Mathématiques · Prépa concours post-bac — ISPITS (paramédical)

Généralités sur les fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Ensemble de définition $D_f$ : L'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)$ existe.
Parité : $f$ est paire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x)=f(x)$ . Elle est impaire si $f(-x)=-f(x)$ .
Monotonie : Le taux de variation $T(x,y) = \frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ . Si $T > 0$ , $f$ est croissante.
Bornes : $f$ est majorée par $M$ si $f(x) \leq M$ . Elle est minorée par $m$ si $f(x) \geq m$ .
Composée : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ . Attention au domaine de définition : $x \in D_f$ et $f(x) \in D_g$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Chercher les contraintes (dénominateur $\neq 0$ , racine $\geq 0$ ).
Étudier la parité : Toujours vérifier d'abord si le domaine est symétrique par rapport à 0.
Montrer qu'une fonction est bornée : Utiliser l'encadrement successif ou l'étude des variations.
Étudier la composée : Vérifier que l'image de $f$ est incluse dans le domaine de $g$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = \frac{1}{x^2-1}$ . $D_f = \{x \in \mathbb{R} / x^2-1 \neq 0\} = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ .
Exemple 2 : Soit $f(x) = x^2$ . $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ , donc $f$ est paire.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la symétrie du domaine avant de conclure sur la parité.
Confondre "croissante" et "positive".
Ne pas restreindre le domaine lors de la composition de deux fonctions.

L'essentiel du cours

Ensemble de définition $D_f$ : L'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)$ existe.
Parité : $f$ est paire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x)=f(x)$. Elle est impaire si $f(-x)=-f(x)$.
Monotonie : Le taux de variation $T(x,y) = \frac{f(x)-f(y)}{x-y}$. Si $T > 0$, $f$ est croissante.
Bornes : $f$ est majorée par $M$ si $f(x) \leq M$. Elle est minorée par $m$ si $f(x) \geq m$.
Composée : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Attention au domaine de définition : $x \in D_f$ et $f(x) \in D_g$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ : Chercher les contraintes (dénominateur $\neq 0$, racine $\geq 0$).
Étudier la parité : Toujours vérifier d'abord si le domaine est symétrique par rapport à 0.
Montrer qu'une fonction est bornée : Utiliser l'encadrement successif ou l'étude des variations.
Étudier la composée : Vérifier que l'image de $f$ est incluse dans le domaine de $g$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = \frac{1}{x^2-1}$. $D_f = {x \in \mathbb{R} / x^2-1 \neq 0} = \mathbb{R} \setminus {-1, 1}$.
Exemple 2 : Soit $f(x) = x^2$. $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$, donc $f$ est paire.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la symétrie du domaine avant de conclure sur la parité.
Confondre "croissante" et "positive".
Ne pas restreindre le domaine lors de la composition de deux fonctions.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Généralités sur les fonctions

1/4

Quel est le domaine de définition de $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment trouver l'ensemble de définition d'une fonction avec une racine carrée ?

Identifie l'expression sous la racine, disons $A(x)$ .
Pose l'inéquation $A(x) \geq 0$ .
Résous cette inéquation.
L'ensemble de définition est l'intervalle ou la réunion d'intervalles trouvés.

💡 À retenir : Ce qui est sous une racine carrée doit toujours être positif ou nul.

Identifie l'expression sous la racine, disons $A(x)$.
Pose l'inéquation $A(x) \geq 0$.
Résous cette inéquation.
L'ensemble de définition est l'intervalle ou la réunion d'intervalles trouvés.

💡 À retenir : Ce qui est sous une racine carrée doit toujours être positif ou nul.

Kifach n3ref wach la fonction paire awla impaire ?

Chouf wach $D_f$ symétrique (ila kan $x \in D_f$ khass hta $-x \in D_f$ ).
Hseb $f(-x)$ .
Ila lqiti $f(-x) = f(x)$ , hiya paire.
Ila lqiti $f(-x) = -f(x)$ , hiya impaire.

💡 À retenir : Ila lqiti $f(-x)$ machi hiya $f(x)$ o machi hiya $-f(x)$ , rah la fonction n'est ni paire ni impaire.

Chouf wach $D_f$ symétrique (ila kan $x \in D_f$ khass hta $-x \in D_f$).
Hseb $f(-x)$.
Ila lqiti $f(-x) = f(x)$, hiya paire.
Ila lqiti $f(-x) = -f(x)$, hiya impaire.

💡 À retenir : Ila lqiti $f(-x)$ machi hiya $f(x)$ o machi hiya $-f(x)$, rah la fonction n'est ni paire ni impaire.

C'est quoi la différence entre majorée et bornée ?

Une fonction est majorée si elle ne dépasse jamais une valeur $M$ .
Une fonction est bornée si elle est à la fois majorée (par $M$ ) et minorée (par $m$ ).

💡 À retenir : Une fonction bornée est "coincée" entre deux valeurs, alors qu'une fonction majorée n'a qu'un plafond.

Une fonction est majorée si elle ne dépasse jamais une valeur $M$.
Une fonction est bornée si elle est à la fois majorée (par $M$) et minorée (par $m$).

💡 À retenir : Une fonction bornée est "coincée" entre deux valeurs, alors qu'une fonction majorée n'a qu'un plafond.

Kifach n7seb l'image d'un intervalle [a, b] ?

Chouf wach la fonction croissante awla décroissante f had l'intervalle.
Ila kanet croissante, l'image hiya $[f(a), f(b)]$ .
Ila kanet décroissante, l'image hiya $[f(b), f(a)]$ .

💡 À retenir : Dima hseb les images des bornes o chouf wach la fonction tal3a aw habta.

