Sciences de l'ingénieur · BTS & DUT (EST) — DUT (EST)

Résistance des matériaux (RDM)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La RDM étudie le comportement des solides sous l'effet des charges. Les hypothèses de base (Navier-Bernoulli) supposent le matériau homogène, isotrope et les déformations faibles.

Traction/Compression : $\sigma = \frac{N}{S} \leq R_p$
Cisaillement : $\tau = \frac{T}{S} \leq R_{pg}$
Torsion : $\tau = \frac{M_t}{I_0} \cdot v \leq R_{pg}$
Flexion simple : $\sigma = \frac{M_{fz}}{I_Gz} \cdot y \leq R_p$

Méthodes à maîtriser

Isoler le solide : Faire le bilan des forces (B.A.F.E).
Calculer les torseurs : Déterminer les efforts internes (N, T, Mf, Mt) par la méthode des sections.
Vérifier la condition de résistance : Comparer la contrainte maximale calculée à la résistance pratique ( $R_p$ ou $R_{pg}$ ).

Exemples corrigés

Exemple : Traction simple. Une tige de section $S = 200 mm^2$ subit un effort $N = 10 000 N$ . Calcul : $\sigma = \frac{10000}{200} = 50 N/mm^2$ . Si $R_e = 250 MPa$ et $s=2$ , alors $R_p = 125 MPa$ . Comme $50 < 125$ , la tige résiste.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $mm^2$ en $m^2$ ou $daN$ en $N$ ).
Confondre $R_e$ (limite élastique) et $R_p$ (résistance pratique).
Négliger le coefficient de sécurité $s$ dans le dimensionnement.

L'essentiel du cours

La RDM étudie le comportement des solides sous l'effet des charges. Les hypothèses de base (Navier-Bernoulli) supposent le matériau homogène, isotrope et les déformations faibles.

Traction/Compression : $\sigma = \frac{N}{S} \leq R_p$
Cisaillement : $\tau = \frac{T}{S} \leq R_{pg}$
Torsion : $\tau = \frac{M_t}{I_0} \cdot v \leq R_{pg}$
Flexion simple : $\sigma = \frac{M_{fz}}{I_Gz} \cdot y \leq R_p$

Méthodes à maîtriser

Isoler le solide : Faire le bilan des forces (B.A.F.E).
Calculer les torseurs : Déterminer les efforts internes (N, T, Mf, Mt) par la méthode des sections.
Vérifier la condition de résistance : Comparer la contrainte maximale calculée à la résistance pratique ($R_p$ ou $R_{pg}$).

Exemples corrigés

Exemple : Traction simple. Une tige de section $S = 200 mm^2$ subit un effort $N = 10 000 N$. Calcul : $\sigma = \frac{10000}{200} = 50 N/mm^2$. Si $R_e = 250 MPa$ et $s=2$, alors $R_p = 125 MPa$. Comme $50 < 125$, la tige résiste.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $mm^2$ en $m^2$ ou $daN$ en $N$).
Confondre $R_e$ (limite élastique) et $R_p$ (résistance pratique).
Négliger le coefficient de sécurité $s$ dans le dimensionnement.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Résistance des matériaux (RDM)

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Quelle est l'unité de la contrainte $\sigma$ ?

❓ Questions fréquentes

Quelle est la différence entre contrainte normale et contrainte tangentielle ?

La contrainte normale ( $\sigma$ ) agit perpendiculairement à la section droite (arrachement ou écrasement). La contrainte tangentielle ( $\tau$ ) agit parallèlement à la section (glissement).

💡 À retenir : $\sigma$ est liée à la traction/compression/flexion, $\tau$ au cisaillement/torsion.

La contrainte normale ($\sigma$) agit perpendiculairement à la section droite (arrachement ou écrasement). La contrainte tangentielle ($\tau$) agit parallèlement à la section (glissement).

💡 À retenir : $\sigma$ est liée à la traction/compression/flexion, $\tau$ au cisaillement/torsion.

Pourquoi on utilise un coefficient de sécurité s ?

Il sert à compenser les incertitudes sur les charges réelles, les défauts de fabrication du matériau et les imprécisions du modèle mathématique.

💡 À retenir : $s > 1$ toujours.

Il sert à compenser les incertitudes sur les charges réelles, les défauts de fabrication du matériau et les imprécisions du modèle mathématique.

💡 À retenir : $s > 1$ toujours.

Est-ce que le poids propre de la poutre est toujours négligé ?

Dans les exercices de RDM au niveau DUT, on le néglige sauf si l'énoncé donne la masse linéique ou le poids volumique du matériau.

💡 À retenir : Lis bien les données de l'énoncé.

Comment choisir le profilé le plus économique ?

Il faut choisir le profilé dont le module de flexion $I/v$ est juste supérieur au moment fléchissant maximal divisé par $R_p$ .

💡 À retenir : Le plus économique est celui qui a la section la plus petite tout en respectant la condition de résistance.

Il faut choisir le profilé dont le module de flexion $I/v$ est juste supérieur au moment fléchissant maximal divisé par $R_p$.

💡 À retenir : Le plus économique est celui qui a la section la plus petite tout en respectant la condition de résistance.

Qu'est-ce qu'une sollicitation composée ?

C'est lorsqu'une pièce subit simultanément deux ou plusieurs sollicitations simples (ex: Flexion + Torsion).

💡 À retenir : On calcule les contraintes séparément puis on utilise le critère de Von Mises.

Comment calculer IGz pour un rectangle ?

Pour un rectangle de base $b$ et hauteur $h$ , $I_Gz = \frac{b \cdot h^3}{12}$ .

