Physique · Prépa concours post-bac — ENSA & ENSAM

Dipôle RC

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Relation charge-tension : $q = C \cdot u_C$
Relation courant-charge : $i = \frac{dq}{dt}$
Loi d'Ohm : $u_R = R \cdot i$
Loi d'additivité des tensions : $u_C + u_R = E$ (charge) ou $u_C + u_R = 0$ (décharge).
Équation différentielle : $\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ avec $\tau = R \cdot C$ .
Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ pour la charge et $u_C(t) = E \cdot e^{-t/\tau}$ pour la décharge.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle en utilisant la loi d'additivité des tensions.
Vérifier une solution en la dérivant et en l'injectant dans l'équation.
Déterminer $\tau$ graphiquement par la tangente à l'origine ou par la valeur $0,63E$ .
Calculer l'énergie emmagasinée : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ .

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $R=1k\Omega$ et $C=100\mu F$ , alors $\tau = 10^3 \times 100 \times 10^{-6} = 0,1s$ .
Dérivée : Pour $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ , alors $\frac{du_C}{dt} = \frac{E}{\tau} e^{-t/\tau}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe « - » dans l'équation différentielle de décharge.
Confondre $i$ et $q$ lors de la dérivation.
Ne pas convertir les unités (ex: $mF$ en $F$ , $k\Omega$ en $\Omega$ ).

L'essentiel du cours

Relation charge-tension : $q = C \cdot u_C$
Relation courant-charge : $i = \frac{dq}{dt}$
Loi d'Ohm : $u_R = R \cdot i$
Loi d'additivité des tensions : $u_C + u_R = E$ (charge) ou $u_C + u_R = 0$ (décharge).
Équation différentielle : $\tau \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ avec $\tau = R \cdot C$.
Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ pour la charge et $u_C(t) = E \cdot e^{-t/\tau}$ pour la décharge.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle en utilisant la loi d'additivité des tensions.
Vérifier une solution en la dérivant et en l'injectant dans l'équation.
Déterminer $\tau$ graphiquement par la tangente à l'origine ou par la valeur $0,63E$.
Calculer l'énergie emmagasinée : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $R=1k\Omega$ et $C=100\mu F$, alors $\tau = 10^3 \times 100 \times 10^{-6} = 0,1s$.
Dérivée : Pour $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$, alors $\frac{du_C}{dt} = \frac{E}{\tau} e^{-t/\tau}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe « - » dans l'équation différentielle de décharge.
Confondre $i$ et $q$ lors de la dérivation.
Ne pas convertir les unités (ex: $mF$ en $F$, $k\Omega$ en $\Omega$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dipôle RC

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Quelle est l'unité de la capacité C ?

❓ Questions fréquentes

Pourquoi le condensateur ne se charge-t-il pas instantanément ?

Le condensateur ne se charge pas instantanément car le courant électrique doit traverser la résistance $R$ . Cette résistance limite le débit de charge, ce qui crée une inertie électrique caractérisée par la constante de temps $\tau = RC$ .

💡 À retenir : Plus $R$ est grande, plus la charge est lente.

Le condensateur ne se charge pas instantanément car le courant électrique doit traverser la résistance $R$. Cette résistance limite le débit de charge, ce qui crée une inertie électrique caractérisée par la constante de temps $\tau = RC$.

💡 À retenir : Plus $R$ est grande, plus la charge est lente.

Chno hiya l-far9 bin régime transitoire o régime permanent ?

Le régime transitoire est la phase où les grandeurs électriques ( $u_C, i$ ) varient en fonction du temps.
Le régime permanent est l'état final où les grandeurs deviennent constantes ( $u_C = E$ en charge, $u_C = 0$ en décharge).

💡 À retenir : Le régime permanent est atteint théoriquement à $t = 5\tau$ .

Le régime transitoire est la phase où les grandeurs électriques ($u_C, i$) varient en fonction du temps.
Le régime permanent est l'état final où les grandeurs deviennent constantes ($u_C = E$ en charge, $u_C = 0$ en décharge).

💡 À retenir : Le régime permanent est atteint théoriquement à $t = 5\tau$.

Comment déterminer graphiquement la constante de temps tau ?

Tracer la tangente à la courbe $u_C(t)$ à l'origine ( $t=0$ ).
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale ( $u_C = E$ ) donne l'abscisse $\tau$ .

💡 À retenir : $\tau$ est le temps nécessaire pour atteindre 63% de la charge maximale.

Tracer la tangente à la courbe $u_C(t)$ à l'origine ($t=0$).
L'intersection de cette tangente avec l'asymptote horizontale ($u_C = E$) donne l'abscisse $\tau$.

💡 À retenir : $\tau$ est le temps nécessaire pour atteindre 63% de la charge maximale.

Kifach n7seb l'énergie emmagasinée f-l-condensateur ?

Il suffit d'utiliser la formule $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ . Assure-toi que $C$ est en Farads (F) et $u_C$ en Volts (V) pour obtenir l'énergie en Joules (J).

💡 À retenir : L'énergie dépend du carré de la tension.

Il suffit d'utiliser la formule $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$. Assure-toi que $C$ est en Farads (F) et $u_C$ en Volts (V) pour obtenir l'énergie en Joules (J).

💡 À retenir : L'énergie dépend du carré de la tension.

