Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

ثنائي القطب RC

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Un condensateur est constitué de deux armatures séparées par un isolant. Sa capacité $C$ s'exprime en Farad (F).
Relations fondamentales :
- Charge : $q = C \cdot u_C$
- Intensité : $i = \frac{dq}{dt} = C \cdot \frac{du_C}{dt}$
- Loi d'additivité : $E = u_R + u_C$
Équation différentielle : Lors de la charge, elle s'écrit : $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ .
Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ avec $\tau = RC$ .
Énergie : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ .

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions et la relation $u_R = R \cdot i$ .
Déterminer $\tau$ graphiquement : Utiliser la tangente à l'origine ou la valeur $0,63E$ .
Calculer l'énergie : Toujours convertir $C$ en Farad et $u_C$ en Volts.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $R = 100 \, \Omega$ et $C = 100 \, \mu F$ , alors $\tau = 100 \times 100 \times 10^{-6} = 0,01 \, s$ .
Vérification de solution : Pour $u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})$ , on dérive : $\frac{du_C}{dt} = \frac{A}{\tau} e^{-t/\tau}$ . On remplace dans l'équation.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $\mu F$ en $F$ ).
Confondre le signe de $i$ lors de la décharge ( $i = - \frac{dq}{dt}$ ).
Croire que $\tau$ dépend de la tension $E$ (il ne dépend que de $R$ et $C$ ).

L'essentiel du cours

Définition : Un condensateur est constitué de deux armatures séparées par un isolant. Sa capacité $C$ s'exprime en Farad (F).
Relations fondamentales :
- Charge : $q = C \cdot u_C$
- Intensité : $i = \frac{dq}{dt} = C \cdot \frac{du_C}{dt}$
- Loi d'additivité : $E = u_R + u_C$
Équation différentielle : Lors de la charge, elle s'écrit : $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$.
Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ avec $\tau = RC$.
Énergie : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions et la relation $u_R = R \cdot i$.
Déterminer $\tau$ graphiquement : Utiliser la tangente à l'origine ou la valeur $0,63E$.
Calculer l'énergie : Toujours convertir $C$ en Farad et $u_C$ en Volts.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $R = 100 , \Omega$ et $C = 100 , \mu F$, alors $\tau = 100 \times 100 \times 10^{-6} = 0,01 , s$.
Vérification de solution : Pour $u_C(t) = A(1 - e^{-t/\tau})$, on dérive : $\frac{du_C}{dt} = \frac{A}{\tau} e^{-t/\tau}$. On remplace dans l'équation.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $\mu F$ en $F$).
Confondre le signe de $i$ lors de la décharge ($i = - \frac{dq}{dt}$).
Croire que $\tau$ dépend de la tension $E$ (il ne dépend que de $R$ et $C$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 ثنائي القطب RC

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Quelle est l'unité de la constante de temps $\tau$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre la charge et la décharge ?

La charge : le condensateur reçoit de l'énergie d'un générateur, $u_C$ augmente de $0$ vers $E$ .
La décharge : le condensateur libère son énergie dans le circuit, $u_C$ diminue de $E$ vers $0$ .

💡 À retenir : La constante de temps $\tau$ est la même pour les deux phases.

La charge : le condensateur reçoit de l'énergie d'un générateur, $u_C$ augmente de $0$ vers $E$.
La décharge : le condensateur libère son énergie dans le circuit, $u_C$ diminue de $E$ vers $0$.

💡 À retenir : La constante de temps $\tau$ est la même pour les deux phases.

Kifach n7seb tau graphiquement ila ma kanetch l-moumass?

Cherche la valeur de la tension en régime permanent ( $E$ ).
Calcule $0,63 \times E$ .
Cherche cette valeur sur l'axe des ordonnées.
Projette sur la courbe puis sur l'axe des abscisses pour trouver $\tau$ .

💡 À retenir : $\tau$ correspond au temps nécessaire pour atteindre 63% de la charge maximale.

Cherche la valeur de la tension en régime permanent ($E$).
Calcule $0,63 \times E$.
Cherche cette valeur sur l'axe des ordonnées.
Projette sur la courbe puis sur l'axe des abscisses pour trouver $\tau$.

💡 À retenir : $\tau$ correspond au temps nécessaire pour atteindre 63% de la charge maximale.

Est-ce que le courant passe à travers le condensateur ?

Non, le courant ne traverse pas l'isolant (diélectrique) entre les armatures. Il y a accumulation de charges sur les armatures, ce qui crée un champ électrique.

💡 À retenir : Le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert en régime permanent (DC).

Chno hiya l-3ala9a bin i w uC f-l-mokattif?

La relation est $i = C \frac{du_C}{dt}$ . Elle montre que le courant dépend de la variation de la tension.

💡 À retenir : Si la tension est constante, le courant est nul.

