Oscillations mécaniques (Pendules élastiques et pesants)

Oui, contrairement au pendule simple (où $T_0 = 2\pi\sqrt{L/g}$), dans le pendule pesant, la masse $m$ intervient dans la formule $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{mgd}}$. Si la masse augmente, le moment d'inertie $J_\Delta$ augmente généralement aussi, ce qui modifie la période.

💡 À retenir : La période dépend de la répartition de la masse (moment d'inertie) et non seulement de la masse totale.

Pour calculer $J_\Delta$, tu dois utiliser les formules du cours selon la forme :

1. Tige homogène (axe au centre) : $J_\Delta = \frac{1}{12}mL^2$.
2. Tige homogène (axe à l'extrémité) : $J_\Delta = \frac{1}{3}mL^2$.
3. Disque : $J_\Delta = \frac{1}{2}mR^2$. Si l'axe ne passe pas par le centre de gravité, utilise le théorème de Huygens : $J_\Delta = J_G + md^2$.

💡 À retenir : $J_\Delta$ mesure la résistance à la rotation autour de l'axe $\Delta$.

Pour les oscillations harmoniques (faibles amplitudes), la période $T_0$ est indépendante de l'amplitude $X_{max}$ ou $\theta_{max}$. C'est l'isochronisme des petites oscillations.

💡 À retenir : Si l'angle est grand, l'approximation $\sin\theta \approx \theta$ n'est plus valable, et la période dépend de l'amplitude.

Le pendule élastique utilise l'énergie potentielle élastique ($E_{pe} = \frac{1}{2}kx^2$) et dépend de la raideur $k$. Le pendule pesant utilise l'énergie potentielle de pesanteur ($E_{pp} = mgd(1-\cos\theta)$) et dépend de la position du centre de gravité $G$ par rapport à l'axe.

💡 À retenir : Le pendule élastique est une translation, le pendule pesant est une rotation.

1. Écris $x(t) = X_{max}\cos(\omega_0 t + \varphi)$.
2. À $t=0$, $x(0) = X_{max}\cos(\varphi)$.
3. Calcule la dérivée $v(0) = -X_{max}\omega_0\sin(\varphi)$.
4. Utilise ces deux équations pour trouver $\cos(\varphi)$ et $\sin(\varphi)$, puis déduis $\varphi$.

💡 À retenir : Le signe de la vitesse initiale détermine le signe de $\varphi$.

Si l'équation différentielle est de la forme $\ddot{x} + \omega_0^2 x = 0$, alors le mouvement est harmonique (sinusoïdal). S'il y a des frottements (terme en $\dot{x}$), le mouvement est pseudo-périodique.

💡 À retenir : Un oscillateur harmonique n'a pas de frottements.

Oui, pour le pendule pesant, $T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{mgd}}$. Si on change de planète, $g$ change, donc $T_0$ change. Pour le pendule élastique, $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$, donc $g$ n'intervient pas.

💡 À retenir : Le ressort ne dépend pas de la pesanteur, le pendule pesant si.

Parce que l'équation différentielle exacte pour un pendule pesant est $\ddot{\theta} + \frac{mgd}{J_\Delta}\sin\theta = 0$. Cette équation n'a pas de solution sinusoïdale simple. En limitant $\theta$ à de petites valeurs (inférieures à 15°), on peut poser $\sin\theta \approx \theta$, ce qui donne une équation d'oscillateur harmonique.

💡 À retenir : L'approximation est nécessaire pour obtenir une solution en cosinus.

Tu peux mesurer la période $T_0$ pour différentes masses $m$, puis tracer $T_0^2$ en fonction de $m$. La pente de la droite sera $4\pi^2/k$.

💡 À retenir : La pente permet de trouver $k = 4\pi^2 / \text{pente}$.

Dans un système sans frottements, l'énergie mécanique $E_m = E_c + E_p$ est constante. Elle se transfère continuellement entre énergie cinétique et énergie potentielle.

💡 À retenir : $dE_m/dt = 0$ en l'absence de forces dissipatives.

Oui, car $J_\Delta$ et la distance $d$ (entre l'axe et le centre de gravité $G$) dépendent de la position de l'axe. Si tu changes l'axe, $T_0$ change.

💡 À retenir : La période est une caractéristique du système et de son axe de rotation.

Oui, même en présence du poids, le pendule élastique vertical oscille autour d'une nouvelle position d'équilibre $x_{eq} = mg/k$. L'équation différentielle reste la même.

💡 À retenir : Le poids décale la position d'équilibre mais ne change pas la période.