Mathématiques · Prépa concours post-bac — ISPITS (paramédical)

Fonctions logarithmes et exponentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Fonction $\ln$ : Définie sur $]0, +\infty[$ , dérivable, $\ln'(x) = \frac{1}{x}$ . Propriétés : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ , $\ln(a^r) = r \ln a$ .
Fonction $\exp$ : Définie sur $\mathbb{R}$ , dérivable, $\exp'(x) = \exp(x)$ . Propriétés : $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ , $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ .
Limites fondamentales : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ , $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ , $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ , $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ .

Méthodes à maîtriser

Résoudre $e^{f(x)} = k$ en appliquant $\ln$ des deux côtés.
Résoudre $\ln(f(x)) = k$ en appliquant $\exp$ après avoir posé la condition $f(x) > 0$ .
Étudier le signe d'une expression avec $\ln$ ou $\exp$ pour trouver les variations.

Exemples corrigés

Équation : $\ln(x) = 2 \iff x = e^2$ .
Dérivée : $f(x) = x e^{2x} \implies f'(x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = (1+2x)e^{2x}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition pour $\ln(x)$ (toujours $x > 0$ ).
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln a + \ln b$ (c'est faux !).
Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif.

L'essentiel du cours

Fonction $\ln$ : Définie sur $]0, +\infty[$, dérivable, $\ln'(x) = \frac{1}{x}$. Propriétés : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln(a^r) = r \ln a$.
Fonction $\exp$ : Définie sur $\mathbb{R}$, dérivable, $\exp'(x) = \exp(x)$. Propriétés : $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$.
Limites fondamentales : $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$, $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$, $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$.

Méthodes à maîtriser

Résoudre $e^{f(x)} = k$ en appliquant $\ln$ des deux côtés.
Résoudre $\ln(f(x)) = k$ en appliquant $\exp$ après avoir posé la condition $f(x) > 0$.
Étudier le signe d'une expression avec $\ln$ ou $\exp$ pour trouver les variations.

Exemples corrigés

Équation : $\ln(x) = 2 \iff x = e^2$.
Dérivée : $f(x) = x e^{2x} \implies f'(x) = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = (1+2x)e^{2x}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition pour $\ln(x)$ (toujours $x > 0$).
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln a + \ln b$ (c'est faux !).
Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Fonctions logarithmes et exponentielles

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Quelle est la valeur de $\ln(e^3)$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment lever une indétermination du type infty - infty avec exp ?

Il faut factoriser par le terme dominant (celui qui croît le plus vite).

💡 À retenir : La croissance comparée est ton alliée.

kifach n3ref wach l'man7ana fo9 aw te7t l'mousta9im ?

Étudie le signe de la différence $f(x) - y$ . Si c'est positif, la courbe est au-dessus.

💡 À retenir : Signe de $f(x) - y$ .

Étudie le signe de la différence $f(x) - y$. Si c'est positif, la courbe est au-dessus.

💡 À retenir : Signe de $f(x) - y$.

Quelle est la dérivée de ln(u(x)) ?

La formule est $( \ln(u(x)) )' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier de diviser par $u(x)$ .

La formule est $( \ln(u(x)) )' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

💡 À retenir : Ne pas oublier de diviser par $u(x)$.

Est-ce que ln(e^x) = x ?

Oui, pour tout $x$ réel, car $\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques.

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln(x)} = x$ (pour $x>0$ ).

Oui, pour tout $x$ réel, car $\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques.

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$ et $e^{\ln(x)} = x$ (pour $x>0$).

Comment calculer la limite de x^2 e^x en -infty ?

C'est une forme indéterminée, mais par croissance comparée, la limite est 0.

💡 À retenir : L'exponentielle l'emporte sur les polynômes en $-\infty$ .

C'est une forme indéterminée, mais par croissance comparée, la limite est 0.

💡 À retenir : L'exponentielle l'emporte sur les polynômes en $-\infty$.

Est-ce que ln(1) = 0 ?

Oui, c'est une valeur remarquable à connaître par cœur.

💡 À retenir : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$ .

Oui, c'est une valeur remarquable à connaître par cœur.

💡 À retenir : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.

Comment trouver l'équation de la tangente ?

Utilise la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

💡 À retenir : Applique la formule avec la dérivée calculée.

Utilise la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

💡 À retenir : Applique la formule avec la dérivée calculée.

Peut-on simplifier frac{e^{2x}}{e^x} ?

Oui, cela donne $e^{2x-x} = e^x$ .

💡 À retenir : $e^a / e^b = e^{a-b}$ .

Oui, cela donne $e^{2x-x} = e^x$.

💡 À retenir : $e^a / e^b = e^{a-b}$.

Est-ce que ln(x^2) = 2ln(x) est toujours vrai ?

Non, c'est vrai seulement si $x > 0$ . Si $x < 0$ , $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ .

💡 À retenir : $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ est la forme générale.

Non, c'est vrai seulement si $x > 0$. Si $x < 0$, $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.

💡 À retenir : $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ est la forme générale.

wach e^x katkon 3emrha saliba ?

Non, $e^x$ est strictement positive pour tout $x$ réel. C'est une propriété fondamentale.

💡 À retenir : $e^x > 0$ toujours.

Non, $e^x$ est strictement positive pour tout $x$ réel. C'est une propriété fondamentale.

💡 À retenir : $e^x > 0$ toujours.

Comment savoir si je dois utiliser ln ou exp ?

Si l'inconnue $x$ est en exposant, utilise $\ln$ pour la "descendre".
Si l'inconnue $x$ est à l'intérieur d'un logarithme, utilise $\exp$ pour "libérer" $x$ .

💡 À retenir : $\ln$ et $\exp$ sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.

Si l'inconnue $x$ est en exposant, utilise $\ln$ pour la "descendre".
Si l'inconnue $x$ est à l'intérieur d'un logarithme, utilise $\exp$ pour "libérer" $x$.