-vie du C-14 est $5730$ ans.

Calculer le nombre de noyaux $N_0$ présents dans cet échantillon (Données : $M(C) = 14$ g/mol, $N_A = 6,02 \times 10^{23}$ mol$^{-1}$).
Déterminer l'activité $A_0$ de cet échantillon en Bq.

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