Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

التناقص الإشعاعي

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Stabilité des noyaux : Un noyau est instable s'il est radioactif. La radioactivité est une transformation nucléaire spontanée.
Lois de Soddy : Lors d'une désintégration, il y a conservation du nombre de charge $Z$ et du nombre de masse $A$ .
Loi de décroissance radioactive : Le nombre de noyaux radioactifs à l'instant $t$ est $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ .
Demi-vie ( $t_{1/2}$ ) : C'est la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs initialement présents se désintègrent : $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ .
Activité ( $a(t)$ ) : C'est le nombre de désintégrations par seconde : $a(t) = \lambda N(t) = a_0 e^{-\lambda t}$ . Unité : le Becquerel (Bq).

Méthodes à maîtriser

Équilibrer une équation de désintégration en utilisant les lois de Soddy.
Tracer ou exploiter une courbe $N(t)$ ou $\ln(N(t))$ .
Déterminer graphiquement $t_{1/2}$ à partir d'une courbe de décroissance.
Passer de $N(t)$ à $a(t)$ et inversement.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ . Pour $t = t_{1/2}$ , on a $N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$ . Donc $\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}} \implies \frac{1}{2} = e^{-\lambda t_{1/2}} \implies \ln(2) = \lambda t_{1/2} \implies t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $\lambda$ doit être dans la même unité de temps que $t$ (souvent en $s^{-1}$ ).
Confondre $N(t)$ (nombre de noyaux restants) et $N_d(t)$ (nombre de noyaux désintégrés : $N_d = N_0 - N(t)$ ).
Ne pas convertir les années ou jours en secondes lors des calculs de $a(t)$ en Bq.

L'essentiel du cours

Stabilité des noyaux : Un noyau est instable s'il est radioactif. La radioactivité est une transformation nucléaire spontanée.
Lois de Soddy : Lors d'une désintégration, il y a conservation du nombre de charge $Z$ et du nombre de masse $A$.
Loi de décroissance radioactive : Le nombre de noyaux radioactifs à l'instant $t$ est $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
Demi-vie ($t_{1/2}$) : C'est la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs initialement présents se désintègrent : $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$.
Activité ($a(t)$) : C'est le nombre de désintégrations par seconde : $a(t) = \lambda N(t) = a_0 e^{-\lambda t}$. Unité : le Becquerel (Bq).

Méthodes à maîtriser

Équilibrer une équation de désintégration en utilisant les lois de Soddy.
Tracer ou exploiter une courbe $N(t)$ ou $\ln(N(t))$.
Déterminer graphiquement $t_{1/2}$ à partir d'une courbe de décroissance.
Passer de $N(t)$ à $a(t)$ et inversement.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$. Pour $t = t_{1/2}$, on a $N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$. Donc $\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}} \implies \frac{1}{2} = e^{-\lambda t_{1/2}} \implies \ln(2) = \lambda t_{1/2} \implies t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\lambda$ doit être dans la même unité de temps que $t$ (souvent en $s^{-1}$).
Confondre $N(t)$ (nombre de noyaux restants) et $N_d(t)$ (nombre de noyaux désintégrés : $N_d = N_0 - N(t)$).
Ne pas convertir les années ou jours en secondes lors des calculs de $a(t)$ en Bq.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 التناقص الإشعاعي

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Quelle est l'unité de la constante radioactive $\lambda$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la radioactivité dépend de la température ?

Non, la désintégration radioactive est un phénomène purement nucléaire et spontané. Elle est indépendante des facteurs externes comme la température, la pression ou l'état chimique de l'échantillon.

💡 À retenir : La constante radioactive $\lambda$ est une caractéristique propre au noyau instable.

kifach n7seb t1/2 mn l'mbyana ?

Chouf l'qima dyal $N_0$ (f l'waqt $t=0$ ).
Qsem $N_0$ 3la 2 (ya3ni $N_0/2$ ).
Qleb 3la had l'qima f l'mou7war dyal l'3amoudi (l'3adad).
Sret l'isqatt 3la l'mou7war dyal l'afaqi (l'waqt) bach tlqa $t_{1/2}$ .

💡 À retenir : $t_{1/2}$ est l'abscisse correspondant à l'ordonnée $N_0/2$ .

