Mathématiques · Prépa concours post-bac — ISPITS (paramédical)

Logique et raisonnements

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Proposition : Une phrase mathématique qui est soit vraie (V), soit fausse (F).
Connecteurs : $\neg P$ (non P), $P \land Q$ (et), $P \lor Q$ (ou), $P \implies Q$ (implication), $P \iff Q$ (équivalence).
Quantificateurs : $\forall$ (pour tout), $\exists$ (il existe).
Raisonnement par récurrence : Pour prouver $P(n)$ $P (n)$ pour tout $n \geq n_0$ $n \geq n_{0}$ :
1. Initialisation : vérifier $P(n_0)$ .
2. Hérédité : supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$ vraie.
Raisonnement par l'absurde : Pour montrer $P$ , on suppose $\neg P$ et on cherche une contradiction.
Raisonnement par contraposée : Pour montrer $P \implies Q$ , on montre $\neg Q \implies \neg P$ .

Méthodes à maîtriser

Nier une proposition : $\neg(\forall x, P(x)) \iff \exists x, \neg P(x)$ et $\neg(\exists x, P(x)) \iff \forall x, \neg P(x)$ .
Utiliser le contre-exemple pour infirmer une proposition universelle.
Choisir le bon raisonnement : récurrence pour les suites, absurde pour les nombres irrationnels.

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $2^n > n$ $2^{n} > n$ pour $n \in \mathbb{N}$ $n \in N$ .
1. $n=0 : 2^0=1 > 0$ (Vrai).
2. Supposons $2^n > n$ . Alors $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2n$ . Comme $2n = n+n \geq n+1$ pour $n \geq 1$ , alors $2^{n+1} > n+1$ .
Absurde : Montrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ . On suppose $\sqrt{2} = p/q$ irréductible, on arrive à $p$ et $q$ pairs, contradiction.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $\forall$ et $\exists$ lors de la négation.
Penser que $P \implies Q$ est équivalent à $Q \implies P$ .

L'essentiel du cours

Proposition : Une phrase mathématique qui est soit vraie (V), soit fausse (F).
Connecteurs : $\neg P$ (non P), $P \land Q$ (et), $P \lor Q$ (ou), $P \implies Q$ (implication), $P \iff Q$ (équivalence).
Quantificateurs : $\forall$ (pour tout), $\exists$ (il existe).
Raisonnement par récurrence : Pour prouver $P(n)$ pour tout $n \geq n_0$ :
1. Initialisation : vérifier $P(n_0)$.
2. Hérédité : supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$ vraie.
Raisonnement par l'absurde : Pour montrer $P$, on suppose $\neg P$ et on cherche une contradiction.
Raisonnement par contraposée : Pour montrer $P \implies Q$, on montre $\neg Q \implies \neg P$.

Méthodes à maîtriser

Nier une proposition : $\neg(\forall x, P(x)) \iff \exists x, \neg P(x)$ et $\neg(\exists x, P(x)) \iff \forall x, \neg P(x)$.
Utiliser le contre-exemple pour infirmer une proposition universelle.
Choisir le bon raisonnement : récurrence pour les suites, absurde pour les nombres irrationnels.

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $2^n > n$ pour $n \in \mathbb{N}$.
1. $n=0 : 2^0=1 > 0$ (Vrai).
2. Supposons $2^n > n$. Alors $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n > 2n$. Comme $2n = n+n \geq n+1$ pour $n \geq 1$, alors $2^{n+1} > n+1$.
Absurde : Montrer que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. On suppose $\sqrt{2} = p/q$ irréductible, on arrive à $p$ et $q$ pairs, contradiction.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $\forall$ et $\exists$ lors de la négation.
Penser que $P \implies Q$ est équivalent à $Q \implies P$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Logique et raisonnements

1/4

La négation de " $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 2$ " est :

La négation de "$\exists x \in \mathbb{R}, x^2 = 2$" est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'implication P implies Q est la même chose que Q implies P ?

Non, ce n'est pas la même chose. $Q \implies P$ est appelée la "réciproque" de $P \implies Q$ . Par exemple, "s'il pleut, le sol est mouillé" est vrai, mais "si le sol est mouillé, il pleut" est faux (il peut avoir été arrosé).

💡 À retenir : L'implication n'est pas symétrique.

Non, ce n'est pas la même chose. $Q \implies P$ est appelée la "réciproque" de $P \implies Q$. Par exemple, "s'il pleut, le sol est mouillé" est vrai, mais "si le sol est mouillé, il pleut" est faux (il peut avoir été arrosé).

💡 À retenir : L'implication n'est pas symétrique.

Kifach n3ref imta nkhdem b-l-istidlal b-l-khalf ?

Kankhedmo b-l-khalf (absurde) ila lqina rassek m7bous m3a chi khassiya s3iba t-byna direct. Kanhawlo nfardo bli l-khassiya ghalta, w ila lqina chi "contradiction" (chi 7aja msta7il tkon, bhal $1=0$ ), rah l-fardiya dyalna hiya li ghalta, w l-khassiya s7i7a.

💡 À retenir : L'absurde est utile pour montrer des inégalités ou des non-appartenances.

Kankhedmo b-l-khalf (absurde) ila lqina rassek m7bous m3a chi khassiya s3iba t-byna direct. Kanhawlo nfardo bli l-khassiya ghalta, w ila lqina chi "contradiction" (chi 7aja msta7il tkon, bhal $1=0$), rah l-fardiya dyalna hiya li ghalta, w l-khassiya s7i7a.

