Mathématiques · Prépa concours post-bac — ISPITS (paramédical)

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une fonction définie de $\mathbb{N}$ vers $\mathbb{R}$ .
Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_0 + n \cdot r$ .
Suite géométrique : $u_{n+1} = u_n \cdot q$ . Terme général : $u_n = u_0 \cdot q^n$ .
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ . Si $>0$ croissante, si $<0$ décroissante.
Convergence : Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ (où $L \in \mathbb{R}$ ).

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : 1) Initialisation, 2) Hérédité (supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$ vraie), 3) Conclusion.
Calcul de limite : Utiliser les limites usuelles des suites ( $q^n$ , $n^k$ , etc.).
Convergence des suites monotones : Toute suite croissante et majorée est convergente.

Exemples corrigés

Soit $u_{n+1} = 2u_n + 3$ avec $u_0 = 1$ . Calculer $u_1 = 2(1)+3 = 5$ .
Soit $v_n = 3^n$ . C'est une suite géométrique de raison $q=3 > 1$ , donc $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $u_n$ et $u_{n+1}$ dans le calcul de la raison.
Croire qu'une suite bornée est forcément convergente (ex: $(-1)^n$ ).

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une fonction définie de $\mathbb{N}$ vers $\mathbb{R}$.
Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_0 + n \cdot r$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = u_n \cdot q$. Terme général : $u_n = u_0 \cdot q^n$.
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$. Si $>0$ croissante, si $<0$ décroissante.
Convergence : Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ (où $L \in \mathbb{R}$).

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : 1) Initialisation, 2) Hérédité (supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$ vraie), 3) Conclusion.
Calcul de limite : Utiliser les limites usuelles des suites ($q^n$, $n^k$, etc.).
Convergence des suites monotones : Toute suite croissante et majorée est convergente.

Exemples corrigés

Soit $u_{n+1} = 2u_n + 3$ avec $u_0 = 1$. Calculer $u_1 = 2(1)+3 = 5$.
Soit $v_n = 3^n$. C'est une suite géométrique de raison $q=3 > 1$, donc $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $u_n$ et $u_{n+1}$ dans le calcul de la raison.
Croire qu'une suite bornée est forcément convergente (ex: $(-1)^n$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites numériques

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La suite $u_n = 3n + 5$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach suite arithmétique wla géométrique ?

Pour l'arithmétique, calcule $u_{n+1} - u_n$ . Si tu trouves un nombre constant $r$ (indépendant de $n$ ), c'est une suite arithmétique.
Pour la géométrique, calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$ ). Si tu trouves un nombre constant $q$ , c'est une suite géométrique.

💡 À retenir : La différence donne la raison $r$ , le quotient donne la raison $q$ .

Pour l'arithmétique, calcule $u_{n+1} - u_n$. Si tu trouves un nombre constant $r$ (indépendant de $n$), c'est une suite arithmétique.
Pour la géométrique, calcule $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ (si $u_n \neq 0$). Si tu trouves un nombre constant $q$, c'est une suite géométrique.

💡 À retenir : La différence donne la raison $r$, le quotient donne la raison $q$.

Chno hiya tari9a bach nbyn b récurrence ?

Initialisation : Vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme (souvent $n=0$ ou $n=1$ ).
Hérédité : Suppose que la propriété est vraie au rang $n$ , puis utilise cette hypothèse pour démontrer qu'elle est vraie au rang $n+1$ .
Conclusion : Écris la phrase type : "D'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$ ".

💡 À retenir : Ne jamais oublier l'étape de l'hypothèse de récurrence.

Initialisation : Vérifie que la propriété est vraie pour le premier terme (souvent $n=0$ ou $n=1$).
Hérédité : Suppose que la propriété est vraie au rang $n$, puis utilise cette hypothèse pour démontrer qu'elle est vraie au rang $n+1$.
Conclusion : Écris la phrase type : "D'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout $n$".

💡 À retenir : Ne jamais oublier l'étape de l'hypothèse de récurrence.

Kifach n7seb la limite dyal suite fiha q^n ?

Si $q > 1$ , alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ .
Si $-1 < q < 1$ , alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ .
Si $q \leq -1$ , la suite n'a pas de limite.

💡 À retenir : La valeur de $q$ détermine tout le comportement de la suite.

Si $q > 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
Si $-1 < q < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$.
Si $q \leq -1$, la suite n'a pas de limite.

💡 À retenir : La valeur de $q$ détermine tout le comportement de la suite.

Une suite croissante est-elle toujours convergente ?

Non. Une suite croissante peut tendre vers $+\infty$ (elle est alors divergente). Pour qu'elle soit convergente, il faut obligatoirement qu'elle soit majorée.