Chouf l'qima dyal $N_0$ (f l'waqt $t=0$).
Qsem $N_0$ 3la 2 (ya3ni $N_0/2$).
Qleb 3la had l'qima f l'mou7war dyal l'3amoudi (l'3adad).
Sret l'isqatt 3la l'mou7war dyal l'afaqi (l'waqt) bach tlqa $t_{1/2}$.

💡 À retenir : $t_{1/2}$ est l'abscisse correspondant à l'ordonnée $N_0/2$.

Quelle est la différence entre lambda et t{1/2} ?

$\lambda$ est la constante radioactive (en $s^{-1}$ ), elle mesure la probabilité de désintégration par unité de temps. $t_{1/2}$ est la demi-vie (en $s$ ), c'est une durée. Ils sont liés par $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$ .

💡 À retenir : Plus $\lambda$ est grand, plus le noyau est instable et plus $t_{1/2}$ est court.

$\lambda$ est la constante radioactive (en $s^{-1}$), elle mesure la probabilité de désintégration par unité de temps. $t_{1/2}$ est la demi-vie (en $s$), c'est une durée. Ils sont liés par $t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}$.

💡 À retenir : Plus $\lambda$ est grand, plus le noyau est instable et plus $t_{1/2}$ est court.

chno hiya l'farq bin alpha, beta et gamma ?

Alpha ( $\alpha$ ) : noyau d'hélium $^4_2He$ , peu pénétrant.
Bêta ( $\beta^-$ ou $\beta^+$ ) : électron ou positron, plus pénétrant.
Gamma ( $\gamma$ ) : onde électromagnétique, très énergétique et très pénétrante.

💡 À retenir : La nature de la particule émise change la nature de l'élément fils.

Alpha ($\alpha$) : noyau d'hélium $^4_2He$, peu pénétrant.
Bêta ($\beta^-$ ou $\beta^+$) : électron ou positron, plus pénétrant.
Gamma ($\gamma$) : onde électromagnétique, très énergétique et très pénétrante.

💡 À retenir : La nature de la particule émise change la nature de l'élément fils.

Est-ce que l'activité d'un échantillon devient nulle un jour ?

Théoriquement, la fonction exponentielle $a(t) = a_0 e^{-\lambda t}$ ne s'annule jamais. Pratiquement, après environ 10 demi-vies, l'activité devient si faible qu'elle est considérée comme négligeable ou indétectable par les appareils de mesure.

💡 À retenir : L'activité tend vers zéro mais ne l'atteint jamais mathématiquement.

kifach n7seb 3adad nawat l'moubaqiya N(t) ?

3ref $N_0$ (l'3adad l'bidi2i).
3ref $\lambda$ (aw $t_{1/2}$ bach t7seb $\lambda$ ).
St3mel l'3alaqa $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier que $t$ et $\lambda$ ont des unités compatibles.

3ref $N_0$ (l'3adad l'bidi2i).
3ref $\lambda$ (aw $t_{1/2}$ bach t7seb $\lambda$).
St3mel l'3alaqa $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.

💡 À retenir : Toujours vérifier que $t$ et $\lambda$ ont des unités compatibles.

Pourquoi on utilise le Becquerel ?

Le Becquerel (Bq) est l'unité du système international pour l'activité. 1 Bq correspond à une désintégration par seconde. C'est une mesure de la vitesse de désintégration.

💡 À retenir : $1 Bq = 1 s^{-1}$ .

Le Becquerel (Bq) est l'unité du système international pour l'activité. 1 Bq correspond à une désintégration par seconde. C'est une mesure de la vitesse de désintégration.

💡 À retenir : $1 Bq = 1 s^{-1}$.

Est-ce que la masse de l'échantillon change ?

Oui, car les noyaux radioactifs se transforment en d'autres noyaux (élément fils). La masse totale de l'échantillon diminue très légèrement car une partie de l'énergie est libérée (défaut de masse), mais c'est négligeable à l'échelle macroscopique.

💡 À retenir : La variation de masse est liée à l'énergie libérée selon $E = \Delta m \cdot c^2$ .

💡 À retenir : La variation de masse est liée à l'énergie libérée selon $E = \Delta m \cdot c^2$.

Comment calculer le nombre de noyaux N0 à partir de la masse m0 ?

On utilise la relation : $N_0 = \frac{m_0}{M} \cdot N_A$ , où $M$ est la masse molaire de l'isotope et $N_A$ le nombre d'Avogadro.

