Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

ثنائي القطب RL

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La bobine : Composant caractérisé par son inductance $L$ (en Henry, H) et sa résistance interne $r$ . La tension à ses bornes est $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$ .
Équation différentielle : Pour un circuit RL série avec un générateur de tension $E$ , la loi d'additivité donne $E = u_L + u_R$ . On obtient : $L \frac{di}{dt} + (R+r)i = E$ .
Solution : $i(t) = \frac{E}{R+r} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$ avec $\tau = \frac{L}{R+r}$ .
Constante de temps : $\tau$ représente la durée caractéristique de l'établissement du courant. En régime permanent, $I_0 = \frac{E}{R+r}$ .
Énergie : L'énergie magnétique emmagasinée est $E_m = \frac{1}{2} L i^2$ .

Méthodes à maîtriser

Détermination graphique de $\tau$ : Utiliser la tangente à l'origine ou la valeur $0,63 I_0$ .
Vérification de solution : Dériver $i(t)$ et remplacer dans l'équation différentielle pour identifier les constantes.
Analyse dimensionnelle : Vérifier que $[\tau] = [L]/[R] = T$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Si $L=0,5 H$ et $R+r=100 \Omega$ , alors $\tau = 0,5 / 100 = 5 ms$ .
Exemple 2 : À $t = \tau$ , $i(\tau) = I_0(1 - e^{-1}) \approx 0,63 I_0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans le calcul de $\tau$ ou de $I_0$ .
Confondre la tension aux bornes de la bobine $u_L$ avec celle d'un conducteur ohmique.
Ne pas préciser l'unité (H, $\Omega$ , s) dans les résultats finaux.

L'essentiel du cours

La bobine : Composant caractérisé par son inductance $L$ (en Henry, H) et sa résistance interne $r$. La tension à ses bornes est $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$.
Équation différentielle : Pour un circuit RL série avec un générateur de tension $E$, la loi d'additivité donne $E = u_L + u_R$. On obtient : $L \frac{di}{dt} + (R+r)i = E$.
Solution : $i(t) = \frac{E}{R+r} (1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$ avec $\tau = \frac{L}{R+r}$.
Constante de temps : $\tau$ représente la durée caractéristique de l'établissement du courant. En régime permanent, $I_0 = \frac{E}{R+r}$.
Énergie : L'énergie magnétique emmagasinée est $E_m = \frac{1}{2} L i^2$.

Méthodes à maîtriser

Détermination graphique de $\tau$ : Utiliser la tangente à l'origine ou la valeur $0,63 I_0$.
Vérification de solution : Dériver $i(t)$ et remplacer dans l'équation différentielle pour identifier les constantes.
Analyse dimensionnelle : Vérifier que $[\tau] = [L]/[R] = T$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Si $L=0,5 H$ et $R+r=100 \Omega$, alors $\tau = 0,5 / 100 = 5 ms$.
Exemple 2 : À $t = \tau$, $i(\tau) = I_0(1 - e^{-1}) \approx 0,63 I_0$.

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans le calcul de $\tau$ ou de $I_0$.
Confondre la tension aux bornes de la bobine $u_L$ avec celle d'un conducteur ohmique.
Ne pas préciser l'unité (H, $\Omega$, s) dans les résultats finaux.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 ثنائي القطب RL

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Quelle est l'unité de la constante de temps $\tau$ ?

❓ Questions fréquentes

Pourquoi la bobine s'oppose-t-elle à l'établissement du courant ?

La bobine possède une propriété d'auto-induction. Lorsqu'un courant varie, le flux magnétique à travers la bobine varie, ce qui crée une force électromotrice induite qui s'oppose à la cause de la variation (Loi de Lenz).

💡 À retenir : La bobine est un composant "inertiel" pour le courant électrique.

Kifach n7seb tau ghir mn l-mbyana (graphique) ?

Trace la tangente à la courbe $i(t)$ à l'origine ( $t=0$ ).
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale (valeur $I_0$ ) donne l'abscisse $\tau$ .

💡 À retenir : La méthode de la tangente est la plus précise graphiquement.

Trace la tangente à la courbe $i(t)$ à l'origine ($t=0$).
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale (valeur $I_0$) donne l'abscisse $\tau$.

💡 À retenir : La méthode de la tangente est la plus précise graphiquement.

Est-ce que uL est toujours égale à L frac{di}{dt} ?

Non, seulement si la bobine est idéale ( $r=0$ ). Si elle est réelle, il faut ajouter le terme $ri$ .

💡 À retenir : $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$ .

Non, seulement si la bobine est idéale ($r=0$). Si elle est réelle, il faut ajouter le terme $ri$.

💡 À retenir : $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$.

Chno hiya l-far9 bin l-moulay f l-bidaya o f l-akher ?

Au début ( $t=0$ ), le courant est nul car la bobine s'oppose à sa variation. En régime permanent ( $t \gg \tau$ ), le courant devient constant, donc $\frac{di}{dt} = 0$ , et la bobine se comporte comme un simple conducteur ohmique de résistance $r$ .

💡 À retenir : En régime permanent, $u_L = r \cdot I_0$ .