Chouf wach la fonction croissante awla décroissante f had l'intervalle.
Ila kanet croissante, l'image hiya $[f(a), f(b)]$.
Ila kanet décroissante, l'image hiya $[f(b), f(a)]$.

💡 À retenir : Dima hseb les images des bornes o chouf wach la fonction tal3a aw habta.

Est-ce qu'une fonction peut être à la fois paire et impaire ?

Oui, il existe une seule fonction qui est à la fois paire et impaire : la fonction nulle $f(x) = 0$ .

💡 À retenir : Pour toute autre fonction, si elle est paire, elle ne peut pas être impaire.

Oui, il existe une seule fonction qui est à la fois paire et impaire : la fonction nulle $f(x) = 0$.

💡 À retenir : Pour toute autre fonction, si elle est paire, elle ne peut pas être impaire.

Chno hiya la fonction composée g circ f ?

C'est appliquer $f$ d'abord, puis appliquer $g$ au résultat.
On écrit $g(f(x))$ .
Il faut que $f(x)$ soit dans le domaine de $g$ .

💡 À retenir : L'ordre est important, en général $g \circ f \neq f \circ g$ .

C'est appliquer $f$ d'abord, puis appliquer $g$ au résultat.
On écrit $g(f(x))$.
Il faut que $f(x)$ soit dans le domaine de $g$.

💡 À retenir : L'ordre est important, en général $g \circ f \neq f \circ g$.

Comment montrer qu'une fonction est croissante sur un intervalle ?

Prends deux réels $x_1$ et $x_2$ dans l'intervalle tels que $x_1 < x_2$ .
Calcule $f(x_1) - f(x_2)$ ou le taux de variation $T = \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$ .
Si le résultat est positif, la fonction est croissante.

💡 À retenir : Si $x_1 < x_2$ implique $f(x_1) < f(x_2)$ , alors la fonction conserve l'ordre.

Prends deux réels $x_1$ et $x_2$ dans l'intervalle tels que $x_1 < x_2$.
Calcule $f(x_1) - f(x_2)$ ou le taux de variation $T = \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$.
Si le résultat est positif, la fonction est croissante.

💡 À retenir : Si $x_1 < x_2$ implique $f(x_1) < f(x_2)$, alors la fonction conserve l'ordre.

Est-ce que le domaine de définition d'une somme est l'intersection des domaines ?

Oui, pour que $f(x) + g(x)$ existe, il faut que $f(x)$ existe ET $g(x)$ existe. Donc $D_{f+g} = D_f \cap D_g$ .

💡 À retenir : C'est la même règle pour la différence et le produit.

Oui, pour que $f(x) + g(x)$ existe, il faut que $f(x)$ existe ET $g(x)$ existe. Donc $D_{f+g} = D_f \cap D_g$.

💡 À retenir : C'est la même règle pour la différence et le produit.

Comment savoir si une fonction est injective ?

On résout l'équation $f(x) = y$ .
Si pour chaque $y$ , il existe au plus un seul $x$ , alors elle est injective.

💡 À retenir : Graphiquement, une fonction est injective si toute droite horizontale coupe la courbe au plus une fois.

On résout l'équation $f(x) = y$.
Si pour chaque $y$, il existe au plus un seul $x$, alors elle est injective.

💡 À retenir : Graphiquement, une fonction est injective si toute droite horizontale coupe la courbe au plus une fois.

Est-ce qu'une fonction strictement monotone est toujours bijective ?

Non, elle est bijective de son domaine vers son image.

💡 À retenir : La stricte monotonie garantit l'injectivité, mais pour la surjectivité, il faut restreindre l'ensemble d'arrivée à l'image de la fonction.

Kifach n3ref wach la fonction f majorée par M ?

Khass tben biin $f(x) \leq M$ pour tout $x$ de $D_f$ .
Diri $f(x) - M$ o chouf wach salba.

💡 À retenir : Ila lqiti $f(x) - M \leq 0$ , rah la fonction majorée par $M$ .

Khass tben biin $f(x) \leq M$ pour tout $x$ de $D_f$.
Diri $f(x) - M$ o chouf wach salba.

💡 À retenir : Ila lqiti $f(x) - M \leq 0$, rah la fonction majorée par $M$.

Peut-on simplifier f(x) = frac{x^2-1}{x-1} en f(x) = x+1 ?

Oui, mais seulement si $x \neq 1$ . Le domaine de définition reste $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier de préciser le domaine de définition avant toute simplification.

Oui, mais seulement si $x \neq 1$. Le domaine de définition reste $\mathbb{R} \setminus {1}$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de préciser le domaine de définition avant toute simplification.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Étudier la parité de $f$ .
Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, |f(x)| \leq 1$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$.

Déterminer $D_f$.
Étudier la parité de $f$.
Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, |f(x)| \leq 1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \sqrt{x-1}$ et $g(x) = x^2+1$ .

Déterminer $D_f$ et $D_g$ .
Déterminer l'expression de $(g \circ f)(x)$ et son domaine de définition.

Exercice 2

Soit $f(x) = \sqrt{x-1}$ et $g(x) = x^2+1$.

Déterminer $D_f$ et $D_g$.
Déterminer l'expression de $(g \circ f)(x)$ et son domaine de définition.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$ .

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $]-1, +\infty[$ .
Déterminer l'image de l'intervalle $[0, 2]$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$.

Montrer que $f$ est strictement croissante sur $]-1, +\infty[$.
Déterminer l'image de l'intervalle $[0, 2]$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Logique et raisonnements Ensembles et applications Calcul algébrique et polynômes Nombres complexes Limites et continuité Dérivabilité et étude de fonctions Suites numériques Fonctions logarithmes et exponentielles Primitives et calcul intégral Équations différentielles Dénombrement et analyse combinatoire Probabilités Statistiques descriptives