💡 À retenir : Croissante + Majorée = Convergente.

Non. Une suite croissante peut tendre vers $+\infty$ (elle est alors divergente). Pour qu'elle soit convergente, il faut obligatoirement qu'elle soit majorée.

💡 À retenir : Croissante + Majorée = Convergente.

Comment montrer qu'une suite est bornée ?

Il faut montrer qu'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $m \leq u_n \leq M$ pour tout $n$ . Souvent, on utilise la récurrence pour encadrer $u_n$ .

💡 À retenir : "Bornée" signifie à la fois minorée et majorée.

Il faut montrer qu'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $m \leq u_n \leq M$ pour tout $n$. Souvent, on utilise la récurrence pour encadrer $u_n$.

💡 À retenir : "Bornée" signifie à la fois minorée et majorée.

Quelle est la différence entre une suite et une fonction ?

Une fonction est définie sur un intervalle de $\mathbb{R}$ , tandis qu'une suite est définie uniquement sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$ ).

💡 À retenir : Une suite est une fonction discrète.

Une fonction est définie sur un intervalle de $\mathbb{R}$, tandis qu'une suite est définie uniquement sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$).

💡 À retenir : Une suite est une fonction discrète.

Est-ce que je peux utiliser la dérivée pour étudier la monotonie d'une suite ?

Oui, si la suite est définie par $u_n = f(n)$ . Si $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$ , alors la suite $(u_n)$ est croissante.

💡 À retenir : La monotonie de la fonction entraîne celle de la suite.

Oui, si la suite est définie par $u_n = f(n)$. Si $f$ est croissante sur $[0, +\infty[$, alors la suite $(u_n)$ est croissante.

💡 À retenir : La monotonie de la fonction entraîne celle de la suite.

Que faire si u{n+1} = f(un) ?

On ne peut pas calculer directement le terme général. On utilise souvent la récurrence pour montrer une propriété (ex: $u_n > 0$ ) ou on cherche le point fixe $L = f(L)$ pour trouver la limite.

💡 À retenir : Le point fixe est une aide précieuse pour deviner la limite.

On ne peut pas calculer directement le terme général. On utilise souvent la récurrence pour montrer une propriété (ex: $u_n > 0$) ou on cherche le point fixe $L = f(L)$ pour trouver la limite.

💡 À retenir : Le point fixe est une aide précieuse pour deviner la limite.

Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ?

La formule est : $S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$ .

💡 À retenir : Nombre de termes = (indice final - indice initial) + 1.

La formule est : $S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$.

💡 À retenir : Nombre de termes = (indice final - indice initial) + 1.

Comment calculer la somme des termes d'une suite géométrique ?

La formule est : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ (pour $q \neq 1$ ).

💡 À retenir : Attention à bien compter le nombre de termes.

La formule est : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$ (pour $q \neq 1$).

💡 À retenir : Attention à bien compter le nombre de termes.

Est-ce que la limite d'une suite est toujours un nombre ?

Non, la limite peut être $+\infty$ ou $-\infty$ . Dans ce cas, on dit que la suite diverge.

💡 À retenir : Une suite convergente a une limite finie.

Non, la limite peut être $+\infty$ ou $-\infty$. Dans ce cas, on dit que la suite diverge.

💡 À retenir : Une suite convergente a une limite finie.

Pourquoi on étudie le signe de u{n+1} - un ?

Parce que si $u_{n+1} - u_n > 0$ , alors $u_{n+1} > u_n$ , ce qui signifie que la suite augmente (croissante).

💡 À retenir : C'est la définition même de la croissance d'une suite.

Parce que si $u_{n+1} - u_n > 0$, alors $u_{n+1} > u_n$, ce qui signifie que la suite augmente (croissante).

💡 À retenir : C'est la définition même de la croissance d'une suite.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = u_n + 2n + 2$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Montrer par récurrence que $u_n = n(n+1)$ .

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = u_n + 2n + 2$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Montrer par récurrence que $u_n = n(n+1)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q = 1/2$ et $v_0 = 8$ .

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .
Calculer $\lim_{n \to +\infty} v_n$ .

Exercice 2

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q = 1/2$ et $v_0 = 8$.

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
Calculer $\lim_{n \to +\infty} v_n$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(w_n)$ définie par $w_{n+1} = \frac{1}{2}w_n + 1$ et $w_0 = 4$ .

Montrer que $w_n > 2$ pour tout $n$ .
Étudier la monotonie de la suite $(w_n)$ .

Exercice 3

Soit $(w_n)$ définie par $w_{n+1} = \frac{1}{2}w_n + 1$ et $w_0 = 4$.

Montrer que $w_n > 2$ pour tout $n$.
Étudier la monotonie de la suite $(w_n)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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