Est-ce que le courant i est le même dans tout le circuit ?

Oui, dans un circuit série, le courant $i$ est le même à travers le condensateur et la résistance, car il s'agit d'une seule maille.

💡 À retenir : $i = C \frac{du_C}{dt} = \frac{u_R}{R}$ .

Oui, dans un circuit série, le courant $i$ est le même à travers le condensateur et la résistance, car il s'agit d'une seule maille.

💡 À retenir : $i = C \frac{du_C}{dt} = \frac{u_R}{R}$.

Wach l-condensateur kaykhli t-tayar idouz f-l-courant continu ?

Non, une fois chargé en régime permanent, $u_C = E$ (constante), donc $i = C \frac{dE}{dt} = 0$ . Le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

💡 À retenir : Le condensateur bloque le courant continu.

Non, une fois chargé en régime permanent, $u_C = E$ (constante), donc $i = C \frac{dE}{dt} = 0$. Le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

💡 À retenir : Le condensateur bloque le courant continu.

Quelle est la valeur de la tension aux bornes du condensateur à t = tau lors de la charge ?

En remplaçant $t$ par $\tau$ dans $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ , on obtient $u_C(\tau) = E(1 - e^{-1}) \approx 0,63E$ .

💡 À retenir : À $t=\tau$ , le condensateur est chargé à 63%.

En remplaçant $t$ par $\tau$ dans $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$, on obtient $u_C(\tau) = E(1 - e^{-1}) \approx 0,63E$.

💡 À retenir : À $t=\tau$, le condensateur est chargé à 63%.

Pourquoi dit-on que le condensateur est un réservoir d'énergie ?

Parce qu'il stocke de l'énergie sous forme de champ électrostatique entre ses armatures, qu'il peut restituer au circuit lors de la décharge.

💡 À retenir : L'énergie est stockée dans le champ électrique.

Est-ce que la valeur de tau change si on change la tension E ?

Non, $\tau = RC$ . Elle ne dépend que des caractéristiques physiques du circuit (résistance et capacité), pas de la tension du générateur.

💡 À retenir : $\tau$ est une constante propre au dipôle RC.

Non, $\tau = RC$. Elle ne dépend que des caractéristiques physiques du circuit (résistance et capacité), pas de la tension du générateur.

💡 À retenir : $\tau$ est une constante propre au dipôle RC.

Comment varie l'intensité i(t) pendant la charge ?

L'intensité est maximale à $t=0$ ( $i_0 = E/R$ ) et décroît exponentiellement vers zéro au fur et à mesure que le condensateur se charge.

💡 À retenir : $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/\tau}$ .

L'intensité est maximale à $t=0$ ($i_0 = E/R$) et décroît exponentiellement vers zéro au fur et à mesure que le condensateur se charge.

💡 À retenir : $i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/\tau}$.

Qu'arrive-t-il si on court-circuite un condensateur chargé ?

Il se décharge très rapidement à travers le fil, ce qui peut provoquer une étincelle si l'énergie stockée est importante.

💡 À retenir : La décharge est brutale sans résistance.

Quelle est la dimension de tau ?

La dimension de $\tau$ est celle d'un temps (T). En effet, $[RC] = [U/I] \cdot [Q/U] = [Q/I] = [I \cdot T / I] = [T]$ .

💡 À retenir : $\tau$ s'exprime toujours en secondes (s).

La dimension de $\tau$ est celle d'un temps (T). En effet, $[RC] = [U/I] \cdot [Q/U] = [Q/I] = [I \cdot T / I] = [T]$.

💡 À retenir : $\tau$ s'exprime toujours en secondes (s).

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 200 \mu F$ est chargé par un générateur de tension $E = 12 V$ à travers une résistance $R$ . À $t=0$ , on ferme l'interrupteur.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Déterminer la valeur de $R$ sachant que $\tau = 0,4 s$ .
Calculer l'énergie emmagasinée en régime permanent.

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 200 \mu F$ est chargé par un générateur de tension $E = 12 V$ à travers une résistance $R$. À $t=0$, on ferme l'interrupteur.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
Déterminer la valeur de $R$ sachant que $\tau = 0,4 s$.
Calculer l'énergie emmagasinée en régime permanent.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un condensateur initialement chargé sous $12V$ est déchargé dans un circuit comportant une résistance $R = 100 \Omega$ . La courbe de décharge montre qu'à $t = 20 ms$ , $u_C = 4,4 V$ .

Calculer la constante de temps $\tau$ .
En déduire la valeur de la capacité $C$ .

Exercice 2

Un condensateur initialement chargé sous $12V$ est déchargé dans un circuit comportant une résistance $R = 100 \Omega$. La courbe de décharge montre qu'à $t = 20 ms$, $u_C = 4,4 V$.

Calculer la constante de temps $\tau$.
En déduire la valeur de la capacité $C$.

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Exercice 3

On considère un circuit RC série. On donne $E=10V, R=1k\Omega, C=100\mu F$ .

Déterminer l'expression de $i(t)$ lors de la charge.
Calculer l'intensité à $t = \tau$ .

Exercice 3

On considère un circuit RC série. On donne $E=10V, R=1k\Omega, C=100\mu F$.

Déterminer l'expression de $i(t)$ lors de la charge.
Calculer l'intensité à $t = \tau$.

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