Mathématiques · Prépa concours post-bac — ISPITS (paramédical)

Calcul algébrique et polynômes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un polynôme $P(x)$ s'écrit sous la forme : $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ .

Degré : Le degré de $P$ , noté $\deg(P)$ , est le plus grand exposant $n$ tel que $a_n \neq 0$ .
Racine : $\alpha$ est une racine de $P$ si et seulement si $P(\alpha) = 0$ .
Division euclidienne : Pour tout polynôme $P$ et $B$ ( $B \neq 0$ ), il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $P(x) = B(x)Q(x) + R(x)$ avec $\deg(R) < \deg(B)$ .
Théorème : $\alpha$ est racine de $P$ si et seulement si $(x - \alpha)$ divise $P(x)$ .

Méthodes à maîtriser

Factorisation : Utiliser les identités remarquables ou la division euclidienne après avoir trouvé une racine évidente.
Identification : Pour montrer que deux polynômes sont égaux, on montre que leurs coefficients sont identiques.
Horner : Utiliser le schéma de Horner pour diviser rapidement un polynôme par $(x - \alpha)$ .

Exemples corrigés

Exemple : Factoriser $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ .

On teste les racines évidentes : $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ . Donc $(x-1)$ est un facteur.
Par division euclidienne, $P(x) = (x-1)(x^2 - 5x + 6)$ .
On factorise $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$ .
Résultat : $P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$ .

Erreurs fréquentes

Confondre le degré d'un produit de polynômes : $\deg(P \cdot Q) = \deg(P) + \deg(Q)$ .
Oublier que le reste d'une division par $(x-\alpha)$ est toujours une constante.
Se tromper de signe lors de la soustraction dans la division euclidienne.

L'essentiel du cours

Un polynôme $P(x)$ s'écrit sous la forme : $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$.

Degré : Le degré de $P$, noté $\deg(P)$, est le plus grand exposant $n$ tel que $a_n \neq 0$.
Racine : $\alpha$ est une racine de $P$ si et seulement si $P(\alpha) = 0$.
Division euclidienne : Pour tout polynôme $P$ et $B$ ($B \neq 0$), il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $P(x) = B(x)Q(x) + R(x)$ avec $\deg(R) < \deg(B)$.
Théorème : $\alpha$ est racine de $P$ si et seulement si $(x - \alpha)$ divise $P(x)$.

Méthodes à maîtriser

Factorisation : Utiliser les identités remarquables ou la division euclidienne après avoir trouvé une racine évidente.
Identification : Pour montrer que deux polynômes sont égaux, on montre que leurs coefficients sont identiques.
Horner : Utiliser le schéma de Horner pour diviser rapidement un polynôme par $(x - \alpha)$.

Exemples corrigés

Exemple : Factoriser $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.

On teste les racines évidentes : $P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Donc $(x-1)$ est un facteur.
Par division euclidienne, $P(x) = (x-1)(x^2 - 5x + 6)$.
On factorise $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.
Résultat : $P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$.

Erreurs fréquentes

Confondre le degré d'un produit de polynômes : $\deg(P \cdot Q) = \deg(P) + \deg(Q)$.
Oublier que le reste d'une division par $(x-\alpha)$ est toujours une constante.
Se tromper de signe lors de la soustraction dans la division euclidienne.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul algébrique et polynômes

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Quel est le degré de $P(x) = (x^2+1)(x^3-2)$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que le degré change après la factorisation ?

Non, le degré reste le même. La factorisation est juste une autre écriture du polynôme.

💡 À retenir : La forme factorisée et la forme développée ont le même degré.

Pourquoi on étudie les polynômes avant les fonctions ?

Parce que les polynômes sont les fonctions les plus simples à manipuler (sommes et produits). Ils servent de base pour comprendre les limites et les dérivées.

💡 À retenir : Les polynômes sont les "briques" de l'analyse.

Est-ce que le degré d'un polynôme peut être négatif ?

Non, le degré d'un polynôme est toujours un entier naturel ( $n \in \mathbb{N}$ ). Si l'expression contient des puissances négatives de $x$ (ex: $1/x$ ), ce n'est pas un polynôme.

💡 À retenir : Le degré appartient à $\{0, 1, 2, ...\}$ .

Non, le degré d'un polynôme est toujours un entier naturel ($n \in \mathbb{N}$). Si l'expression contient des puissances négatives de $x$ (ex: $1/x$), ce n'est pas un polynôme.

💡 À retenir : Le degré appartient à ${0, 1, 2, ...}$.

Kifach n3ref wach had l'adad racine wla la ?

Sahl bezzaf, khassek t3ewed dak l'adad f بلاصة x (f l'expression dyal P(x)). Ila khrej lik l'hissab 0, rah racine. Ila khrej ay raqm akhor, rah machi racine.

💡 À retenir : $P(\alpha) = 0 \iff \alpha$ est racine.

