Mathématiques · Prépa concours post-bac — ISPITS (paramédical)

Équations différentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Pour le niveau ISPITS, nous étudions les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants de la forme : $(E) : y' + ay = b$ où $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$ .

Solution de l'équation homogène ( $y' + ay = 0$ ) : Les solutions sont de la forme $f(x) = C e^{-ax}$ avec $C \in \mathbb{R}$ .
Solution particulière : Pour $(E)$ , on cherche une solution constante $y_p = k$ . En remplaçant dans $(E)$ , on obtient $0 + ak = b$ , donc $k = \frac{b}{a}$ .
Solution générale : La solution générale de $(E)$ est la somme de la solution homogène et de la solution particulière : $f(x) = C e^{-ax} + \frac{b}{a}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier $a$ et $b$ : Toujours mettre l'équation sous la forme $y' = -ay + b$ .
Déterminer la constante $C$ : Utiliser la condition initiale $f(x_0) = y_0$ pour résoudre l'équation $C e^{-ax_0} + \frac{b}{a} = y_0$ .
Vérification : Dériver la solution trouvée et vérifier si elle satisfait l'équation initiale.

Exemples corrigés

Exemple : Résoudre $y' + 2y = 6$ avec $y(0) = 4$ .

Homogène : $y' + 2y = 0 \implies y_h = C e^{-2x}$ .
Particulière : $2k = 6 \implies k = 3$ .
Générale : $y = C e^{-2x} + 3$ .
Condition : $y(0) = C e^0 + 3 = 4 \implies C + 3 = 4 \implies C = 1$ . Solution : $f(x) = e^{-2x} + 3$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ dans la solution générale.
Se tromper de signe dans l'exposant de l'exponentielle (c'est $-ax$ et non $ax$ ).
Ne pas diviser par $a$ lors de la recherche de la solution particulière.

L'essentiel du cours

Solution de l'équation homogène ($y' + ay = 0$) : Les solutions sont de la forme $f(x) = C e^{-ax}$ avec $C \in \mathbb{R}$.
Solution particulière : Pour $(E)$, on cherche une solution constante $y_p = k$. En remplaçant dans $(E)$, on obtient $0 + ak = b$, donc $k = \frac{b}{a}$.
Solution générale : La solution générale de $(E)$ est la somme de la solution homogène et de la solution particulière : $f(x) = C e^{-ax} + \frac{b}{a}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier $a$ et $b$ : Toujours mettre l'équation sous la forme $y' = -ay + b$.
Déterminer la constante $C$ : Utiliser la condition initiale $f(x_0) = y_0$ pour résoudre l'équation $C e^{-ax_0} + \frac{b}{a} = y_0$.
Vérification : Dériver la solution trouvée et vérifier si elle satisfait l'équation initiale.

Exemples corrigés

Exemple : Résoudre $y' + 2y = 6$ avec $y(0) = 4$.

Homogène : $y' + 2y = 0 \implies y_h = C e^{-2x}$.
Particulière : $2k = 6 \implies k = 3$.
Générale : $y = C e^{-2x} + 3$.
Condition : $y(0) = C e^0 + 3 = 4 \implies C + 3 = 4 \implies C = 1$. Solution : $f(x) = e^{-2x} + 3$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ dans la solution générale.
Se tromper de signe dans l'exposant de l'exponentielle (c'est $-ax$ et non $ax$).
Ne pas diviser par $a$ lors de la recherche de la solution particulière.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Équations différentielles

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Quelle est la solution de $y' + 5y = 0$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que a peut être nul ?

Si $a=0$ , l'équation devient $y' = b$ . C'est une équation très simple où $y$ est une primitive de $b$ . La solution est alors $y(x) = bx + C$ .

💡 À retenir : Si $a=0$ , on ne divise pas par zéro, on intègre directement.

Si $a=0$, l'équation devient $y' = b$. C'est une équation très simple où $y$ est une primitive de $b$. La solution est alors $y(x) = bx + C$.

💡 À retenir : Si $a=0$, on ne divise pas par zéro, on intègre directement.

kifach n3ref wach l-hal li l9it s7i7?

Bach t3ref l-hal s7i7, diri 3 jwayeh:

Ch9i (dériver) d-dala li l9iti.
3ewdi $y'$ w $y$ f l-mo3adala l-asliya.
Ila l9iti l-طرف الثاني (b), ra l-hal s7i7.

💡 À retenir : La vérification est le meilleur moyen d'éviter les fautes d'inattention.

Bach t3ref l-hal s7i7, diri 3 jwayeh:

Ch9i (dériver) d-dala li l9iti.
3ewdi $y'$ w $y$ f l-mo3adala l-asliya.
Ila l9iti l-طرف الثاني (b), ra l-hal s7i7.

💡 À retenir : La vérification est le meilleur moyen d'éviter les fautes d'inattention.

Est-ce que la solution particulière est toujours une constante ?

Pour le programme ISPITS (équations $y' + ay = b$ avec $b$ constante), oui, la solution particulière est toujours une constante.