La relation est $i = C \frac{du_C}{dt}$. Elle montre que le courant dépend de la variation de la tension.

💡 À retenir : Si la tension est constante, le courant est nul.

Pourquoi on dit que le condensateur est un réservoir d'énergie ?

Parce qu'il stocke l'énergie sous forme de champ électrostatique entre ses armatures et peut la restituer au circuit.

💡 À retenir : L'énergie stockée est proportionnelle au carré de la tension.

Kifach n3ref wach l-mokattif ch7an kamel?

On considère que le condensateur est chargé à 99% après une durée de $5\tau$ .

💡 À retenir : Théoriquement, il atteint $E$ à l'infini, mais pratiquement $5\tau$ suffit.

On considère que le condensateur est chargé à 99% après une durée de $5\tau$.

💡 À retenir : Théoriquement, il atteint $E$ à l'infini, mais pratiquement $5\tau$ suffit.

Est-ce que la valeur de R change tau ?

Oui, $\tau = RC$ . Si $R$ augmente, $\tau$ augmente, donc la charge est plus lente.

💡 À retenir : $\tau$ mesure l'inertie du circuit RC.

Oui, $\tau = RC$. Si $R$ augmente, $\tau$ augmente, donc la charge est plus lente.

💡 À retenir : $\tau$ mesure l'inertie du circuit RC.

Est-ce que uC peut être négative ?

Oui, si on branche le condensateur à l'envers ou lors d'une inversion de polarité dans un circuit oscillant.

💡 À retenir : La tension est une grandeur algébrique.

Comment démontrer l'équation différentielle ?

Loi des mailles : $u_R + u_C = E$ .
Remplacer $u_R$ par $R \cdot i$ .
Remplacer $i$ par $C \frac{du_C}{dt}$ .
Obtenir $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ .

💡 À retenir : Toujours partir de la loi des mailles.

Loi des mailles : $u_R + u_C = E$.
Remplacer $u_R$ par $R \cdot i$.
Remplacer $i$ par $C \frac{du_C}{dt}$.
Obtenir $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$.

💡 À retenir : Toujours partir de la loi des mailles.

Pourquoi l'énergie est-elle toujours positive ?

Car $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ . Le carré de la tension rend le résultat toujours positif.

💡 À retenir : L'énergie est une grandeur scalaire positive.

Car $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$. Le carré de la tension rend le résultat toujours positif.

💡 À retenir : L'énergie est une grandeur scalaire positive.

Est-ce que C dépend de la tension U ?

Non, $C$ est une caractéristique géométrique du condensateur (surface des armatures, distance, isolant).

💡 À retenir : $C = \frac{q}{u_C}$ est une constante.

Non, $C$ est une caractéristique géométrique du condensateur (surface des armatures, distance, isolant).

💡 À retenir : $C = \frac{q}{u_C}$ est une constante.

Quelle est l'unité de tau ?

L'unité est la seconde (s), car $R$ est en Ohm ( $\Omega$ ) et $C$ en Farad (F).

💡 À retenir : $1 \, \Omega \cdot F = 1 \, s$ .

L'unité est la seconde (s), car $R$ est en Ohm ($\Omega$) et $C$ en Farad (F).

💡 À retenir : $1 , \Omega \cdot F = 1 , s$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 100 \, \mu F$ est chargé à travers un conducteur ohmique de résistance $R = 1 \, k\Omega$ par un générateur de tension $E = 6 \, V$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Calculer la constante de temps $\tau$ .
Calculer l'énergie emmagasinée en régime permanent.

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 100 , \mu F$ est chargé à travers un conducteur ohmique de résistance $R = 1 , k\Omega$ par un générateur de tension $E = 6 , V$.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
Calculer la constante de temps $\tau$.
Calculer l'énergie emmagasinée en régime permanent.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On visualise la tension $u_C(t)$ lors d'une décharge. La courbe montre que pour $t = 2 \, ms$ , $u_C = 0,37 E$ .

Déterminer la valeur de $\tau$ .
Si $C = 10 \, \mu F$ , calculer $R$ .

Exercice 2

On visualise la tension $u_C(t)$ lors d'une décharge. La courbe montre que pour $t = 2 , ms$, $u_C = 0,37 E$.

Déterminer la valeur de $\tau$.
Si $C = 10 , \mu F$, calculer $R$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Un circuit RC est alimenté par un générateur de courant constant $I_0 = 1 \, mA$ .

Exprimer $u_C(t)$ en fonction de $I_0, C$ et $t$ .
Si $C = 200 \, \mu F$ , calculer le temps nécessaire pour atteindre $5 \, V$ .

Exercice 3

Un circuit RC est alimenté par un générateur de courant constant $I_0 = 1 , mA$.

Exprimer $u_C(t)$ en fonction de $I_0, C$ et $t$.
Si $C = 200 , \mu F$, calculer le temps nécessaire pour atteindre $5 , V$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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