💡 À retenir : La hauteur est toujours élevée au cube.

Pour un rectangle de base $b$ et hauteur $h$, $I_Gz = \frac{b \cdot h^3}{12}$.

💡 À retenir : La hauteur est toujours élevée au cube.

Est-ce que la RDM s'applique aux matériaux plastiques ?

La RDM classique s'applique principalement au domaine élastique. Au-delà de la limite élastique, on entre dans le domaine de la plasticité, qui n'est pas au programme standard.

💡 À retenir : On travaille toujours avec $\sigma \leq R_p$ .

La RDM classique s'applique principalement au domaine élastique. Au-delà de la limite élastique, on entre dans le domaine de la plasticité, qui n'est pas au programme standard.

💡 À retenir : On travaille toujours avec $\sigma \leq R_p$.

Quelle est l'unité de la contrainte dans le système international ?

L'unité est le Pascal ( $Pa$ ), mais en ingénierie, on utilise souvent le $MPa$ ( $1 MPa = 1 N/mm^2$ ).

💡 À retenir : $1 MPa = 10^6 Pa$ .

L'unité est le Pascal ($Pa$), mais en ingénierie, on utilise souvent le $MPa$ ($1 MPa = 1 N/mm^2$).

💡 À retenir : $1 MPa = 10^6 Pa$.

Comment savoir si une poutre est en flexion simple ?

Si les charges appliquées sont perpendiculaires à l'axe de la poutre et passent par le centre de gravité de la section.

💡 À retenir : Pas d'effort normal $N$ dans la section.

Si les charges appliquées sont perpendiculaires à l'axe de la poutre et passent par le centre de gravité de la section.

💡 À retenir : Pas d'effort normal $N$ dans la section.

Kifach n7seb l'effort tranchant f l'exercice dyal la flexion ?

Tu coupes la poutre en une section $x$ .
Tu isoles une partie de la poutre.
Tu appliques le principe fondamental de la statique : la somme des forces projetées sur l'axe perpendiculaire à la poutre doit être nulle.

💡 À retenir : $T(x) = \frac{dM_{fz}}{dx}$ .

Tu coupes la poutre en une section $x$.
Tu isoles une partie de la poutre.
Tu appliques le principe fondamental de la statique : la somme des forces projetées sur l'axe perpendiculaire à la poutre doit être nulle.

💡 À retenir : $T(x) = \frac{dM_{fz}}{dx}$.

Kifach n3ref wach nkhdem b Rp wla R{pg} f l'exercice ?

$R_p$ (Résistance Pratique à l'extension) s'utilise pour les sollicitations normales : Traction, Compression et Flexion.
$R_{pg}$ (Résistance Pratique au glissement) s'utilise pour les sollicitations tangentielles : Cisaillement et Torsion.

💡 À retenir : $R_p = \frac{R_e}{s}$ et $R_{pg} = \frac{R_g}{s} \approx 0.5 \cdot R_p$ .

$R_p$ (Résistance Pratique à l'extension) s'utilise pour les sollicitations normales : Traction, Compression et Flexion.
$R_{pg}$ (Résistance Pratique au glissement) s'utilise pour les sollicitations tangentielles : Cisaillement et Torsion.

💡 À retenir : $R_p = \frac{R_e}{s}$ et $R_{pg} = \frac{R_g}{s} \approx 0.5 \cdot R_p$.

Chno hiya l'utilité dyal moment quadratique IGz ?

Le moment quadratique mesure la résistance d'une section à la flexion. Plus $I_Gz$ est grand, plus la pièce est rigide et moins elle se déforme sous l'effet d'un moment fléchissant.

💡 À retenir : La forme géométrique compte autant que la matière.

Le moment quadratique mesure la résistance d'une section à la flexion. Plus $I_Gz$ est grand, plus la pièce est rigide et moins elle se déforme sous l'effet d'un moment fléchissant.

💡 À retenir : La forme géométrique compte autant que la matière.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une tige cylindrique en acier de diamètre $d = 20 mm$ est soumise à une force de traction $F = 15 000 N$ . La limite élastique de l'acier est $R_e = 240 MPa$ .

Calculer la contrainte normale $\sigma$ .
Vérifier la condition de résistance avec un coefficient de sécurité $s = 2$ .

Exercice 1

Une tige cylindrique en acier de diamètre $d = 20 mm$ est soumise à une force de traction $F = 15 000 N$. La limite élastique de l'acier est $R_e = 240 MPa$.

Calculer la contrainte normale $\sigma$.
Vérifier la condition de résistance avec un coefficient de sécurité $s = 2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Une poutre sur deux appuis simples de longueur $L = 4 m$ supporte une charge ponctuelle $P = 5000 N$ en son milieu.

Calculer les réactions aux appuis.
Déterminer le moment fléchissant maximal $M_{fz\_max}$ .

Exercice 2

Une poutre sur deux appuis simples de longueur $L = 4 m$ supporte une charge ponctuelle $P = 5000 N$ en son milieu.

Calculer les réactions aux appuis.
Déterminer le moment fléchissant maximal $M_{fz_max}$.

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Exercice 3

Dimensionner une poutre de section carrée ( $a \times a$ ) soumise à un moment fléchissant $M_{fz} = 2000 N \cdot m$ . On donne $R_p = 100 MPa$ .

Exercice 3

Dimensionner une poutre de section carrée ($a \times a$) soumise à un moment fléchissant $M_{fz} = 2000 N \cdot m$. On donne $R_p = 100 MPa$.

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