💡 À retenir : Si $b$ est une constante, cherchez une solution sous forme de constante.

Pour le programme ISPITS (équations $y' + ay = b$ avec $b$ constante), oui, la solution particulière est toujours une constante.

💡 À retenir : Si $b$ est une constante, cherchez une solution sous forme de constante.

chhal mn hal katkon 3nd l-mo3adala?

L-mo3adala $y' + ay = b$ 3ndha ma la nihaya (infinité) dyal l-holoul, hit $C$ momkin tkon ay 3adad 7a9i9i.

💡 À retenir : Sans condition initiale, il y a une infinité de solutions.

L-mo3adala $y' + ay = b$ 3ndha ma la nihaya (infinité) dyal l-holoul, hit $C$ momkin tkon ay 3adad 7a9i9i.

💡 À retenir : Sans condition initiale, il y a une infinité de solutions.

kifach n7seb C ila kan l-condition y(1) = 2?

Tktbi l-hal l-3am: $y(x) = C e^{-ax} + \frac{b}{a}$ .
T3ewdi $x$ b 1: $y(1) = C e^{-a} + \frac{b}{a} = 2$ .
T7eli l-mo3adala bach t-l9ay $C$ : $C = (2 - \frac{b}{a}) e^a$ .

💡 À retenir : Remplace toujours $x$ par la valeur donnée dans la parenthèse.

Tktbi l-hal l-3am: $y(x) = C e^{-ax} + \frac{b}{a}$.
T3ewdi $x$ b 1: $y(1) = C e^{-a} + \frac{b}{a} = 2$.
T7eli l-mo3adala bach t-l9ay $C$: $C = (2 - \frac{b}{a}) e^a$.

💡 À retenir : Remplace toujours $x$ par la valeur donnée dans la parenthèse.

Est-ce que y' + ay = b est la seule forme au programme ?

Oui, pour le niveau ISPITS, seules les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants sont au programme.

💡 À retenir : Ne perdez pas de temps sur les équations du second ordre.

Est-ce que C peut être nul ?

Oui, si la condition initiale tombe exactement sur la solution particulière, alors $C$ sera égal à $0$ .

💡 À retenir : $C=0$ est une valeur tout à fait possible.

Oui, si la condition initiale tombe exactement sur la solution particulière, alors $C$ sera égal à $0$.

💡 À retenir : $C=0$ est une valeur tout à fait possible.

Est-ce que la solution particulière dépend de C ?

Non, la solution particulière est indépendante de $C$ . Elle est fixée par les paramètres $a$ et $b$ .

💡 À retenir : $C$ n'apparaît que dans la partie homogène.

Non, la solution particulière est indépendante de $C$. Elle est fixée par les paramètres $a$ et $b$.

💡 À retenir : $C$ n'apparaît que dans la partie homogène.

Que faire si a est négatif ?

La méthode reste identique. Si $a = -2$ , l'équation est $y' - 2y = b$ . La solution homogène devient $C e^{2x}$ .

💡 À retenir : Le signe de l'exposant change selon le signe de $a$ .

La méthode reste identique. Si $a = -2$, l'équation est $y' - 2y = b$. La solution homogène devient $C e^{2x}$.

💡 À retenir : Le signe de l'exposant change selon le signe de $a$.

Est-ce que b peut être une fonction comme x ou e^x ?

Non, dans le cadre du programme ISPITS, $b$ est toujours une constante réelle.

💡 À retenir : Si $b$ n'est pas une constante, c'est hors programme.

Non, dans le cadre du programme ISPITS, $b$ est toujours une constante réelle.

💡 À retenir : Si $b$ n'est pas une constante, c'est hors programme.

Est-ce que je dois toujours écrire C in mathbb{R} ?

Oui, c'est une exigence de rigueur mathématique lors de l'examen national.

💡 À retenir : N'oubliez jamais de préciser l'ensemble d'appartenance de $C$ .

Oui, c'est une exigence de rigueur mathématique lors de l'examen national.

💡 À retenir : N'oubliez jamais de préciser l'ensemble d'appartenance de $C$.

Est-ce que l'ordre de la somme dans la solution générale importe ?

Non, $y = \frac{b}{a} + C e^{-ax}$ est identique à $y = C e^{-ax} + \frac{b}{a}$ .

💡 À retenir : L'addition est commutative.

Non, $y = \frac{b}{a} + C e^{-ax}$ est identique à $y = C e^{-ax} + \frac{b}{a}$.

💡 À retenir : L'addition est commutative.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' + 3y = 9$ .

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' + 3y = 9$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' - 2y = 4$ avec la condition initiale $y(0) = 1$ .

Exercice 2

Résoudre l'équation différentielle $(E) : y' - 2y = 4$ avec la condition initiale $y(0) = 1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(E) : 2y' + 4y = 8$ . Déterminer la solution passant par le point $(0, 5)$ .

Exercice 3

Soit $(E) : 2y' + 4y = 8$. Déterminer la solution passant par le point $(0, 5)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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