💡 À retenir : L'absurde est utile pour montrer des inégalités ou des non-appartenances.

Comment nier la proposition : "Pour tout x, x^2 0" ?

La négation de $\forall x, P(x)$ est $\exists x, \neg P(x)$ . Ici, la négation est : "Il existe au moins un $x$ tel que $x^2 \leq 0$ ".

💡 À retenir : $\forall$ devient $\exists$ et l'inégalité s'inverse.

La négation de $\forall x, P(x)$ est $\exists x, \neg P(x)$. Ici, la négation est : "Il existe au moins un $x$ tel que $x^2 \leq 0$".

💡 À retenir : $\forall$ devient $\exists$ et l'inégalité s'inverse.

Chno hiya l-farq bin "et" (land) w "ou" (lor) f-l-mantiq ?

"Et" ( $\land$ ) : $P \land Q$ katkon s7i7a ghir ila kanw $P$ w $Q$ b-jouj s7a7.
"Ou" ( $\lor$ ) : $P \lor Q$ katkon s7i7a ila kan 3la l-aqal wa7da fihom s7i7a.

💡 À retenir : "Et" est exigeant, "Ou" est permissif.

"Et" ($\land$) : $P \land Q$ katkon s7i7a ghir ila kanw $P$ w $Q$ b-jouj s7a7.
"Ou" ($\lor$) : $P \lor Q$ katkon s7i7a ila kan 3la l-aqal wa7da fihom s7i7a.

💡 À retenir : "Et" est exigeant, "Ou" est permissif.

Peut-on utiliser la récurrence pour tout type d'exercice ?

Non, la récurrence est réservée aux propriétés dépendant d'un entier naturel $n$ (souvent dans les suites ou les sommes).

💡 À retenir : Récurrence = Entiers naturels ( $n \in \mathbb{N}$ ).

Non, la récurrence est réservée aux propriétés dépendant d'un entier naturel $n$ (souvent dans les suites ou les sommes).

💡 À retenir : Récurrence = Entiers naturels ($n \in \mathbb{N}$).

Kifach n-byna bli chi 7aja "fausse" b-l-mantiq ?

Bach t-byna chi khassiya universelle ( $\forall x, P(x)$ ) ghalta, kafi t-lqa "contre-exemple" (مثال مضاد). Y3ni t-lqa ghir wa7d l-3onsor $x_0$ li fih $P(x_0)$ ghalta.

💡 À retenir : Un seul contre-exemple suffit pour invalider une proposition universelle.

Bach t-byna chi khassiya universelle ($\forall x, P(x)$) ghalta, kafi t-lqa "contre-exemple" (مثال مضاد). Y3ni t-lqa ghir wa7d l-3onsor $x_0$ li fih $P(x_0)$ ghalta.

💡 À retenir : Un seul contre-exemple suffit pour invalider une proposition universelle.

Est-ce que P iff Q signifie que P et Q sont identiques ?

Non, cela signifie qu'elles ont la même valeur de vérité. Elles sont soit toutes les deux vraies, soit toutes les deux fausses.

💡 À retenir : Équivalence = même valeur de vérité.

Est-ce que la contraposée est toujours vraie si l'implication est vraie ?

Oui, l'implication $P \implies Q$ est logiquement équivalente à sa contraposée $\neg Q \implies \neg P$ . C'est une règle fondamentale.

💡 À retenir : $P \implies Q \equiv \neg Q \implies \neg P$ .

Oui, l'implication $P \implies Q$ est logiquement équivalente à sa contraposée $\neg Q \implies \neg P$. C'est une règle fondamentale.

💡 À retenir : $P \implies Q \equiv \neg Q \implies \neg P$.

Est-ce que je dois toujours écrire "soit n in mathbb{N}" dans la récurrence ?

Oui, il faut toujours préciser l'ensemble de départ et l'initialisation pour que la démonstration soit rigoureuse.

💡 À retenir : La rigueur est la clé de la logique.

Est-ce que la négation de x 0 est x < 0 ?

Non, c'est $x \leq 0$ . Il ne faut jamais oublier le cas de l'égalité.

💡 À retenir : La négation de $>$ est $\leq$ , et celle de $\geq$ est $<$ .

Non, c'est $x \leq 0$. Il ne faut jamais oublier le cas de l'égalité.

💡 À retenir : La négation de $>$ est $\leq$, et celle de $\geq$ est $<$.

Est-ce que le raisonnement par l'absurde est obligatoire pour montrer qu'un nombre est irrationnel ?

C'est la méthode la plus classique et la plus efficace pour ce type de problème.

💡 À retenir : Irrationnel $\implies$ Absurde.

C'est la méthode la plus classique et la plus efficace pour ce type de problème.

💡 À retenir : Irrationnel $\implies$ Absurde.

Est-ce que je peux utiliser des symboles logiques dans ma rédaction d'examen ?

Oui, mais avec modération. Il est préférable de rédiger des phrases complètes pour assurer la clarté de la correction.

💡 À retenir : Le correcteur préfère une explication claire à une suite de symboles.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ .

Exercice 1

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Montrer par contraposée que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair ( $n \in \mathbb{N}$ ).

Exercice 2

Montrer par contraposée que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair ($n \in \mathbb{N}$).

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Montrer par l'absurde que $\sqrt{3}$ n'est pas un nombre rationnel.

Exercice 3

Montrer par l'absurde que $\sqrt{3}$ n'est pas un nombre rationnel.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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