Sahl bezzaf, khassek t3ewed dak l'adad f بلاصة x (f l'expression dyal P(x)). Ila khrej lik l'hissab 0, rah racine. Ila khrej ay raqm akhor, rah machi racine.

💡 À retenir : $P(\alpha) = 0 \iff \alpha$ est racine.

Chno hiya l'far9 bin l'factorisation w l'développement ?

Le développement : tu transformes un produit en une somme (ex: $(x+1)^2 = x^2+2x+1$ ).
La factorisation : tu transformes une somme en un produit (ex: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ ).

💡 À retenir : Ce sont deux opérations inverses.

Le développement : tu transformes un produit en une somme (ex: $(x+1)^2 = x^2+2x+1$).
La factorisation : tu transformes une somme en un produit (ex: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$).

💡 À retenir : Ce sont deux opérations inverses.

Est-ce que tout polynôme de degré 2 a des racines ?

Dans $\mathbb{R}$ , non. Si le discriminant $\Delta < 0$ , le polynôme n'a pas de racines réelles. Dans $\mathbb{C}$ , il en a toujours deux (éventuellement confondues).

💡 À retenir : $\Delta = b^2 - 4ac$ .

Dans $\mathbb{R}$, non. Si le discriminant $\Delta < 0$, le polynôme n'a pas de racines réelles. Dans $\mathbb{C}$, il en a toujours deux (éventuellement confondues).

💡 À retenir : $\Delta = b^2 - 4ac$.

Kifach n7seb l'reste dyal l'qisma bla ma ndir l'qisma l'euclidienne ?

Ila kenti katqsem 3la $(x-a)$ , l'reste howa $P(a)$ (théorème du reste). C'est beaucoup plus rapide !

💡 À retenir : $P(x) = (x-a)Q(x) + P(a)$ .

Ila kenti katqsem 3la $(x-a)$, l'reste howa $P(a)$ (théorème du reste). C'est beaucoup plus rapide !

💡 À retenir : $P(x) = (x-a)Q(x) + P(a)$.

Comment savoir si un polynôme est nul ?

Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

💡 À retenir : $P(x) = 0 \iff a_n = a_{n-1} = \dots = a_0 = 0$ .

Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.

💡 À retenir : $P(x) = 0 \iff a_n = a_{n-1} = \dots = a_0 = 0$.

Est-ce que le degré de P+Q est toujours deg(P) + deg(Q) ?

Non, c'est faux. Le degré de $P+Q$ est inférieur ou égal au maximum des degrés de $P$ et $Q$ .

💡 À retenir : $\deg(P+Q) \leq \max(\deg(P), \deg(Q))$ .

Non, c'est faux. Le degré de $P+Q$ est inférieur ou égal au maximum des degrés de $P$ et $Q$.

💡 À retenir : $\deg(P+Q) \leq \max(\deg(P), \deg(Q))$.

Comment diviser par (x-a) rapidement ?

Utilise la méthode de Horner. Tu places les coefficients sur une ligne et tu descends les valeurs en multipliant par $a$ .

💡 À retenir : C'est une méthode efficace pour éviter les erreurs de calcul.

Utilise la méthode de Horner. Tu places les coefficients sur une ligne et tu descends les valeurs en multipliant par $a$.

💡 À retenir : C'est une méthode efficace pour éviter les erreurs de calcul.

Est-ce que P(x) = 5 est un polynôme ?

Oui, c'est un polynôme de degré 0 (polynôme constant).

💡 À retenir : Les constantes sont des polynômes de degré 0.

Si P(x) a pour racines 1 et 2, est-ce que (x-1)(x-2) divise P(x) ?

Oui, si 1 et 2 sont des racines distinctes, alors le produit $(x-1)(x-2)$ divise $P(x)$ .

💡 À retenir : Si $\alpha$ et $\beta$ sont racines, $P(x)$ est divisible par $(x-\alpha)(x-\beta)$ .

Oui, si 1 et 2 sont des racines distinctes, alors le produit $(x-1)(x-2)$ divise $P(x)$.

💡 À retenir : Si $\alpha$ et $\beta$ sont racines, $P(x)$ est divisible par $(x-\alpha)(x-\beta)$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ .

Vérifier que 1 est une racine de $P(x)$ .
Effectuer la division euclidienne de $P(x)$ par $(x-1)$ .
En déduire la factorisation de $P(x)$ en produit de facteurs du premier degré.

Exercice 1

Soit $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$.

Vérifier que 1 est une racine de $P(x)$.
Effectuer la division euclidienne de $P(x)$ par $(x-1)$.
En déduire la factorisation de $P(x)$ en produit de facteurs du premier degré.

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Exercice 2

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $x^2 + 1 = (x-1)(ax+b) + 2$ .

Exercice 2

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $x^2 + 1 = (x-1)(ax+b) + 2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $P(x) = x^4 - 1$ . Factoriser $P(x)$ dans $\mathbb{R}$ .

Exercice 3

Soit $P(x) = x^4 - 1$. Factoriser $P(x)$ dans $\mathbb{R}$.

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