🎯 Couples et suites de variables aléatoires discrètes
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Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $Cov(X,Y)$ est :
❓ Questions fréquentes
Kifach n7seb la loi marginale men tableau dyal la loi conjointe ?
Tu regardes la ligne ou la colonne correspondant à la valeur de la variable voulue.
Tu fais la somme de toutes les probabilités présentes dans cette ligne (pour $X$) ou cette colonne (pour $Y$).
💡 À retenir : La somme des probabilités d'une ligne/colonne donne la probabilité marginale.
Est-ce que E(XY) = E(X)E(Y) est toujours vrai ?
Non, cette égalité est vraie si et seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes. Dans le cas général, il faut utiliser la loi conjointe pour calculer $E(XY) = \sum \sum x_i y_j P(X=x_i, Y=y_j)$.
💡 À retenir : Indépendance $\iff E(XY) = E(X)E(Y)$.
Chno hiya la différence bin corrélation w covariance ?
La covariance dépend de l'unité des variables, alors que le coefficient de corrélation $\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma(X)\sigma(Y)}$ est sans unité et toujours compris entre -1 et 1.
💡 À retenir : La corrélation normalise la covariance.
Wach ila kan Cov(X,Y)=0 kaysm3ni X et Y indépendantes ?
Non, c'est une erreur classique. $Cov(X,Y)=0$ signifie que les variables sont "non corrélées", ce qui est une condition plus faible que l'indépendance.
💡 À retenir : Indépendance $\implies$ Covariance nulle, mais la réciproque est fausse.
Comment calculer V(aX + bY) ?
On utilise la formule : $V(aX + bY) = a^2V(X) + b^2V(Y) + 2abCov(X,Y)$.
💡 À retenir : Ne jamais oublier le terme de covariance.
Est-ce que la somme de deux variables de Bernoulli est une Bernoulli ?
Non, sauf si elles sont liées par une loi binomiale particulière. La somme de deux Bernoulli de paramètre $p$ indépendantes suit une loi Binomiale $B(2, p)$.
💡 À retenir : La somme change la loi.
Kifach n3ref wach X et Y indépendantes men tableau ?
Tu vérifies si pour chaque case $(i,j)$, on a $P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) \times P(Y=y_j)$. Il suffit d'un seul contre-exemple pour dire qu'elles ne sont pas indépendantes.
💡 À retenir : Vérifier le produit des marginales pour chaque case.
Qu'est-ce que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?
C'est une inégalité qui permet de majorer la probabilité qu'une variable s'éloigne de son espérance : $P(|X - E(X)| \geq \epsilon) \leq \frac{V(X)}{\epsilon^2}$.
💡 À retenir : Utile pour borner les écarts.
Est-ce que E(X+Y) = E(X) + E(Y) est toujours vrai ?
Oui, c'est la propriété de linéarité de l'espérance, elle est toujours vraie, même si les variables ne sont pas indépendantes.
💡 À retenir : La linéarité est universelle.
Pourquoi on divise par sigma(X)sigma(Y) dans le coefficient de corrélation ?
Pour rendre la mesure indépendante de l'échelle des variables (ex: changer des dirhams en centimes).
💡 À retenir : Normalisation pour obtenir une valeur entre -1 et 1.
Quelle est la différence entre loi conjointe et loi marginale ?
La loi conjointe donne la probabilité que les deux variables prennent des valeurs simultanées. La loi marginale se concentre sur une seule variable en "oubliant" l'autre.
💡 À retenir : Conjointe = couple, Marginale = isolée.
Comment calculer P(X=Y) à partir d'une loi conjointe ?
Tu sommes les probabilités $P(X=x_i, Y=y_j)$ pour tous les couples $(i,j)$ tels que $x_i = y_j$.
💡 À retenir : Somme sur la diagonale du tableau.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes dont la loi conjointe est donnée par $P(X=i, Y=j) = \frac{i+j}{12}$ pour $i \in {1, 2}$ et $j \in {1, 2}$.
Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes sur (Ω,P).
