Mathématiques · Prépa concours post-bac — ISPITS (paramédical)

Ensembles et applications

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Ensembles : Soient $A$ $A$ et $B$ $B$ deux parties d'un ensemble $E$ $E$ .
- Intersection : $A \cap B = \{x \in E / x \in A \text{ et } x \in B\}$ .
- Réunion : $A \cup B = \{x \in E / x \in A \text{ ou } x \in B\}$ .
- Complémentaire : $\bar{A} = \{x \in E / x \notin A\}$ .
Applications : Une application $f: E \to F$ $f : E \to F$ associe à chaque $x \in E$ $x \in E$ un unique $y \in F$ $y \in F$ noté $f(x)$ $f (x)$ .
- $f$ est injective si : $\forall x_1, x_2 \in E, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ .
- $f$ est surjective si : $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$ .
- $f$ est bijective si elle est injective et surjective.

Méthodes à maîtriser

Pour montrer $A \subset B$ : Prendre $x \in A$ et montrer que $x \in B$ .
Pour montrer $A = B$ : Montrer $A \subset B$ et $B \subset A$ .
Pour montrer l'injectivité : Supposer $f(x_1) = f(x_2)$ et arriver à $x_1 = x_2$ .
Pour montrer la surjectivité : Prendre $y \in F$ et résoudre l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x$ .

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 2x+1$ $f : R \to R, x \mapsto 2 x + 1$ .
- Injectivité : $2x_1+1 = 2x_2+1 \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2$ . Donc $f$ est injective.
- Surjectivité : $2x+1 = y \implies x = \frac{y-1}{2}$ . Pour tout $y \in \mathbb{R}$ , il existe $x$ tel que $f(x)=y$ . Donc $f$ est surjective.

Erreurs fréquentes

Confondre l'appartenance ( $\in$ ) et l'inclusion ( $\subset$ ).
Oublier de vérifier l'existence de $x$ dans l'ensemble de départ pour la surjectivité.
Penser qu'une fonction est toujours bijective (ex: $x^2$ sur $\mathbb{R}$ ne l'est pas).

L'essentiel du cours

Ensembles : Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$.
- Intersection : $A \cap B = {x \in E / x \in A \text{ et } x \in B}$.
- Réunion : $A \cup B = {x \in E / x \in A \text{ ou } x \in B}$.
- Complémentaire : $\bar{A} = {x \in E / x \notin A}$.
Applications : Une application $f: E \to F$ associe à chaque $x \in E$ un unique $y \in F$ noté $f(x)$.
- $f$ est injective si : $\forall x_1, x_2 \in E, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$.
- $f$ est surjective si : $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$.
- $f$ est bijective si elle est injective et surjective.

Méthodes à maîtriser

Pour montrer $A \subset B$ : Prendre $x \in A$ et montrer que $x \in B$.
Pour montrer $A = B$ : Montrer $A \subset B$ et $B \subset A$.
Pour montrer l'injectivité : Supposer $f(x_1) = f(x_2)$ et arriver à $x_1 = x_2$.
Pour montrer la surjectivité : Prendre $y \in F$ et résoudre l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x$.

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 2x+1$.
- Injectivité : $2x_1+1 = 2x_2+1 \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2$. Donc $f$ est injective.
- Surjectivité : $2x+1 = y \implies x = \frac{y-1}{2}$. Pour tout $y \in \mathbb{R}$, il existe $x$ tel que $f(x)=y$. Donc $f$ est surjective.

Erreurs fréquentes

Confondre l'appartenance ($\in$) et l'inclusion ($\subset$).
Oublier de vérifier l'existence de $x$ dans l'ensemble de départ pour la surjectivité.
Penser qu'une fonction est toujours bijective (ex: $x^2$ sur $\mathbb{R}$ ne l'est pas).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Ensembles et applications

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Soit $A = \{1, 2\}$ . Quel est l'ensemble des parties $\mathcal{P}(A)$ ?

Soit $A = {1, 2}$. Quel est l'ensemble des parties $\mathcal{P}(A)$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre in et subset ?

$\in$ s'utilise entre un élément et un ensemble (ex: $2 \in \mathbb{N}$ ).
$\subset$ s'utilise entre deux ensembles (ex: $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ ).

💡 À retenir : On ne dit jamais $2 \subset \mathbb{N}$ , c'est une faute grave.

$\in$ s'utilise entre un élément et un ensemble (ex: $2 \in \mathbb{N}$).
$\subset$ s'utilise entre deux ensembles (ex: $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$).

💡 À retenir : On ne dit jamais $2 \subset \mathbb{N}$, c'est une faute grave.

Kifach n7seb l-image réciproque f^{-1}(B) ?

Tu prends un élément $x$ dans l'ensemble de départ.
Tu écris la condition $f(x) \in B$ .
Tu résous l'inéquation ou l'équation obtenue pour trouver les valeurs de $x$ .

💡 À retenir : $f^{-1}(B) = \{x \in E / f(x) \in B\}$ .

Tu prends un élément $x$ dans l'ensemble de départ.
Tu écris la condition $f(x) \in B$.
Tu résous l'inéquation ou l'équation obtenue pour trouver les valeurs de $x$.

💡 À retenir : $f^{-1}(B) = {x \in E / f(x) \in B}$.

Est-ce qu'une application est toujours une fonction ?