💡 À retenir : $N_0$ est sans unité, $m_0$ en g, $M$ en g/mol.

On utilise la relation : $N_0 = \frac{m_0}{M} \cdot N_A$, où $M$ est la masse molaire de l'isotope et $N_A$ le nombre d'Avogadro.

💡 À retenir : $N_0$ est sans unité, $m_0$ en g, $M$ en g/mol.

Est-ce que le noyau fils est toujours stable ?

Pas forcément. Il peut être lui-même radioactif et donner lieu à une chaîne de désintégration (filiation radioactive).

💡 À retenir : La stabilité dépend de la position du noyau sur la vallée de stabilité.

Si j'ai a(t), comment trouver N(t) ?

On utilise la relation $a(t) = \lambda N(t)$ , donc $N(t) = \frac{a(t)}{\lambda}$ .

💡 À retenir : Il faut bien convertir $\lambda$ en $s^{-1}$ pour obtenir $N$ sans unité.

On utilise la relation $a(t) = \lambda N(t)$, donc $N(t) = \frac{a(t)}{\lambda}$.

💡 À retenir : Il faut bien convertir $\lambda$ en $s^{-1}$ pour obtenir $N$ sans unité.

Pourquoi on utilise ln(N) dans les graphiques ?

Parce que $\ln(N(t)) = \ln(N_0 e^{-\lambda t}) = \ln(N_0) - \lambda t$ . C'est l'équation d'une droite de pente $-\lambda$ . C'est plus facile pour déterminer $\lambda$ graphiquement.

💡 À retenir : La pente de la droite $\ln(N) = f(t)$ est égale à $-\lambda$ .

Parce que $\ln(N(t)) = \ln(N_0 e^{-\lambda t}) = \ln(N_0) - \lambda t$. C'est l'équation d'une droite de pente $-\lambda$. C'est plus facile pour déterminer $\lambda$ graphiquement.

💡 À retenir : La pente de la droite $\ln(N) = f(t)$ est égale à $-\lambda$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un échantillon de Cobalt 60 ( $^{60}_{27}Co$ ) a une activité initiale $a_0 = 10^9$ Bq. Sa demi-vie est $t_{1/2} = 5,27$ ans.

Écrire l'équation de désintégration sachant qu'il donne du Nickel ( $Ni$ ).
Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $an^{-1}$ .
Calculer l'activité à $t = 10$ ans.

Exercice 1

Un échantillon de Cobalt 60 ($^{60}{27}Co$) a une activité initiale $a_0 = 10^9$ Bq. Sa demi-vie est $t{1/2} = 5,27$ ans.

Écrire l'équation de désintégration sachant qu'il donne du Nickel ($Ni$).
Calculer la constante radioactive $\lambda$ en $an^{-1}$.
Calculer l'activité à $t = 10$ ans.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Une source radioactive contient $N_0 = 6,0 \cdot 10^{20}$ noyaux. Après une durée $\Delta t = 24$ heures, il reste $N = 1,5 \cdot 10^{20}$ noyaux.

Calculer le nombre de demi-vies écoulées.
Déterminer la valeur de $t_{1/2}$ .

Exercice 2

Une source radioactive contient $N_0 = 6,0 \cdot 10^{20}$ noyaux. Après une durée $\Delta t = 24$ heures, il reste $N = 1,5 \cdot 10^{20}$ noyaux.

Calculer le nombre de demi-vies écoulées.
Déterminer la valeur de $t_{1/2}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Un échantillon de roche contient du Potassium 40 ( $^{40}_{19}K$ ). La constante radioactive est $\lambda = 5,3 \cdot 10^{-10} \, an^{-1}$ .

Calculer la demi-vie en années.
Si un échantillon contient $N(t) = 10^{15}$ noyaux aujourd'hui, quel était le nombre de noyaux $N_0$ il y a $10^9$ ans ?

Exercice 3

Un échantillon de roche contient du Potassium 40 ($^{40}_{19}K$). La constante radioactive est $\lambda = 5,3 \cdot 10^{-10} , an^{-1}$.

Calculer la demi-vie en années.
Si un échantillon contient $N(t) = 10^{15}$ noyaux aujourd'hui, quel était le nombre de noyaux $N_0$ il y a $10^9$ ans ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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