Loi conjointe : P((X,Y)=(x,y))=P(X=x∩Y=y).
Lois marginales : P(X=x)=∑y∈Y(Ω)P(X=x,Y=y).
Indépendance : X et Y sont indépendantes si ∀(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω), P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y).
Covariance : Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y).
Variance d'une somme : V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y). Si X,Y indépendantes, V(X+Y)=V(X)+V(Y).
Méthodes à maîtriser
Calculer une loi conjointe : Utiliser un tableau à double entrée pour sommer les probabilités.
Vérifier l'indépendance : Calculer P(X=x,Y=y) et comparer avec P(X=x)×P(Y=y).
Calculer la covariance : Utiliser la formule E(XY)−E(X)E(Y) ou la linéarité de l'espérance.
Exemples corrigés
Exemple : X,Y indépendantes, V(X)=1,V(Y)=2. Alors V(X+Y)=1+2=3.
Exemple : Si Cov(X,Y)=0, X et Y ne sont pas forcément indépendantes (à vérifier par le professeur).
Erreurs fréquentes
Confondre Cov(X,Y)=0 avec l'indépendance (l'indépendance implique la covariance nulle, mais la réciproque est fausse).
Oublier le terme 2Cov(X,Y) lors du calcul de V(X+Y).
Si X et Y sont indépendantes, alors Cov(X,Y) est :
V(X)V(Y)
Tu regardes la ligne ou la colonne correspondant à la valeur de la variable voulue.
Tu fais la somme de toutes les probabilités présentes dans cette ligne (pour X) ou cette colonne (pour Y).
💡 À retenir : La somme des probabilités d'une ligne/colonne donne la probabilité marginale.
Non, cette égalité est vraie si et seulement si X et Y sont indépendantes. Dans le cas général, il faut utiliser la loi conjointe pour calculer E(XY)=∑∑xiyjP(X=xi,Y=yj).
💡 À retenir : Indépendance ⟺E(XY)=E(X)E(Y).
La covariance dépend de l'unité des variables, alors que le coefficient de corrélation ρ(X,Y)=σ(X)σ(Y)Cov(X,Y) est sans unité et toujours compris entre -1 et 1.
💡 À retenir : La corrélation normalise la covariance.
Non, c'est une erreur classique. Cov(X,Y)=0 signifie que les variables sont "non corrélées", ce qui est une condition plus faible que l'indépendance.
💡 À retenir : Indépendance ⟹ Covariance nulle, mais la réciproque est fausse.
On utilise la formule : V(aX+bY)=a2V(X)+b2V(Y)+2abCov(X,Y).
💡 À retenir : Ne jamais oublier le terme de covariance.
Non, sauf si elles sont liées par une loi binomiale particulière. La somme de deux Bernoulli de paramètre p indépendantes suit une loi Binomiale B(2,p).
💡 À retenir : La somme change la loi.
Tu vérifies si pour chaque case (i,j), on a P(X=xi,Y=yj)=P(X=xi)×P(Y=yj). Il suffit d'un seul contre-exemple pour dire qu'elles ne sont pas indépendantes.
💡 À retenir : Vérifier le produit des marginales pour chaque case.
C'est une inégalité qui permet de majorer la probabilité qu'une variable s'éloigne de son espérance : P(∣X−E(X)∣≥ϵ)≤ϵ2V(X).
💡 À retenir : Utile pour borner les écarts.
Tu sommes les probabilités P(X=xi,Y=yj) pour tous les couples (i,j) tels que xi=yj.
💡 À retenir : Somme sur la diagonale du tableau.
Exercice 1
Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes dont la loi conjointe est donnée par P(X=i,Y=j)=12i+j pour i∈{1,2} et j∈{1,2}.
Déterminer les lois marginales de X et Y.
Calculer E(X), E(Y) et Cov(X,Y).
Exercice 2
Soient X et Y deux variables indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre p=0.5. Soit S=X+Y. Déterminer la loi de S.
Exercice 3
Soit X une variable aléatoire telle que V(X)=1. On pose Y=−X. Calculer Cov(X,Y).