Au début ($t=0$), le courant est nul car la bobine s'oppose à sa variation. En régime permanent ($t \gg \tau$), le courant devient constant, donc $\frac{di}{dt} = 0$, et la bobine se comporte comme un simple conducteur ohmique de résistance $r$.

💡 À retenir : En régime permanent, $u_L = r \cdot I_0$.

Comment déterminer L expérimentalement ?

On mesure $\tau$ graphiquement, on connaît $R$ et $r$ , et on utilise la formule $L = \tau(R+r)$ .

💡 À retenir : Il faut bien connaître la valeur de $R$ et $r$ au préalable.

On mesure $\tau$ graphiquement, on connaît $R$ et $r$, et on utilise la formule $L = \tau(R+r)$.

💡 À retenir : Il faut bien connaître la valeur de $R$ et $r$ au préalable.

Wach l-energie li f l-wichi3a katmchi f-dharba wehda ?

Non, lors de la rupture du courant, l'énergie magnétique est dissipée par effet Joule dans la résistance totale du circuit ( $R+r$ ).

💡 À retenir : L'énergie ne disparaît pas instantanément, elle se transforme en chaleur.

Non, lors de la rupture du courant, l'énergie magnétique est dissipée par effet Joule dans la résistance totale du circuit ($R+r$).

💡 À retenir : L'énergie ne disparaît pas instantanément, elle se transforme en chaleur.

Pourquoi la courbe i(t) ne dépasse jamais I0 ?

Car le système tend vers un état d'équilibre thermodynamique et électrique dicté par la loi d'Ohm $E = (R+r)I_0$ .

💡 À retenir : $I_0$ est la valeur limite imposée par le générateur et les résistances.

Car le système tend vers un état d'équilibre thermodynamique et électrique dicté par la loi d'Ohm $E = (R+r)I_0$.

💡 À retenir : $I_0$ est la valeur limite imposée par le générateur et les résistances.

Est-ce que l'inductance L dépend de l'intensité du courant ?

Non, $L$ est une caractéristique géométrique et physique de la bobine (nombre de spires, noyau, etc.).

💡 À retenir : $L$ est constante pour une bobine donnée.

Non, $L$ est une caractéristique géométrique et physique de la bobine (nombre de spires, noyau, etc.).

💡 À retenir : $L$ est constante pour une bobine donnée.

Que se passe-t-il si on court-circuite la bobine ?

Le courant décroît exponentiellement vers zéro selon la loi $i(t) = I_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$ .

💡 À retenir : C'est la phase de décharge ou de rupture.

Le courant décroît exponentiellement vers zéro selon la loi $i(t) = I_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$.

💡 À retenir : C'est la phase de décharge ou de rupture.

Est-ce que la tension uL peut être négative ?

Oui, lors de la rupture du courant, $\frac{di}{dt}$ est négatif, donc $u_L$ devient négative.

💡 À retenir : $u_L$ s'oppose à la variation du courant.

Oui, lors de la rupture du courant, $\frac{di}{dt}$ est négatif, donc $u_L$ devient négative.

💡 À retenir : $u_L$ s'oppose à la variation du courant.

Quelle est l'unité de L et comment la vérifier ?

L'unité est le Henry (H). On la vérifie par $[L] = [u] \cdot [t] \cdot [i]^{-1}$ .

💡 À retenir : $1 H = 1 V \cdot s \cdot A^{-1}$ .

L'unité est le Henry (H). On la vérifie par $[L] = [u] \cdot [t] \cdot [i]^{-1}$.

💡 À retenir : $1 H = 1 V \cdot s \cdot A^{-1}$.

Est-ce que la résistance interne r peut être négligée ?

Oui, dans certains exercices théoriques, si l'énoncé précise "bobine idéale". Sinon, il faut toujours la prendre en compte.

💡 À retenir : Toujours lire l'énoncé pour voir si $r$ est négligeable.

Oui, dans certains exercices théoriques, si l'énoncé précise "bobine idéale". Sinon, il faut toujours la prendre en compte.

💡 À retenir : Toujours lire l'énoncé pour voir si $r$ est négligeable.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

On donne l'équation différentielle : $0,1 \frac{di}{dt} + 50i = 10$ . Déterminer $L, r, R$ et $E$ sachant que la résistance totale est $50\Omega$ et $r=10\Omega$ .

Exercice 1

On donne l'équation différentielle : $0,1 \frac{di}{dt} + 50i = 10$. Déterminer $L, r, R$ et $E$ sachant que la résistance totale est $50\Omega$ et $r=10\Omega$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un circuit comporte un générateur de tension $E=6V$ , une bobine de $L=0,2H$ et $r=10\Omega$ , et un conducteur ohmique $R=20\Omega$ . Calculer $I_0$ et $\tau$ .

Exercice 2

Un circuit comporte un générateur de tension $E=6V$, une bobine de $L=0,2H$ et $r=10\Omega$, et un conducteur ohmique $R=20\Omega$. Calculer $I_0$ et $\tau$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Démontrer que $i(t) = A(1 - e^{-t/\tau})$ est solution de $L \frac{di}{dt} + Ri = E$ (avec $r=0$ ).

Exercice 3

Démontrer que $i(t) = A(1 - e^{-t/\tau})$ est solution de $L \frac{di}{dt} + Ri = E$ (avec $r=0$).

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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