Oui, en mathématiques, une application est une fonction dont l'ensemble de définition est égal à l'ensemble de départ.

💡 À retenir : Toute application est une fonction, mais pas toute fonction est une application (si le domaine est restreint).

Chno hiya l-farq bin l-injectivité o l-bijectivité ?

L'injectivité : chaque élément de l'arrivée a au plus un antécédent.
La bijectivité : chaque élément de l'arrivée a exactement un antécédent.

💡 À retenir : La bijectivité est une "double condition" (injectivité + surjectivité).

Comment montrer qu'un ensemble est vide ?

Tu supposes qu'il existe un élément $x$ dans cet ensemble.
Tu montres que cela conduit à une contradiction logique (ex: $0=1$ ).

💡 À retenir : La preuve par l'absurde est la méthode reine ici.

Tu supposes qu'il existe un élément $x$ dans cet ensemble.
Tu montres que cela conduit à une contradiction logique (ex: $0=1$).

💡 À retenir : La preuve par l'absurde est la méthode reine ici.

Est-ce que f(A cap B) = f(A) cap f(B) est toujours vrai ?

Non, en général, on a seulement $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ .

💡 À retenir : L'égalité n'est vraie que si $f$ est injective.

Non, en général, on a seulement $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$.

💡 À retenir : L'égalité n'est vraie que si $f$ est injective.

Kifach nbayen bli wahed l-application hiya surjective ?

Fixe un $y$ quelconque dans l'ensemble d'arrivée.
Cherche s'il existe au moins un $x$ dans l'ensemble de départ tel que $f(x) = y$ .
Si tu trouves $x$ en fonction de $y$ , c'est gagné.

💡 À retenir : Il faut toujours vérifier que le $x$ trouvé appartient bien à l'ensemble de départ.

Fixe un $y$ quelconque dans l'ensemble d'arrivée.
Cherche s'il existe au moins un $x$ dans l'ensemble de départ tel que $f(x) = y$.
Si tu trouves $x$ en fonction de $y$, c'est gagné.

💡 À retenir : Il faut toujours vérifier que le $x$ trouvé appartient bien à l'ensemble de départ.

Peut-on avoir une application surjective mais pas injective ?

Oui, par exemple $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, x \mapsto x^2$ .

Elle est surjective car tout positif a une racine.
Elle n'est pas injective car $f(1) = f(-1) = 1$ .

💡 À retenir : La surjectivité ne garantit pas l'unicité de l'antécédent.

Oui, par exemple $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, x \mapsto x^2$.

Elle est surjective car tout positif a une racine.
Elle n'est pas injective car $f(1) = f(-1) = 1$.

💡 À retenir : La surjectivité ne garantit pas l'unicité de l'antécédent.

Qu'est-ce qu'une application composée ?

C'est l'application $g \circ f$ qui associe $x$ à $g(f(x))$ .

💡 À retenir : L'ordre est crucial, $g \circ f$ n'est pas forcément égal à $f \circ g$ .

C'est l'application $g \circ f$ qui associe $x$ à $g(f(x))$.

💡 À retenir : L'ordre est crucial, $g \circ f$ n'est pas forcément égal à $f \circ g$.

La fonction f(x) = frac{1}{x} est-elle une application de mathbb{R} vers mathbb{R} ?

Non, car elle n'est pas définie en $0$ . Pour que ce soit une application, il faut définir $f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$ .

💡 À retenir : Une application doit être définie pour tout élément de l'ensemble de départ.

Non, car elle n'est pas définie en $0$. Pour que ce soit une application, il faut définir $f: \mathbb{R}^* \to \mathbb{R}$.

💡 À retenir : Une application doit être définie pour tout élément de l'ensemble de départ.

Si f est bijective, que peut-on dire de f^{-1} ?

$f^{-1}$ est aussi une application.
$f^{-1}$ est également bijective.

💡 À retenir : $f^{-1}$ est l'application réciproque qui "annule" l'action de $f$ .

$f^{-1}$ est aussi une application.
$f^{-1}$ est également bijective.

💡 À retenir : $f^{-1}$ est l'application réciproque qui "annule" l'action de $f$.

Comment montrer que A = emptyset ?

Montrer que $A \subset \emptyset$ (ce qui est toujours vrai si on montre qu'aucun élément ne peut être dans $A$ ).
Ou utiliser une preuve par l'absurde.

💡 À retenir : Si tu supposes $x \in A$ et que tu trouves une impossibilité, alors $A$ est vide.

Montrer que $A \subset \emptyset$ (ce qui est toujours vrai si on montre qu'aucun élément ne peut être dans $A$).
Ou utiliser une preuve par l'absurde.

💡 À retenir : Si tu supposes $x \in A$ et que tu trouves une impossibilité, alors $A$ est vide.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $A, B$ deux parties de $E$ . Montrer que $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$ .

Exercice 1

Soient $A, B$ deux parties de $E$. Montrer que $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

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Exercice 2

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2 - 2x$ .

$f$ est-elle injective ?
$f$ est-elle surjective ?

Exercice 2

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x^2 - 2x$.

$f$ est-elle injective ?
$f$ est-elle surjective ?

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Exercice 3

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 3x+5$ . Montrer que $f$ est bijective et déterminer $f^{-1}$ .

Exercice 3

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 3x+5$. Montrer que $f$ est bijective et déterminer $f^{-1}$.

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